Progressões aritméticas

Indique quais das seguintes sucessões são progressões aritméticas e, nesse caso, dê a razão:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Uma progressão aritmética tem primeiro termo $a_1 = 5$ e razão $d = 3$.

1. a) Escreva os seus primeiros cinco termos.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{10}$.

Numa progressão aritmética, $a_1 = 2$ e $a_5 = 14$.

1. a) Calcule a razão.

1. b) Escreva o termo geral.

1. c) Que ordem ocupa o termo $26$?

Uma conta poupança a $3 \%$ de juros simples anuais parte de um capital de $2\,000\ \text{ €}$ que não é retirado: a cada ano adicionam-se os mesmos juros sobre o capital inicial.

1. a) Porque é que os capitais ano a ano formam uma progressão aritmética? Indique o seu primeiro termo e a sua diferença.

1. b) Escreva o termo geral do capital acumulado ao fim de $n$ anos.

1. c) Qual será o capital ao fim de $6$ anos? E ao fim de $15$?

Considere a progressão aritmética $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcule a soma dos seus $10$ primeiros termos.

1. b) Verifique o resultado calculando primeiro $a_{10}$ e aplicando a fórmula da soma.

Para a viagem de finalistas, uma aluna decide poupar seguindo uma escada: $10\ \text{ €}$ na primeira semana e, em cada semana seguinte, $5\ \text{ €}$ a mais do que na anterior, como mostra a figura.

1. a) Quanto poupará na semana $12$?

1. b) Quanto terá acumulado no total após essas $12$ semanas?

1. c) A viagem custa $650\ \text{ €}$. O valor acumulado em $16$ semanas de poupança será suficiente? Justifica.

Interpole quatro meios aritméticos entre $3$ e $18$ (ou seja, construa uma progressão aritmética de seis termos cujos extremos são $3$ e $18$).

1. a) Calcule a diferença da progressão.

1. b) Escreva os seis termos.

1. c) Verifique que a soma dos seis termos coincide com a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

A Elena quer poupar para a sua viagem de finalistas. Começa por guardar $25\text{ €}$ no primeiro mês e decide aumentar a sua contribuição em $5\text{ €}$ a cada mês durante um ano completo (12 meses). Para saber quanto dinheiro reunirá, escreve no seu caderno:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = 80\text{ €}$$

E conclui: «Fantástico! Ao terminar o ano terei $80\text{ €}$ poupados para a viagem».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pela Elena ao interpretar o resultado de $a_{12}$. O que representa na realidade essa quantia de $80\text{ €}$?
2. b) Corrige o cálculo aplicando a fórmula adequada para determinar a quantia total que a Elena terá acumulado no mealheiro ao fim dos 12 meses.
3. c) Se a viagem custar $600\text{ €}$, determina justificadamente se o dinheiro poupado será suficiente ou quanto faltará ou sobrará.

Considere as progressões aritméticas $a_n$, com $a_1 = 7$ e diferença $2$, e $b_n$, com $b_1 = 40$ e diferença $-1$.

1. a) Escreva o termo geral de cada uma.

1. b) Existe algum valor de $n$ para o qual $a_n = b_n$? Calcule-o.

1. c) Interprete o resultado: descreva em palavras como evolui cada progressão e o que significa o termo comum.

Quantos termos da progressão aritmética $5, 9, 13, \ldots$ é necessário somar para obter $377$?

1. a) Escreve o termo geral $a_n$ e a expressão da soma $S_n$ dos $n$ primeiros termos.

1. b) Modela a equação $S_n = 377$ e resolve-a. Por que razão se deve descartar uma das soluções da equação de segundo grau?

O anfiteatro de um parque tem $22$ lugares na primeira fila, e cada fila seguinte tem $4$ lugares a mais do que a anterior.

1. a) Quantos lugares tem a fila $8$?

1. b) Quantos lugares há no total nas $8$ primeiras filas?

1. c) Para um espetáculo são necessários $600$ lugares. Quantas filas completas são necessárias, no mínimo?

A figura representa com barras os seis primeiros termos de uma progressão aritmética.

1. a) Leia no gráfico o primeiro termo $a_1$ e a diferença $d$, e explique por que razão as alturas das barras estão alinhadas segundo uma reta.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{20}$ e a soma dos $20$ primeiros termos.

Uma cooperativa de crédito no Alentejo concebe um programa de microcréditos de $3\,960\text{ €}$ para empreendedores, que deve ser reembolsado em 12 mensalidades decrescentes estruturadas numa progressão aritmética. Por política social da entidade, são impostas duas condições: a soma das 12 prestações deve amortizar exatamente o total em dívida ($3\,960\text{ €}$) e a primeira prestação deve ser exatamente o dobro da última ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) A partir da fórmula da soma de uma progressão aritmética, formula uma equação que relacione $a_1$ e $a_{12}$ com o capital total, e deduz o montante exato da primeira prestação ($a_1$) e da última ($a_{12}$).
2. b) Com os valores obtidos, calcula a razão $d$ da progressão e escreve o termo geral $a_n$ que determina o pagamento de qualquer mês $n$.
3. c) Interpreta o sinal da razão $d$ neste contexto financeiro e justifica de forma fundamentada por que razão um esquema de prestações decrescentes pode ser vantajoso para um negócio em início de atividade comparativamente a uma prestação constante tradicional.

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão $d > 0$.

1. a) Exprima os três lados em função do lado médio $b$ e da razão $d$, e aplique o teorema de Pitágoras.

1. b) Demonstre que os lados são necessariamente proporcionais a $3$, $4$ e $5$.

1. c) Indique um exemplo concreto de triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética de razão $7$.