Cálculo de anuidades e mensalidades

Um jovem aforrador decide depositar $500 \euro$ a cada ano no início do mesmo num fundo de investimento que garante $3,5 \%$ de juros anuais compostos. Utiliza a fórmula do capital final de uma anuidade de capitalização para encontrar quanto dinheiro terás ao fim de 5 anos.

Para poupar para a carta de condução, o Carlos decide depositar $60 \euro$ por mês numa conta bancária no final de cada período. O banco oferece-lhe juros de $2,4 \%$ anuais compostos com capitalização mensal. Calcule o dinheiro que terá acumulado após 2 anos (24 meses) ao realizar estes depósitos.

Nota: Lembre-se de converter a taxa de juro anual na taxa de juro mensal, dividindo por 12.

Para custear as despesas de uma viagem de finalistas daqui a dois anos, um grupo de alunos decide abrir uma conta de poupança. Comprometem-se a depositar $80$ € no final de cada mês. O banco oferece-lhes juros de $3,6\%$ de T.A.E. com capitalização mensal.

1. a) Calcule a taxa de juro nominal mensal equivalente.
2. b) De que capital disporá o grupo no final dos $24$ meses?
3. c) A quanto ascendem os juros totais gerados pela operação?

A Maria está a planear ir a um festival de música quando terminar o Ensino Secundário, daqui a 3 anos. Para custear as despesas, decide abrir uma conta de poupança jovem que lhe oferece juros compostos de $3 \%$ anuais. Se depositar $250 \euro$ no início de cada ano, que capital total terá acumulado para a sua viagem ao finalizar os três anos?

Um clube de desportos eletrónicos de uma escola decide poupar para renovar as suas cadeiras. Depositam $100 \euro$ no início de cada trimestre numa conta que rende $4 \%$ anuais compostos. Se a capitalização é trimestral ($n=4$ períodos por ano), calcule o capital que terão conseguido poupar ao fim de um ano completo (4 depósitos).

Uma família deseja constituir um fundo de poupança para a universidade do seu filho. Planeiam depositar $1\,500$ € no início de cada ano durante os próximos $10$ anos. A instituição financeira garante-lhes juros compostos de $4,25\%$ anuais.

1. a) Que capital terão acumulado logo após efetuar o décimo depósito?
2. b) Que capital terão um ano após o último depósito (no final do décimo ano)?

Nota: Tenha em conta se a anuidade é antecipada (no início) ou postecipada (no final).

Uma família solicita um empréstimo de $5\,000 \euro$ para comprar uma mota em segunda mão. O banco concede-lhes o empréstimo com juros de $5 \%$ anuais, que devem devolver em 4 anuidades iguais pagáveis no final de cada ano. Determine o valor dessa anuidade de amortização.

Calcule a mensalidade necessária para amortizar uma dívida de $2\,400 \euro$ contraída pela compra de uma máquina fotográfica profissional, se o empréstimo for devolvido em 2 anos a uma taxa de juro nominal de $4,8 \%$ anuais com pagamentos mensais.

Uma família solicita um empréstimo de $15\,000$ € para remodelar a cozinha e a casa de banho da sua habitação. O banco concede-lhe o crédito a juros anuais de $5\%$ a devolver em $4$ anos mediante prestações mensais fixas postecipadas (no final de cada mês).

1. a) Determine o valor da prestação mensal que deverá pagar.
2. b) Calcule o capital total que acabará por pagar ao banco após os $4$ anos.
3. c) Que percentagem do capital total pago corresponde aos juros?

Lucas quer comprar uma mota elétrica que custa $4\,200$ €. Para não se descapitalizar, decide financiá-la a $6\%$ de juros anuais nominais, comprometendo-se a pagar mensalidades de $120$ €.

1. a) Utiliza a fórmula das anuidades de amortização para calcular quantos meses levará para pagar a mota (precisarás de utilizar logaritmos).
2. b) Se decidir pagar a mota em exatamente $3$ anos, qual deveria ser a prestação mensal fixa?

Um utilizador financia uma compra extraordinária de $C_0 = 2\,500$ € utilizando um cartão de crédito na modalidade 'revolving' com uma taxa de juro nominal de $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensal). A publicidade do cartão afirma: «Paga comodamente a partir de apenas $35$ € por mês».

1. a) Tenta determinar formalmente o número de meses $n$ necessários para liquidar a dívida com uma prestação mensal de $a = 35$ € aplicando a fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explica a impossibilidade matemática que ocorre ao avaliar o argumento do logaritmo e fundamenta financeiramente por que razão, ao comparar a prestação com os juros gerados num mês ($C_0 \cdot i$), a dívida cresceria indefinidamente em vez de diminuir.
2. b) Deduz qual é a prestação mensal mínima teórica que permitiria não gerar dívida adicional e calcula a prestação fixa mensal que deveria ser estabelecida para extinguir o empréstimo num prazo razoável de $3$ anos ($36$ meses).
3. c) Se o titular escolher uma prestação fixa mensal de $60$ €, calcula o número de meses $n$ que demorará a liquidar a dívida (arredondando para cima) e o valor total desembolsado. Demonstra com estes cálculos por que razão as prestações fixadas muito perto do limiar $C_0 \cdot i$ provocam o fenómeno financeiro conhecido como 'dívida cativa'.

Um atleta profissional decide poupar parte do seu salário para quando terminar a sua carreira desportiva. Deposita $500$ € no final de cada mês numa conta de poupança durante $15$ anos. A conta garante-lhe $4,5\%$ de juros anuais nominais com capitalização mensal.

1. a) Que capital terá acumulado no momento da sua retirada desportiva?
2. b) Se, uma vez retirado, desejar receber uma renda mensal fixa durante os $20$ anos seguintes, esgotando todo o capital acumulado (supondo que o banco mantém os mesmos juros de $4,5\%$), qual será o valor dessa mensalidade?

Uma família quer constituir um fundo solidário para financiar uma bolsa de estudos a longo prazo. O seu plano é depositar uma quantia fixa $a$ ao final de cada mês durante 20 anos numa conta a $5 \%$ de juros compostos anuais (capitalização mensal).

Ao terminar esses 20 anos, querem que o capital acumulado lhes permita retirar $1\,500$ € por mês durante os 15 anos seguintes (período de pagamento da bolsa), momento em que a conta deve ficar a zero.

Calcule a quantia da mensalidade de poupança $a$ que devem depositar durante a primeira fase.

Uma jovem empreendedora de 22 anos decide planear a sua independência financeira. O seu objetivo é ter acumulado $100\,000$ € quando completar 35 anos. Para isso, estabelece o seguinte plano de poupança numa conta com juros compostos de $4,5 \%$ anuais:

1. Durante os primeiros 5 anos, fará depósitos mensais de $a$ euros no início de cada mês.

2. Durante os 8 anos seguintes, aumentará a sua capacidade de poupança e depositará $2a$ euros no início de cada mês.

Calcule o valor da parcela mensal inicial $a$ necessária para atingir o seu objetivo.