Funções afins, lineares e constantes

Identifique o declive $m$ e a ordenada na origem $n$ das seguintes funções afins:

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Escreve a equação da reta que tem declive igual a $5$ e cuja ordenada na origem é $-2$.

Classifique as seguintes funções em função de proporcionalidade direta (linear estrita), função afim ou função constante:

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo X e eixo Y) da reta $y = 3x - 12$.

Procura-se uma função polinomial do primeiro grau $f(x) = mx + n$ que cumpra simultaneamente três condições:\n1. É uma função afim decrescente.\n2. Interseta o eixo das ordenadas $Y$ num ponto situado a $4$ unidades abaixo da origem de coordenadas.\n3. O objeto cuja imagem é $2$ (anti-imagem de $2$) é igual a $-3$.\na) Determina de forma fundamentada os valores exatos do declive $m$ e da ordenada na origem $n$, e escreve a expressão algébrica de $f(x)$.\nb) Justifica a partir do sinal do declive por que razão a função é decrescente.\nc) Verifica algebricamente se o ponto $Q(-6, 8)$ pertence ao gráfico desta função.

O Marcos tem a função afim $f(x) = 3x + 4$ e precisa de calcular a imagem de $x = 10$. Como sabe que $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, raciocina da seguinte maneira: «Dado que $10$ é o dobro de $5$, o valor de $f(10)$ tem de ser exatamente o dobro de $19$, ou seja, $f(10) = 38$».\na) Identifica o erro conceptual do Marcos e explica por que razão não é válido aplicar uma regra de três simples direta neste tipo de funções.\nb) Que valor deveria ter a ordenada na origem $n$ para que o raciocínio do Marcos tivesse sido totalmente correto?\nc) Calcula o valor real de $f(10)$ através da sua fórmula e verifica algebricamente quantas unidades aumenta na realidade o valor de $y$ quando $x$ aumenta em $5$ unidades.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y = kx + 5$ passe pelo ponto $(3, -4)$.

Verifique analiticamente se os pontos $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ pertencem ao gráfico da função $y = 2x + 1$.

A tarifa de um táxi é dada pela função $C(x) = 1,50x + 3$, onde $C(x)$ é o custo em euros e $x$ é a distância percorrida em quilómetros. Quanto custará uma viagem de $8$ quilómetros?

A partir da seguinte representação gráfica, determine o declive, a ordenada na origem e a equação da reta.

Encontra a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.

Tem-se a seguinte tabela de valores experimentais correspondentes a uma função desconhecida $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPara averiguar se a tabela pode ser descrita por uma função afim e encontrar a sua fórmula, dois alunos propõem estratégias distintas:\n- Método da Inês: Formula um sistema de duas equações com incógnitas $m$ e $n$ usando as duas primeiras linhas. Em seguida, substitui os valores de $x$ das outras duas linhas para verificar se os valores de $y$ coincidem.\n- Método do David: Calcula a razão $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre cada linha e a seguinte; se todas derem o mesmo resultado, garante que a função é polinomial do primeiro grau, toma esse valor como declive $m$ e determina $n$ com um ponto qualquer.\n\na) Compara ambos os métodos e justifica qual deles permite descartar mais depressa que a função seja do primeiro grau caso uma das linhas contenha um erro de medição.\nb) Utiliza o método que considerares mais eficiente para demonstrar se os dados correspondem a uma reta. Em caso afirmativo, classifica-a fundamentadamente (linear ou afim) e encontra a sua fórmula $f(x) = mx + n$.\nc) Sem calcular explicitamente o valor de $x$, deduz a priori se a anti-imagem de $-100$ será um número positivo ou negativo baseando-te nas propriedades da função obtida. Em seguida, calcula-a com exatidão.

Determine analiticamente o ponto de interseção das retas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifique se o seu resultado coincide com o ponto indicado no gráfico a seguir.

Determine a equação da reta que é paralela a $y = 3x - 2$ e que passa pelo ponto $(-1, 4)$.

Dadas as retas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que ambas as equações representem exatamente a mesma reta (retas coincidentes).

Considera a família de funções $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, onde $k$ é um parâmetro real fixo em cada caso.\na) Determina o valor de $k$ para o qual a função é constante. Escreve a sua equação e descreve a posição geométrica do seu gráfico em relação aos eixos coordenados.\nb) Determina o valor de $k$ que transforma $f_k$ numa função linear (de proporcionalidade direta). Qual é o valor do seu declive neste caso?\nc) Averigua analiticamente se existe algum valor de $k$ tal que a reta passe pelo ponto $A(2, 4)$ e, ao mesmo tempo, a função resultante seja estritamente crescente. Justifica rigorosamente a tua conclusão.\nd) Para $k = 1$, determina os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados e calcula a área do triângulo que essa reta determina juntamente com os eixos cartesianos.

Um canalizador cobra $30$ € pela deslocação ao domicílio, mais $15$ € por cada hora de trabalho. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo com o tempo trabalhado e calcule quanto cobrará por uma reparação que demora $3,5$ horas.

Um reservatório de água contém inicialmente $800$ litros e está a esvaziar-se a um ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escreva a função que relaciona o volume de água no reservatório com o tempo decorrido e calcule em que minuto o reservatório ficará completamente vazio.

A relação entre a temperatura em graus Celsius ($^\circ C$) e graus Fahrenheit ($^\circ F$) é linear. Sabemos que a água congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, e ferve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Determine a função afim que permite converter graus Celsius ($x$) para graus Fahrenheit ($y$).

A tarifa de um serviço de táxi urbano numa cidade portuguesa é composta por uma «bandeirada» fixa de $1,80$ € logo no início do percurso e um custo de $1,15$ € por cada quilómetro percorrido.\na) Escreve a expressão analítica da função $C(x)$ que dá o custo total da viagem em euros em função dos quilómetros $x$ percorridos. Justifica se é uma função linear, afim ou constante, e interpreta o que representam o declive e a ordenada na origem no contexto do problema.\nb) Um cliente afirma: «Se fizer um trajeto de $18$ km, pagarei exatamente o triplo do que se fizer um de $6$ km». Justifica matematicamente se esta afirmação é verdadeira ou falsa calculando ambos os valores.\nc) Se uma pessoa dispõe de um orçamento máximo de $20$ €, formula e resolve uma equação ou inequação para determinar quantos quilómetros completos (número inteiro) pode viajar no máximo.

De acordo com medições meteorológicas do IPMA na troposfera, a temperatura diminui uniformemente cerca de $0,65$ °C por cada $100$ m de aumento na altitude. Na Covilhã, localidade situada a $1200$ m acima do nível do mar, o termómetro marca $17$ °C ao meio-dia.\na) Antes de formular qualquer equação, faz uma estimativa mental de que temperatura aproximada haverá na Torre, na Serra da Estrela ($1860$ m de altitude): estará mais próxima de $12$ °C ou de $15$ °C? Explica o teu raciocínio arredondando a diferença de altitude às centenas.\nb) Modela a temperatura através de uma função do primeiro grau $T(h) = mh + n$, onde $h$ é a altitude em metros. Determina fundamentadamente o valor do declive $m$ (em °C/m) e o valor da ordenada na origem $n$.\nc) Calcula com a função matemática o valor exato da temperatura na Torre, na Serra da Estrela, e compara-o com a tua estimativa inicial para avaliar se foi acertada.

Uma fábrica de ténis tem custos fixos mensais de $5000$ €. Além disso, produzir cada par de ténis custa $15$ €. Se a empresa vende cada par por $40$ €, escreva as funções de custo $C(x)$ e receita $R(x)$. Quantos pares de ténis devem vender por mês para obter um lucro de pelo menos $2000$ €?

Um estacionamento cobra $2,50$ € pela primeira hora (ou fração de hora). A partir da primeira hora, cobra $0,05$ € por cada minuto adicional. Escreva a função definida por partes $C(t)$ que representa o custo total em euros em função do tempo $t$ em minutos que um veículo fica estacionado.

O comprimento $L$ de uma mola elástica, medido em centímetros, é dado pela função $L(p) = 15 + 0,2p$, onde $p$ é o peso pendurado em gramas. Determine a expressão da função inversa $p(L)$ e utilize-a para calcular que peso foi pendurado se a mola mede exatamente $22$ cm.

O gráfico a seguir mostra a distância a que um ciclista se encontra da sua casa em função do tempo. Determine a expressão analítica definida por ramos da função $d(t)$ e calcule qual foi a velocidade constante do ciclista durante a viagem de volta.

Calcule a área do triângulo formado pela reta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ ao intersetar os eixos coordenados no primeiro quadrante.

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto $(0, 5)$ e que forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo de área $10$ unidades quadradas no primeiro quadrante.

A reta $r$ passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 8)$. A reta $s$ é paralela a $r$ e a sua ordenada na origem é metade da ordenada na origem de $r$. Determine a equação da reta $s$.

Determine os valores de $a$ e $b$ para que a reta $y = ax + b$ satisfaça simultaneamente duas condições: ser paralela à reta $y = \frac{1}{2}x$ e passar pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.