Função logarítmica

Calcule o valor dos seguintes logaritmos aplicando diretamente a definição, sem utilizar a calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Determine o valor da incógnita $x$ em cada uma das seguintes igualdades utilizando a definição de logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Utiliza a calculadora e a fórmula da mudança de base para determinar o valor de $\log_4 15$. Arredonda o resultado às milésimas.

Sabendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcule o valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente as propriedades dos logaritmos.

Desenvolva a seguinte expressão aplicando as propriedades dos logaritmos (logaritmo de um produto, quociente e potência), de forma que fiquem logaritmos de variáveis simples:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Agrupa a seguinte expressão num único logaritmo, utilizando as propriedades dos logaritmos:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Sabendo que $\log 2 = 0,301$ e $\log 3 = 0,477$, calcule o valor de $\log 12$ e de $\log 5$ utilizando as propriedades dos logaritmos, sem usar diretamente a tecla log da calculadora para esses números. (Dica: lembre-se de que $5 = \frac{10}{2}$).

Determine o domínio de definição das seguintes funções logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Dada a função $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determine o seu domínio analiticamente.

b) Indique qual é a equação da sua assíntota vertical.

c) Para que direção (esquerda ou direita) se abre o gráfico dessa função em relação à sua assíntota?

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Exprima o resultado na forma de intervalos.

Indique, justificando a sua resposta e sem necessidade de as desenhar, quais das seguintes funções são crescentes e quais são decrescentes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Observa os gráficos das funções logarítmicas representadas na imagem acima. Associa, justificando a tua resposta, a Função A e a Função B às respetivas expressões analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

A Sofia está a estudar a função $f(x) = \log_3(x - 2)$ para um teste do 4.º ano do ESO e anota na sua ficha de revisão as seguintes três conclusões:

1. «Como não existe o logaritmo de números negativos nem do zero, o domínio é $[2, +\infty)$, incluindo o $2$ porque aí começa a curva».

2. «Como a base é $a = 3$, que é um número maior do que $1$, a função é decrescente e tem uma assíntota horizontal no eixo $X$».

3. «O gráfico interseta o eixo das ordenadas (eixo $Y$) no ponto $(0, -2)$».

Identifica detalhadamente o erro conceptual que a Sofia comete em cada uma das suas três afirmações e redige a justificação matemática correta. Por último, determina de forma justificada o domínio real de $f(x)$, a equação da sua assíntota vertical e as coordenadas exatas do seu ponto de interseção com o eixo $X$.

Considera a função logarítmica básica $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Sem usar a calculadora, estima entre que dois números inteiros consecutivos se encontra o valor de $f(20)$. Justifica a tua dedução apoiando-te nas potências de base $2$ mais próximas de $20$ e no facto de a função ser estritamente crescente.
2. b) Sabendo que $2^{4{,}32} \approx 19{,}97$ e que $2^{4{,}33} \approx 20{,}11$, verifica a tua estimativa anterior e delimita o valor de $f(20)$ com duas casas decimais.
3. c) Observa que o número $20$ está numericamente mais próximo de $16$ do que de $32$ ($20 - 16 = 4$, enquanto $32 - 20 = 12$). Explica, a partir do crescimento e da forma côncava do gráfico do logaritmo, por que razão o valor de $f(20)$ está tão próximo de $f(16) = 4$ em comparação com a distância que o separa de $f(32) = 5$.

A imagem mostra o gráfico da função exponencial $f(x) = e^x$ e da sua função inversa $g(x)$.

a) Escreva a expressão analítica de $g(x)$.

b) Explique o significado geométrico da reta tracejada laranja $y = x$ em relação a ambas as curvas.

c) Determine o domínio e o contradomínio de ambas as funções, justificando como se trocam entre uma função e a sua inversa.

Pretende-se averiguar se os gráficos das funções $f(x) = \log_2 x$ e da sua função inversa $g(x) = 2^x$ têm algum ponto de interseção no plano cartesiano. Dois alunos propõem estratégias opostas:

• Método algébrico (proposto por Hugo): Igualar ambas as expressões estabelecendo a equação $\log_2 x = 2^x$, aplicar a definição de logaritmo para escrever $x = 2^{(2^x)}$ e tentar isolar algebricamente o valor de $x$ através de operações básicas de potências e raízes.

• Método geométrico e de propriedades da inversa (proposto por Irene): Lembrar que os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à reta $y = x$. A Irene afirma que, se uma função crescente interseta a sua inversa, os seus pontos comuns devem necessariamente situar-se sobre a reta de simetria $y = x$. Portanto, em vez de resolver $\log_2 x = 2^x$, basta analisar a posição relativa de $g(x) = 2^x$ em relação à reta $y = x$, comparando os valores de $2^x$ e $x$ para $x > 0$.

1. a) Avalia ambos os métodos: explica por que razão a tentativa puramente algébrica do Hugo é um beco sem saída ao nível do 4.º ano do ESO e descreve por que razão a estratégia da Irene é concetualmente adequada.
2. b) Aplica o raciocínio da Irene: calcula os valores de $g(x) = 2^x$ e da reta $y = x$ para os pontos de teste $x = 0$, $x = 1$ e $x = 2$. A partir deles e do crescimento exponencial, justifica formalmente se $f(x)$ e $g(x)$ chegam alguma vez a intersetar-se no plano.

A partir do gráfico da função $f(x)$ apresentado acima, que corresponde a um logaritmo deslocado da forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indique o valor de $b$ observando a assíntota vertical.

b) Utilize o ponto $B(1, 2)$ para calcular a base $a$ do logaritmo.

c) Escreva a expressão analítica completa da função.

Uma função logarítmica da forma $f(x) = \log_a(x + b)$ tem a sua assíntota vertical na reta $x = -5$ e o seu gráfico passa pelo ponto $(11, 4)$.

1. a) Determina fundamentadamente o valor da translação horizontal $b$ e o valor da base $a$. A partir deles, especifica o domínio de $f(x)$ e justifica se a função é crescente ou decrescente em todo o seu domínio.
2. b) Lembra-te de que a função exponencial e a logarítmica são funções inversas cujos gráficos são simétricos em relação à reta $y = x$. Deduz a expressão algébrica da função inversa $f^{-1}(x)$, indica o seu domínio e o seu contradomínio, e determina as coordenadas do ponto de interseção de $f^{-1}(x)$ com o eixo $Y$ a partir do ponto de interseção de $f(x)$ com o eixo $X$.

Sabe-se que uma função logarítmica da forma $f(x) = \log_a(x + b)$ passa pela origem do referencial $(0, 0)$ e pelo ponto $(6, 1)$.

Escreva um sistema de equações para determinar os valores dos parâmetros $a$ e $b$. Depois de os determinar, escreva a expressão analítica da função e indique qual é a sua assíntota vertical.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) calibra a resposta de um sensor sísmico através de uma função logarítmica com translação do tipo $f(x) = \log_a(x + b)$. Conhecem-se as seguintes condições técnicas sobre o seu comportamento:

1. O sensor não pode registar grandezas quando $x \le -3$, sendo a reta $x = -3$ uma assíntota vertical da curva.

2. A função é estritamente decrescente em todo o seu domínio.

3. O gráfico da sua função inversa, $f^{-1}(x)$, contém o ponto $(-1, 1)$.

1. a) Determina fundamentadamente os parâmetros $b$ e $a$. Justifica por que razão a base $a$ deve ser um número estritamente compreendido entre $0$ e $1$ e formula explicitamente as funções $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.
2. b) Descreve o comportamento assintótico de $f(x)$: apoiando-te na relação entre logaritmos e potências com base compreendida em $(0, 1)$, deduz fundamentadamente para que valor tende $f(x)$ quando a variável $x$ se aproxima de $-3$ pela direita ($x \to -3^+$).
3. c) Determina as coordenadas exatas dos pontos de interseção de $f(x)$ com o eixo das abcissas ($X$) e com o eixo das ordenadas ($Y$).

Resolve as seguintes equações logarítmicas simples:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Resolva a seguinte equação logarítmica verificando a validade das soluções obtidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Encontre os valores de $x$ e $y$ que satisfazem o seguinte sistema de equações não lineares:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

Um capital é investido num fundo bancário que oferece juros compostos anuais. A fórmula que rege o capital acumulado $C$ ao longo dos anos $t$ é $C = C_0 \cdot 1,04^t$, onde $C_0$ é o capital inicial. Se forem investidos $2000$ euros, determine quantos anos completos devem passar para que o capital ultrapasse os $3000$ euros. Use logaritmos para isolar a incógnita.

A intensidade do som é medida em decibéis (dB) por meio de uma função logarítmica. A fórmula é $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, onde $d$ são os decibéis, $I$ é a intensidade do som e $I_0$ é a intensidade do limiar de audição (uma constante). Isola a intensidade $I$ em função dos decibéis $d$ e $I_0$.

A legislação portuguesa sobre poluição sonora avalia o nível de pressão sonora em decibéis ($\text{dB}$) através da função:

onde $I$ é a intensidade física da onda acústica em watts por metro quadrado ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ é o limiar de audição humana de referência.

1. a) Numa avenida central do Porto, o trânsito intenso registava uma intensidade de $I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Após a aplicação de medidas de acalmia de tráfego a $30\text{ km/h}$ e de ciclovia, a intensidade desceu para $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcula o nível de ruído em decibéis antes e depois da intervenção.
2. b) Um porta-voz dos moradores declara: «Como a intensidade da onda física foi reduzida para a centésima parte ($100$ vezes menos), o nível de decibéis deveria ter sido também dividido por $100$, passando de $80\text{ dB}$ para menos de $1\text{ dB}$». Aplicando as propriedades do logaritmo de um quociente ou de uma potência, refuta com rigor matemático a afirmação do morador e demonstra quantos decibéis diminui exatamente o nível de ruído cada vez que a intensidade física $I$ é dividida por $10$.

A escala de Richter para medir a magnitude dos sismos é logarítmica e é definida como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, onde $A$ é a amplitude da onda sísmica e $A_0$ é uma amplitude de referência.

Um sismo na cidade Alfa teve uma magnitude de $6$ na escala de Richter, e outro na cidade Beta teve uma magnitude de $8$. Quantas vezes maior foi a amplitude da onda sísmica do sismo de Beta em comparação com a do de Alfa? Demonstre o seu raciocínio matematicamente.

A datação por Carbono-14 é utilizada para datar restos orgânicos antigos. A proporção de C-14 diminui exponencialmente com o tempo segundo a função $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, onde $P$ é a percentagem de C-14 restante em relação ao original e $t$ é o tempo decorrido em anos.

Se for descoberto um fóssil que conserva apenas $15\%$ do seu Carbono-14 original, qual é a idade estimada do fóssil? Exprime o resultado em anos e arredonda às unidades.

Na informática, o tempo de execução $T$ de um determinado algoritmo de ordenação depende da quantidade de dados $n$ a processar e segue uma função do tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, onde $k$ é uma constante própria do computador.

Se ao processar $n = 8$ dados o computador leva $T = 24$ milissegundos:

a) Calcule o valor da constante $k$.

b) Quanto tempo levará o mesmo computador para processar $n = 32$ dados?