Crescimento, máximos e mínimos

A partir do gráfico a seguir da função $f(x)$, determine os intervalos onde a função é estritamente crescente e onde é estritamente decrescente.

Desenhe no seu caderno um gráfico contínuo cujo domínio seja todo $\mathbb{R}$, que seja estritamente crescente nos intervalos $(-\infty, -2)$ e $(3, +\infty)$, e estritamente decrescente no intervalo $(-2, 3)$. De acordo com o seu desenho, que tipo de extremos relativos (máximo ou mínimo) haverá nas abscissas $x = -2$ e $x = 3$?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A temperatura de um forno industrial começa em $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante os primeiros $15$ minutos, sobe uniformemente até atingir os $220 \ ^\circ\text{C}$. Mantém-se a essa temperatura constante durante $45$ minutos para cozer algumas peças e depois desliga-se, descendo a temperatura uniformemente até aos $20 \ ^\circ\text{C}$ ao longo de $30$ minutos. Indique os intervalos de tempo de crescimento, decrescimento e constância da temperatura, assim como o valor máximo absoluto atingido pela função.

Observe o gráfico da função $g(x)$ e escreva as coordenadas exatas dos pontos marcados como A, B e C. Indique para cada um deles se se trata de um máximo ou de um mínimo relativo. Há algum extremo que seja também absoluto no domínio representado?

O gráfico a seguir mostra os subscritores mensais $S(t)$ (em milhares) de uma revista digital durante o seu primeiro ano de existência ($t$ em meses, de $t=0$ a $t=12$). Identifique os intervalos nos quais o número de subscritores cresce e decresce. Em que meses são atingidos os máximos e mínimos relativos?

Represente no seu caderno um esboço de uma função contínua $f(x)$ que cumpra simultaneamente todas as seguintes condições:

• O seu domínio é o intervalo $[-5, 6]$.

• O seu contradomínio é o intervalo $[-2, 5]$.

• É estritamente crescente em $[-5, -1] \cup [3, 6]$ e estritamente decrescente em $[-1, 3]$.

• Passa pelos pontos $(-1, 5)$ e $(3, -2)$.

O que representam matematicamente os pontos $(-1, 5)$ e $(3, -2)$ no gráfico desta função?

Calcule a Taxa de Variação Média (TVM) da função afim $f(x) = 4x - 7$ no intervalo $[-2, 3]$. A partir do resultado obtido, o que se pode afirmar sobre o crescimento da função nesse intervalo?

A seguinte tabela de valores mostra a altitude $h$ (em metros) de um balão meteorológico em função do tempo $t$ (em segundos) desde o seu lançamento.

Calcule a TVM nos intervalos $[0, 2]$ e $[4, 6]$. Com base nestes resultados, a função altitude é crescente ou decrescente nestes intervalos?

Considere a função $f(x) = x^2 - 9$. Calcule a Taxa de Variação Média no intervalo $[-4, -1]$ e no intervalo $[1, 4]$. Relacione o sinal de cada resultado com o comportamento (crescente ou decrescente) da função nesses dois intervalos.

Dada a função de proporcionalidade inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcule a Taxa de Variação Média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 6]$. Verifique que, embora os valores numéricos da TVM sejam diferentes em cada intervalo, ambos os resultados justificam o comportamento decrescente da função no intervalo $(0, +\infty)$.

Um caminhante regista a altitude $h$ em que se encontra em diferentes momentos $t$ do seu percurso pela montanha:

Calcule a Taxa de Variação Média nos intervalos $[0, 2]$, $[2, 4]$ e $[4, 5]$. A partir dos sinais desses resultados, deduza em que momento aproximado o caminhante atingiu o cume da primeira montanha que subiu e quando terminou de descer ao vale antes de voltar a subir.

Dada a função quadrática $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indique, sem necessidade de representá-la graficamente nem calcular as suas coordenadas, se o vértice da parábola corresponde a um máximo ou a um mínimo relativo. Justifique a sua resposta observando o sinal dos coeficientes da função.

O Marcos está a analisar a função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, que descreve a altura em metros de um patinador numa pista côncava consoante a sua posição horizontal $x$. Após realizar os seus cálculos, o Marcos encontra as coordenadas do vértice, que são $(3, -4)$, e escreve a seguinte conclusão no seu caderno: «Como os ramos vão para cima, a função tem um mínimo relativo de valor $x = 3$. Portanto, a função é decrescente no intervalo $(-\infty, -4)$ e crescente em $(-4, +\infty)$». Identifica os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos ao interpretar as coordenadas do vértice, explica detalhadamente por que motivo ocorrem estas confusões habituais e redige a resposta correta indicando o valor do mínimo e os intervalos de crescimento e decrescimento.

Segundo os registos de uma estação meteorológica do IPMA na serra, a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante uma manhã é dada pelo modelo $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 3$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde as 6:00 ($t = 0$) até às 12:00 ($t = 6$). a) Sem calcular valores concretos ainda, observa a forma da parábola e o seu vértice: esperas que a taxa de variação média $\text{TVM}[0, 2]$ (das 6:00 às 8:00) seja maior, igual ou menor do que a $\text{TVM}[4, 6]$ (das 10:00 às 12:00)? Justifica qualitativamente a tua previsão física e gráfica. b) Calcula com exatidão ambas as taxas de variação média, interpretando as suas unidades ($^\circ\text{C}/\text{h}$), e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

A altura $h$ (em metros) que um foguete de festa atinge em função do tempo $t$ (em segundos) desde o seu lançamento é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcule em que instante de tempo o foguete atinge a sua altura máxima e qual é o valor exato dessa altura.

O número de indivíduos $N$ de uma população de insetos numa experiência de laboratório varia em função dos dias $t$ decorridos segundo o modelo quadrático $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, válido para $t \ge 0$. Determine em que dia a população de insetos atinge o seu valor mínimo e quantos indivíduos compõem a população nesse momento exato.

Determina fundamentadamente a expressão algébrica de uma função polinomial do segundo grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ que satisfaça simultaneamente três condições: 1) apresenta um extremo absoluto no ponto $V(2, 5)$; 2) é estritamente crescente no intervalo $(-\infty, 2)$ e estritamente decrescente em $(2, +\infty)$; 3) interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, 1)$. Justifica como deduzes o sinal do coeficiente principal $a$, como utilizas a fórmula do vértice ou a forma canónica da parábola para formular as equações necessárias e determina os valores exatos dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

O consumo de combustível $C(v)$ (em litros aos $100\text{ km}$) de um automóvel ao circular em autoestrada a uma velocidade constante $v$ (em $\text{km}/\text{h}$, para $60 \le v \le 140$) é modelado através da função quadrática $C(v) = 0,001v^2 - 0,18v + 12,6$. a) Modela a condução mais económica: calcula a que velocidade de cruzeiro o consumo de combustível é mínimo e qual é o valor exato desse consumo mínimo. b) A partir dos intervalos de crescimento e decrescimento, justifica por que motivo circular a $120\text{ km}/\text{h}$ consome mais do que circular a $90\text{ km}/\text{h}$. Calcula a taxa de variação média $\text{TVM}[90, 120]$ e interpreta o seu significado prático explicando quantos litros extra o carro consome por cada $\text{km}/\text{h}$ que ultrapassa a velocidade ótima nesse troço.

Dispõe-se de $60$ metros de vedação metálica para vedar uma horta retangular aproveitando a parede reta de um celeiro, de modo que só é necessário vedar três dos seus lados. Se chamarmos $x$ ao comprimento dos dois lados perpendiculares à parede do celeiro, determine a função quadrática $A(x)$ que expressa a área da horta em função de $x$. Quais devem ser as dimensões exatas da horta para que a sua área seja máxima?

O lucro $B(x)$, em euros, obtido por uma fábrica com a venda de $x$ unidades de um produto exclusivo é dado pela função quadrática com parâmetros $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Sabe-se, através de um estudo de mercado, que o lucro máximo é atingido ao vender exatamente $40$ unidades e que esse lucro máximo é de $1100$ €. Escreve um sistema de equações e calcula os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

O consumo de energia $C(v)$ (em kWh por cada 100 km) de um novo veículo elétrico em função da sua velocidade constante $v$ (em km/h) pode ser modelado de forma aproximada pela expressão quadrática $C(v) = 0,02v^2 - 1,6v + 45$, válida para velocidades no intervalo de $20$ a $100$ km/h. A que velocidade exata deve o veículo circular para que o consumo de energia seja o menor possível? Qual é esse consumo mínimo?

Considere a função $f(x)$ definida por ramos da seguinte maneira:

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determine as coordenadas do vértice do ramo parabólico e averigúe se a função apresenta algum mínimo relativo ou absoluto em todo o seu domínio.

O gráfico em anexo representa a velocidade $v$ (em km/h) de um veículo ao longo de um percurso em função do tempo $t$ (em minutos). Indique os intervalos de tempo em que o veículo acelera (velocidade crescente), trava (velocidade decrescente) ou mantém uma velocidade constante. Qual é a velocidade máxima atingida no percurso e durante quanto tempo se mantém?

Considere a função definida por meio de um valor absoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabendo que a parábola interior $y = x^2 - 6x + 5$ interseta o eixo das abcissas em $x=1$ e $x=5$, expresse $f(x)$ como uma função definida por ramos sem usar o símbolo de valor absoluto. Em seguida, determine as coordenadas dos três extremos relativos de $f(x)$ e indique os seus intervalos de monotonia.

Considera a função definida por ramos: $f(x) = 3 - x^2$ se $x \le 1$, e $f(x) = 4x - 2$ se $x > 1$. Dois alunos discutem se existe um extremo relativo no ponto de junção $x = 1$: o Sérgio calcula os vértices de cada ramo separadamente; como o primeiro ramo tem o vértice em $x = 0$ e o segundo é uma reta sem vértice, afirma que em $x = 1$ não pode haver nenhum extremo. A Marta propõe verificar primeiro se a função é contínua em $x = 1$ e depois analisar o sinal do crescimento à esquerda e à direita imediatas de $x = 1$. a) Qual dos dois métodos é o matematicamente rigoroso? Explica com precisão a falha do método do Sérgio a partir da definição de extremo relativo numa vizinhança. b) Aplica o método válido para classificar fundamentadamente o que acontece em $x = 1$ (máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum).

Escreve a expressão analítica completa de uma função por ramos $g(x)$, contínua em todo o $\mathbb{R}$, formada exclusivamente por duas retas (funções afins) da forma: $g(x) = m_1 x + n_1$ se $x < 3$, e $g(x) = m_2 x + n_2$ se $x \ge 3$, que satisfaça simultaneamente as seguintes três condições: 1) Em $x = 3$ a função atinge um máximo relativo de valor $g(3) = 4$. 2) A taxa de variação média no intervalo $[-1, 3]$ é exatamente $2$. 3) À direita de $x = 3$, a função decresce ao dobro da rapidez com que cresce à sua esquerda. Calcula de forma justificada os coeficientes $m_1$, $n_1$, $m_2$ e $n_2$. Por último, explica por que razão em $x = 3$ surge um máximo relativo, apesar de nenhuma função linear ou afim possuir extremos relativos por si só.

O gráfico seguinte corresponde a uma função polinomial de grau 4, $f(x)$, que apresenta uma forma de "W". A partir da observação do gráfico, estime as coordenadas dos seus extremos relativos (máximos e mínimos). Em seguida, sabendo que a função é perfeitamente simétrica em relação ao eixo Y (é uma função par), justifique e demonstre se a Taxa de Variação Média no intervalo simétrico $[-3, 3]$ será positiva, negativa ou nula.

Dada a função racional com um parâmetro desconhecido $f(x) = \frac{k}{x+2}$, encontra o valor exato de $k$ sabendo que a Taxa de Variação Média da função no intervalo $[0, 2]$ é igual a $-1$. Uma vez encontrado o valor de $k$, justifica algebricamente se a função é crescente ou decrescente em todo o intervalo $(-2, +\infty)$.

Dois barcos de salvamento partem do mesmo ponto em alto-mar ao mesmo tempo. O barco A viaja em linha reta em direção a Norte a uma velocidade constante de $20$ km/h, e o barco B viaja em direção a Este a uma velocidade constante de $15$ km/h. A distância ao quadrado entre os dois barcos em função do tempo $t$ (em horas) é dada pela função $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Demonstre algebricamente que a distância real entre eles é uma função estritamente crescente para qualquer tempo $t > 0$ calculando a taxa de variação média genérica num intervalo $[t_1, t_2]$ (com $0 < t_1 < t_2$).

O gráfico em anexo não representa uma função $f(x)$ normal, mas representa o valor da sua Taxa de Variação Instantânea (ou ritmo de crescimento) em cada ponto $x$. Ou seja, se o gráfico mostrado estiver acima do eixo X, a função original $f(x)$ cresce; se estiver abaixo, decresce. A partir deste gráfico, deduza em que intervalos a função original $f(x)$ é crescente e decrescente. Em que valor exato de $x$ atingirá a função $f(x)$ um extremo relativo? Justifique se se trata de um máximo ou de um mínimo.