Funções definidas por ramos

Dada a seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcule o valor da função nos pontos $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine o seu domínio e o seu contradomínio.

Um parque de estacionamento no centro cobra uma tarifa de $2$ € pela primeira hora de permanência (ou fração). A partir da primeira hora, cobra a razão de $1,50$ € por cada hora adicional, faturando o tempo extra de forma proporcional aos minutos exatos de permanência. Escreva a função definida por ramos $C(x)$ que representa o custo total em função das horas $x$ que o carro permanece no parque de estacionamento.

Associe a seguinte descrição à estrutura de uma função definida por ramos: "Liga-se um forno e a sua temperatura sobe de forma constante durante 10 minutos até atingir 200 ºC. Mantém-se nessa temperatura durante 40 minutos para assar uma pizza e, finalmente, desliga-se, descendo a sua temperatura até à temperatura ambiente (20 ºC) de forma constante em 30 minutos."

Escreva os intervalos de tempo que definiriam os três ramos da função temperatura $T(t)$.

Um operador de telecomunicações móveis oferece um tarifário de dados que funciona da seguinte maneira: paga-se uma taxa fixa mensal de $15$ € que inclui os primeiros $5$ GB de descarga. Se esse limite for ultrapassado, cada gigabyte adicional (ou fração proporcional) é cobrado a $2$ €.

Escreva a função $C(x)$ que representa o custo mensal em função dos gigabytes $x$ consumidos, e calcule quanto pagará um cliente que consumiu $3$ GB e outro que consumiu $8,5$ GB.

Represente graficamente no seu caderno a seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir do gráfico da função $g(x)$, determine a sua expressão analítica sabendo que é formada por duas semirretas.

A partir do gráfico da função $h(x)$, que é composta por um arco de parábola e uma semirreta, determine a sua expressão analítica.

Dada a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represente-a graficamente e determine os seus máximos e mínimos relativos, se existirem.

Encontra o ponto de transição da seguinte função e determina se ela é contínua nesse ponto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a seguinte função definida por partes seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Pretende-se conceber o perfil vertical de uma rampa de skate formada por dois troços que se unem na coordenada horizontal $x = 2$:

A rampa deve cumprir rigorosamente as seguintes condições de projeto:

1. Para $x < 2$, o troço $f_1(x)$ é uma função afim (reta) cujo gráfico passa pelo ponto $(-1, 0)$.

2. Para $x \ge 2$, o troço $f_2(x)$ é uma função quadrática (parábola) cujo vértice se situa no ponto $(4, 1)$.

3. A pista não pode ter degraus: a função deve ser contínua em $x = 2$, sendo a altura no referido ponto de união exatamente $f(2) = 5$.

1. a) Encontra a expressão algébrica da parábola $f_2(x)$ a partir da forma do seu vértice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, e do ponto de união $(2, 5)$.
2. b) Encontra a expressão algébrica da reta $f_1(x)$ determinando o seu declive a partir dos pontos por onde deve passar.
3. c) Escreve a função $f(x)$ completa com os seus domínios e verifica formalmente, calculando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que não existe descontinuidade em $x = 2$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja contínua em $x=1$ e passe pelo ponto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Depois de encontrados $a$ e $b$, verifique matematicamente se a função é também contínua em $x=3$.

Expressa a função módulo $f(x) = |3x - 6|$ como uma função definida por ramos.

Para expressar a função $g(x) = |2x - 6| + 1$ como uma função definida por ramos, o Alexandre escreve no seu exame:

O Alexandre argumenta que a mudança de ramo ocorre sempre em $x = 0$ porque é aí que os números passam de negativos a positivos.

1. a) Explica fundamentadamente o erro concetual do Alexandre. Que expressão é que realmente deve mudar de sinal para separar os ramos do valor absoluto e em que valor de $x$ ocorre a mudança?
2. b) Escreve a expressão correta de $g(x)$ por ramos e verifica, calculando os limites laterais no ponto de mudança de ramo, que a função não apresenta nenhum salto (é contínua).

Expresse a função $f(x) = |x - 2| + 3x$ como uma função definida por ramos sem utilizar o módulo e calcule os valores de $f(0)$ e $f(5)$.

Exprime a função $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como uma função definida por ramos, eliminando os módulos, e simplifica a expressão de cada um dos ramos resultantes.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a área total da figura geométrica delimitada entre o gráfico da função e o eixo das abscissas (eixo $X$) seja exatamente de $24$ unidades quadradas.

Observe o gráfico seguinte da função $p(x)$ e determine a sua expressão analítica completa. A partir dela, indique o seu domínio, o seu contradomínio e classifique as descontinuidades que apresenta.

Encontra analiticamente os pontos de interseção entre a função definida por ramos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ e a reta $y = x + 2$.

A conta da luz de uma habitação tem uma taxa fixa de $10$ € mensais. Além disso, os primeiros $100$ kWh consumidos são faturados a $0,12$ €/kWh. Se forem ultrapassados os $100$ kWh, o excesso de consumo é cobrado a $0,15$ €/kWh. Escreva a função $F(x)$ que dá o valor total da conta em função dos kWh $x$ consumidos.

Num país fictício, o imposto sobre o rendimento é calculado da seguinte maneira: pelos primeiros $10\,000$ € de rendimentos não se paga imposto ($0$%). Pela quantia que exceder $10\,000$ € e até $20\,000$ €, paga-se $10$%. Pela quantia que exceder $20\,000$ €, paga-se $20$%.

Escreva a função definida por ramos $I(x)$ que calcula o imposto a pagar em função dos rendimentos $x$.

Um reservatório de água com capacidade para $6000$ litros está inicialmente vazio. Liga-se uma bomba que introduz água a um ritmo constante de $50$ litros por minuto. Decorridos $60$ minutos, liga-se uma segunda bomba auxiliar que acrescenta um caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escreva a função definida por ramos $V(t)$ que representa o volume de água no reservatório em função do tempo, e calcule quanto tempo no total demorará a encher o reservatório por completo.