Retas e pontos notáveis de um triângulo

Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Encontra a equação reduzida da mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Num triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(a, b)$, sabe-se que o baricentro é o ponto $G(2, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$ e a equação contínua da mediana que parte desse vértice.

Determine a equação geral da altura traçada a partir do vértice $B$ no triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Num exame de Matemática do 1.º ano do Ensino Secundário, pede-se para determinar a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

O Marcos entrega a seguinte resolução:

1.º Determina o ponto médio do lado $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2.º Calcula o declive do lado $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3.º Deduz o declive perpendicular: $m_\perp = 3$.

4.º Escreve a reta com declive $3$ que passa por $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Marcos: que reta notável calculou ele na realidade em vez da altura? Em seguida, redige o procedimento correto e obtém a equação geral da altura que era pedida.

Um edifício tem uma planta triangular com vértices nos pontos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcule as coordenadas do ortocentro de tal triângulo.

Calcule a equação geral da mediatriz do lado $AB$ de um triângulo sabendo que os seus vértices correspondentes são $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Três abrigos de montanha estão situados nas coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (expressas em quilómetros). Um helicóptero de resgate mantém-se em voo estacionário no circuncentro do triângulo formado pelos abrigos. Calcule as coordenadas do helicóptero e o raio da circunferência que abrange os três abrigos.

Conhece-se o vértice $A(2, 5)$ de um triângulo $ABC$. As mediatrizes dos lados $AB$ e $AC$ têm por equações $x-y+2=0$ e $2x+y-3=0$, respetivamente. Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Calcule as equações das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas que contêm os lados de um triângulo, cujas equações são $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

Três estradas cruzam-se formando um triângulo delimitado pelas retas $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcule as coordenadas do incentro para situar uma rotunda tangente às três vias, e o raio dessa rotunda.

Encontra as coordenadas do ortocentro do triângulo retângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

Um triângulo tem vértices $A(1, 1)$ e $B(5, 1)$. O vértice $C$ encontra-se sobre a reta de equação $y = x+2$. Sabendo que o triângulo é isósceles e que o lado desigual é $AB$, determine as coordenadas do vértice $C$ e do seu circuncentro.

Dado um triângulo retângulo genérico cujos vértices se situam em $A(0,0)$, $B(a,0)$ e $C(0,b)$ com $a, b > 0$, demonstre analiticamente que o seu ortocentro coincide com a origem das coordenadas e o seu circuncentro é exatamente o ponto médio da hipotenusa.

Dado o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, encontre as coordenadas do seu baricentro e do seu ortocentro. A seguir, obtenha a equação geral da reta de Euler que passa por ambos os pontos.

Dados os vértices de um triângulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, determine as coordenadas do ortocentro $H$, do baricentro $G$ e do circuncentro $O$. Demonstre analiticamente que a distância entre o ortocentro e o baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o circuncentro ($HG = 2GO$).

Num triângulo não equilátero $\triangle ABC$, extraviaram-se no plano de trabalho as coordenadas dos vértices $B$ e $C$, mas conhecem-se com certeza os seguintes dados:

• O circuncentro do triângulo é $O(1, -2)$.

• O ortocentro do triângulo é $H(7, 4)$.

• Um dos vértices é $A(-1, 2)$.

1. a) Deduz fundamentadamente as coordenadas do baricentro $G$ utilizando a propriedade vetorial da reta de Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), demonstrando que não é necessário conhecer previamente os vértices $B$ e $C$.
2. b) Sabendo que o baricentro divide a mediana que parte de $A$ na razão $2:1$ a partir desse vértice (ou seja, $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, onde $M_A$ é o ponto médio do lado $BC$), determina as coordenadas de $M_A$.
3. c) Justifica por que razão a reta que passa pelo circuncentro $O$ e pelo ponto médio $M_A$ é necessariamente a mediatriz do segmento $BC$. Escreve a sua equação geral e deduz a partir dela o declive da reta que contém o lado $BC$.
4. d) Explica de forma fundamentada como se poderiam determinar com exatidão as coordenadas dos dois vértices em falta, $B$ e $C$, a partir da interseção da reta que contém o lado $BC$ com a circunferência circunscrita de centro $O$ e raio $R = d(O, A)$ (não é necessário resolver a equação do segundo grau resultante, basta formular o procedimento e justificar por que razão fornece exatamente duas soluções).