Dados bivariados e tabelas de frequências

Perguntou-se a $10$ pessoas pelo número de vezes que vão ao cinema por mês ($X$) e pelo número de livros que leem por mês ($Y$). As respostas obtidas para cada indivíduo $(X,Y)$ foram:

$(1, 0), (2, 1), (1, 0), (3, 2), (2, 1), (1, 1), (3, 2), (2, 0), (1, 0), (2, 1)$.

Construa a tabela de dupla entrada correspondente a essas duas variáveis, indicando as frequências absolutas conjuntas.

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O seguinte diagrama de dispersão mostra as notas obtidas em dois testes de aptidão, $X$ e $Y$, por um grupo de candidatos. Os números dentro dos círculos indicam a frequência absoluta conjunta (o número de candidatos que obtiveram esse par de pontuações). Construa a tabela de dupla entrada associada a este gráfico e calcule a média marginal do teste $X$.

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Num questionário feito a $20$ estudantes, perguntou-se pelo número de irmãos ($X$) e pelo número de animais de estimação ($Y$). Os resultados estão reunidos na seguinte tabela de dupla entrada:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
0	$2$	$4$	$1$
1	$3$	$5$	$2$
2	$1$	$1$	$1$

Indique quantos estudantes têm exatamente $1$ irmão e $2$ animais de estimação, e verifique se a soma de todas as frequências conjuntas coincide com o número total de estudantes entrevistados.

Num estudo sobre famílias, foi registado o número de carros ($X$) e o número de bicicletas ($Y$). Sabemos que a variável $X$ assume os valores $0, 1, 2$ e a variável $Y$ assume os valores $0, 1$. Construa a tabela de dupla entrada sabendo que:

• Há $2$ famílias com $(0,0)$ e $3$ famílias com $(0,1)$.

• Há $4$ famílias com $(1,0)$ e $5$ famílias com $(1,1)$.

• Há $1$ família com $(2,0)$ e $0$ famílias com $(2,1)$.

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Dada a seguinte distribuição marginal da variável $X$ com frequências absolutas $f_i$:

$X$	$1$	$2$	$3$
$f_i$	$4$	$5$	$1$

Se sabemos que a variável $Y$ só assume o valor $Y=2$ para todos os indivíduos da amostra, construa a tabela de dupla entrada completa para a distribuição conjunta de $(X,Y)$.

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Complete os totais marginais (linhas e colunas) da seguinte tabela de contingência que relaciona o número de horas de estudo diário ($X$) e o número de disciplinas com classificação negativa ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
1	$1$	$3$	$2$
2	$4$	$1$	$0$
3	$0$	$2$	$2$
Total $Y$

Copie a tabela para o seu caderno e preencha as células vazias com as somas correspondentes.

Uma tabela de dupla entrada mostra a relação entre o número de golos marcados ($X$) e os golos sofridos ($Y$) por uma equipa de futebol em vários jogos. Algumas células interiores foram apagadas, mas mantêm-se os totais marginais.

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
0	$2$	$a$	$0$	$5$
1	$b$	$3$	$1$	$8$
2	$1$	$1$	$c$	$4$
Total $Y$	$7$	$7$	$3$	$17$

Calcule os valores desconhecidos $a$, $b$ e $c$ para que a tabela seja coerente.

Num estudo sobre hábitos de vida saudável baseado em indicadores do Inquérito Nacional de Saúde (INE), uma equipa de cuidados de saúde primários recolhe dados de $60$ doentes adultos. Analisam-se duas variáveis: o consumo diário de fruta fresca ($X$: 0 = Menos de 1 peça, 1 = De 1 a 2 peças, 2 = 3 ou mais peças) e o nível semanal de atividade física ($Y$: 0 = Sedentário, 1 = Moderada, 2 = Regular). Ao imprimir o relatório, uma mancha de tinta apagou quatro células ($a$, $b$, $c$ e $d$):

$X \setminus Y$	Sedentário ($0$)	Moderada ($1$)	Regular ($2$)	Total $X$
$< 1$ peça (0)	$12$	$6$	$a$	$20$
1-2 peças (1)	$8$	$b$	$10$	$25$
$\ge 3$ peças (2)	$c$	$4$	$9$	$d$
Total $Y$	$22$	$17$	$21$	$60$

1. a) Deduz de forma fundamentada o valor das quatro células desconhecidas ($a$, $b$, $c$ e $d$) a partir das propriedades dos totais marginais de linha e de coluna, indicando claramente a ordem que seguiste para as calcular.
2. b) Uma médica afirma após ver os resultados: «A percentagem de pessoas sedentárias entre as que quase não comem fruta ($< 1$ peça) é mais do triplo da percentagem de pessoas sedentárias entre as que comem três ou mais peças por dia». Verifica com cálculos numéricos de frequências relativas se a afirmação da médica é verdadeira ou falsa.

Numa tabela de dupla entrada que relaciona duas variáveis $X$ e $Y$, a frequência da célula para $X=2$ e $Y=3$ é um valor desconhecido $k$.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$4$	$5$	$2$
2	$1$	$3$	$k$
3	$2$	$6$	$1$

Se sabemos que a dimensão total da amostra é $N=30$, determine o valor de $k$ e, em seguida, calcule o desvio padrão marginal da variável $X$.

Dada a seguinte tabela de frequências conjuntas que relaciona as notas de Matemática ($X$) e as notas de Física ($Y$) de um grupo de alunos:

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escreva a tabela da distribuição marginal da variável $X$ (notas de Matemática), indicando cada valor de $X$ e a sua correspondente frequência marginal $f_{i\bullet}$.

A partir da mesma tabela do exercício anterior, que relaciona as notas de Matemática ($X$) e Física ($Y$):

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escreva a tabela da distribuição marginal da variável $Y$ (notas de Física), indicando cada valor de $Y$ e a sua frequência marginal $f_{\bullet j}$.

A seguinte tabela mostra a relação entre a idade de vários jovens ($X$) e o número de horas que dedicam a praticar desporto por semana ($Y$):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
14	$5$	$3$	$1$
15	$2$	$6$	$4$
16	$1$	$2$	$5$

Escreva a distribuição condicionada do número de horas de desporto ($Y$) para os jovens que têm exatamente $15$ anos ($X=15$).

A seguinte tabela relaciona a quantidade de fertilizante em gramas ($X$) e a altura da planta em centímetros ($Y$) após um mês de crescimento:

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcule a distribuição marginal da altura das plantas ($Y$) e determine a sua média aritmética marginal $\bar{y}$.

Utilizando a tabela do exercício anterior sobre fertilizante ($X$) e altura ($Y$):

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcule a média condicionada da altura das plantas sabendo que lhes foi aplicado exatamente $10\text{ g}$ de fertilizante (ou seja, calcule $\bar{y}_{X=10}$).

Num estudo económico, relaciona-se o nível de rendimento mensal em milhares de euros ($X$) e a despesa em lazer em centenas de euros ($Y$) de várias famílias.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$12$	$6$	$2$
2	$5$	$10$	$5$
3	$1$	$4$	$5$

Responde às seguintes perguntas calculando as percentagens correspondentes:

1. a) Que percentagem do total de famílias inquiridas tem um rendimento de $2$ mil euros e gasta $3$ centenas de euros em lazer?
2. b) Que percentagem das famílias que têm um rendimento de $3$ mil euros gasta $2$ centenas de euros em lazer?

As alturas em centímetros ($X$) e o número de medalhas obtidas ($Y$) por um grupo de atletas foram reunidos na seguinte tabela, estando a variável $X$ agrupada em intervalos:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[160, 170)$	$6$	$3$	$1$
$[170, 180)$	$4$	$8$	$2$
$[180, 190)$	$2$	$5$	$9$

Obtenha a distribuição marginal das alturas ($X$) e calcule a sua média aritmética marginal $\bar{x}$, utilizando as marcas de classe de cada intervalo.

Dada a seguinte tabela de dupla entrada sobre o número de dias de chuva por semana ($X$) e o número de acidentes de trânsito diários ($Y$) numa cidade:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcule a variância marginal da variável $Y$ (acidentes de trânsito).

A partir dos mesmos dados do exercício anterior sobre dias de chuva ($X$) e acidentes ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcule a variância condicionada do número de acidentes de trânsito ($Y$) quando o número de dias de chuva é exatamente $X=3$.

A seguinte tabela relaciona as horas de treino semanal ($X$) e o tempo numa corrida em minutos ($Y$). Duas frequências absolutas conjuntas, $a$ e $b$, são desconhecidas.

$X \setminus Y$	$15$	$20$	$25$
2	$4$	$2$	$1$
4	$a$	$5$	$3$
6	$1$	$b$	$4$

Sabemos que no total há $N=40$ atletas no estudo e que a média marginal de horas de treino é $\bar{x} = 4,25$. Monte um sistema de equações lineares e encontre os valores exatos de $a$ e $b$.

Dada a seguinte tabela de contingência bidimensional para as variáveis discretas $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
10	$1$	$3$	$0$
20	$2$	$5$	$2$
30	$0$	$2$	$5$

Calcule a covariância $\sigma_{xy}$ da distribuição conjunta. Lembre-se de que a fórmula da covariância é $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_j f_{ij}}{N} - \bar{x}\bar{y}$.

Um estudo económico agrupa tanto a variável $X$ (gasto com publicidade em milhares de euros) como a variável $Y$ (vendas em milhares de euros) em intervalos de classe.

$X \setminus Y$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
$[0, 2)$	$2$	$5$	$1$
$[2, 4)$	$3$	$8$	$4$
$[4, 6)$	$0$	$2$	$5$

Utilizando as marcas de classe de cada intervalo, calcule as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$, e a covariância da distribuição bidimensional.

Demonstre numericamente uma propriedade fundamental das médias condicionadas utilizando a seguinte tabela:

$X \setminus Y$	$1$	$3$	$5$
2	$3$	$1$	$0$
4	$1$	$4$	$1$
6	$0$	$2$	$8$

Primeiro, calcule as médias condicionadas de $Y$ para cada valor de $X$: $\bar{y}_{X=2}$, $\bar{y}_{X=4}$ e $\bar{y}_{X=6}$. Em seguida, calcule a média marginal $\bar{y}$ e verifique se a relação da média ponderada é satisfeita: $\bar{y} = \frac{\sum \bar{y}_{X=x_i} \cdot f_{i\bullet}}{N}$.

Numa turma, as notas obtidas na primeira avaliação ($X$) e na segunda avaliação ($Y$) estão reunidas na seguinte tabela de dupla entrada:

$X \setminus Y$	$4$	$6$	$8$
4	$2$	$3$	$0$
6	$1$	$5$	$2$
8	$0$	$1$	$6$

Define-se uma nova variável unidimensional $Z = X + Y$, que representa a soma das notas de ambas as avaliações. A partir da tabela bidimensional, construa a tabela de frequências absolutas da variável $Z$ e calcule a sua média aritmética $\bar{z}$.

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Num inquérito a $30$ estudantes do 4.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (ESO) sobre o número de horas diárias de lazer em ecrãs ($X$: 1, 2 ou 3 horas) e os dias por semana em que praticam desporto fora da escola ($Y$: 0, 1 ou 2 dias), obteve-se a seguinte tabela de frequências de dupla entrada:

$X \setminus Y$	$0$ dias	$1$ dia	$2$ dias	Total $X$
1 hora	$2$	$5$	$4$	$11$
2 horas	$3$	$6$	$3$	$12$
3 horas	$4$	$2$	$1$	$7$
Total $Y$	$9$	$13$	$8$	$30$

O Tomás analisa estes dados e comete dois erros comuns no seu caderno de trabalho:

1. Afirma: «Para saber quantas pessoas participaram no estudo no total, tenho de somar os totais das linhas ($11 + 12 + 7 = 30$) e os totais das colunas ($9 + 13 + 8 = 30$), pelo que, no total, foram inquiridas $60$ pessoas».

2. Afirma: «A célula que contém o número $6$ indica que há $6$ alunos que praticam desporto $2$ dias por semana e passam $1$ hora em frente aos ecrãs».

Identifica que conceito o Tomás confunde em cada uma das suas afirmações, explica por que razão o seu raciocínio está errado e redige a interpretação correta de ambas as questões a partir da tabela.

O Consórcio Regional de Transportes de uma região analisa a mobilidade juvenil e entrevista $40$ estudantes do ensino secundário sobre duas variáveis: o título de transporte que utilizam habitualmente ($X$: «Passe Jovem», «Cartão multiviagens» ou «Bilhete simples») e os dias por semana em que usam o autocarro ou o metro ($Y$: «1-2 dias», «3-4 dias» ou «5-7 dias»). Das entrevistas extraem-se estes dados:

• $18$ jovens têm Passe Jovem; destes, nenhum viaja apenas 1-2 dias e $12$ viajam de 5 a 7 dias.

• $14$ jovens utilizam Cartão multiviagens; destes, $6$ viajam de 1 a 2 dias e $5$ viajam de 3 a 4 dias.

• Os $8$ jovens restantes usam Bilhete simples; nenhum viaja de 5 a 7 dias, e os que viajam de 1 a 2 dias são o triplo dos que viajam de 3 a 4 dias.

1. a) Modela esta situação construindo uma tabela de frequências de dupla entrada completa: coloca nas linhas os títulos de transporte ($X$), nas colunas a frequência de utilização ($Y$), e calcula todas as frequências conjuntas e os totais marginais das linhas e colunas.
2. b) A partir da tabela, calcula que percentagem do total de jovens viaja em transportes públicos de 5 a 7 dias por semana e fundamenta por que razão é coerente com a realidade que nenhum utilizador de Bilhete simples pertença a essa categoria de utilização intensiva.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou durante os $30$ dias do mês de novembro, num concelho costeiro, duas variáveis: o nível de aviso de temporal de vento ($X$: 0 = Sem aviso, 1 = Aviso amarelo, 2 = Aviso laranja) e o nível de precipitação acumulada ($Y$: 0 = Sem chuva, 1 = Chuva moderada, 2 = Chuva forte). Os registos resumem-se na seguinte tabela:

$X \setminus Y$	Sem chuva ($0$)	Moderada ($1$)	Forte ($2$)	Total $X$
Sem aviso (0)	$11$	$4$	$0$	$15$
Amarelo (1)	$2$	$5$	$3$	$10$
Laranja (2)	$0$	$1$	$4$	$5$
Total $Y$	$13$	$10$	$7$	$30$

1. a) Estima sem calcular: Observa a posição das frequências mais altas ao longo da diagonal e nos cantos da tabela. Estima se um aviso de vento mais severo tende a associar-se a um nível de chuva mais elevado ou se ambas as variáveis parecem comportar-se de forma totalmente independente. Justifica em que células te baseias para fazer a tua estimativa.
2. b) Verifica com dados: Calcula a proporção de dias de chuva forte ($Y=2$) dentro do grupo de dias sem aviso de vento ($X=0$) e compara-a numericamente com a proporção de dias de chuva forte dentro do grupo com aviso laranja ($X=2$). Estas percentagens confirmam a tua estimativa inicial? Justifica a tua resposta.

Reconstrua uma tabela de dupla entrada para as variáveis $X$ (número de avarias numa máquina) e $Y$ (linha de produção: $1$ ou $2$). Conhecem-se os seguintes dados:

• A distribuição marginal de $X$ assume os valores $0, 1, 2$ com frequências marginais $f_{0\bullet} = 20$, $f_{1\bullet} = 15$ e $f_{2\bullet} = 5$.

• A distribuição condicionada de $Y$ dado $X=0$ é equiprovável (metade das avarias corresponde à linha $1$ e a outra metade à linha $2$).

• Para $X=1$, ocorrem o dobro de avarias na linha $1$ em relação à linha $2$.

• Para $X=2$, todas as avarias ocorrem na linha $2$.

Desenhe a tabela de dupla entrada com todas as frequências absolutas conjuntas $f_{ij}$.

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Uma máquina embaladora classifica os produtos segundo o seu peso em gramas ($X$) e o seu comprimento em milímetros ($Y$). Em vez das frequências absolutas, fornece-se a seguinte tabela de frequências relativas conjuntas $h_{ij} = \frac{f_{ij}}{N}$:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$
100	$0,10$	$0,20$	$0,15$
200	$0,05$	$0,30$	$0,20$

Se sabemos que a frequência absoluta marginal para os produtos que pesam $100\text{ g}$ é $f_{100\bullet} = 45$, determine o número total de produtos avaliados $N$ e reconstrua a tabela de frequências absolutas conjuntas $f_{ij}$.

Num estudo sobre o bem-estar digital numa escola participam $N = 50$ estudantes do 4.º ano do ESO. Analisam-se duas variáveis: o tempo semanal dedicado à leitura de livros por lazer ($X$: 1 = Menos de 2 horas, 2 = 2 horas ou mais) e o uso recreativo diário do telemóvel ($Y$: 1 = Menos de 3 horas, 2 = 3 horas ou mais). Os dados individuais perderam-se, mas o relatório final do projeto reúne com certeza as seguintes três condições:

1. Exatamente $30$ dos $50$ estudantes inquiridos afirmam fazer um uso do telemóvel de $3$ horas ou mais por dia ($Y = 2$).

2. A metade exata da amostra dedica $2$ horas ou mais por semana a ler livros ($X = 2$).

3. Entre os estudantes que leem menos de 2 horas por semana ($X = 1$), o número dos que usam o telemóvel 3 horas ou mais por dia quadruplica o dos que o usam menos de 3 horas.

1. a) Reconstrói a tabela de frequências de dupla entrada completa (as quatro células conjuntas e todos os totais marginais de linha e de coluna). Apresenta e fundamenta cada dedução matemática ou equação que utilizares para encontrar cada célula.
2. b) Calcula a proporção de alunos com uso elevado do telemóvel ($Y = 2$) dentro do grupo de leitores habituais ($X = 2$) e compara-a com a mesma proporção dentro do grupo de não leitores ($X = 1$). Tendo em conta ambos os valores, justifica que tipo de relação ou tendência mostram estas duas variáveis na amostra analisada.

A Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR) regista num troço de estrada interurbana uma amostra de $100$ infrações por excesso de velocidade, classificadas de acordo com o tipo de via ($X$: Convencional ou Autoestrada) e a gravidade da infração ($Y$: Leve, Grave ou Muito grave). Devido a uma falha informática, apagaram-se três células interiores ($x$, $y$, $z$), embora se conservem todos os totais marginais:

$X \setminus Y$	Leve ($L$)	Grave ($G$)	Muito grave ($M$)	Total $X$
Convencional	$x$	$25$	$y$	$60$
Autoestrada	$z$	$15$	$5$	$40$
Total $Y$	$50$	$40$	$10$	$100$

Para calcular as três frequências desconhecidas, dois membros da equipa técnica propõem métodos distintos:

• Método A (Dedução marginal direta): Calcular primeiro $y$ usando a coluna «Muito grave» ($y + 5 = 10$), depois $z$ com a linha «Autoestrada» ($z + 15 + 5 = 40$), e finalmente $x$ subtraindo na coluna «Leve» ou na linha «Convencional».

• Método B (Sistema algébrico global): Estabelecer um sistema linear de três equações com três incógnitas somando as linhas e colunas onde intervêm as incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + 25 = 60 \\ z + 15 + 5 = 40 \\ x + z = 50 \end{cases}$$

e resolvê-lo por substituição.

1. a) Obtém os valores de $x$, $y$ e $z$. Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é mais eficiente e conveniente na prática para tabelas de dupla entrada, avaliando a quantidade de operações e o risco de erro.
2. b) Supõe que no relatório também se tinha apagado o total marginal da linha «Convencional» ($60$). Fundamenta se ainda seria possível reconstruir a tabela inteira através de algum dos métodos ou se faltaria informação, justificando a tua resposta a partir da relação existente entre os totais marginais e a dimensão amostral total $N$.