Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço

Determina a posição relativa da reta $r$ e do plano $\pi$ verificando a relação entre os seus vetores característicos. A reta é dada pela equação contínua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ e o plano pela equação geral $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Escreve um vetor diretor $\vec{v}_r$ da reta e um vetor normal $\vec{n}$ do plano.

1. b) O vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano? Justifica a tua resposta.

1. c) Justifica que implicação geométrica tem este facto para a posição relativa de $r$ e $\pi$.

Dado o ponto $Q(3, -1, 4)$ e o plano $\alpha: 2x + y = 0$, determine a equação da reta $r$ que passa por $Q$ e é perpendicular ao plano $\alpha$. Tenha especial cuidado ao identificar as coordenadas do vetor normal do plano, prestando atenção à ausência da variável $z$.

Encontra o valor do parâmetro $k$ para que a reta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ seja paralela ao plano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Lembra-te de que, para que uma reta e um plano sejam paralelos, o produto escalar dos seus vetores característicos deve ser igual a zero.

João deve classificar a posição relativa entre a reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{1}$ e o plano $\pi: 2x - y + z + 4 = 0$. Na sua resolução escreve o seguinte:

«O vetor diretor da reta é $\vec{v} = (2, -1, 1)$ e o vetor normal do plano é $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Como $\vec{v} = \vec{n}$, ambos os vetores são proporcionais, o que demonstra que a reta e o plano são paralelos».

1. a) Explica qual é o erro conceptual de João. Descreve a posição geométrica que uma reta e um plano realmente mantêm quando os seus vetores diretor e normal são proporcionais, apoiando-te no significado do vetor normal a uma superfície plana.
2. b) Corrige o exercício: determina a verdadeira posição relativa entre $r$ e $\pi$ e encontra as coordenadas do seu ponto de interseção, se existir.

Um engenheiro está a projetar o trajeto de um cabo de fibra ótica que deve ser paralelo a um painel de proteção. O painel está representado pelo plano $\pi: 2x - 3y + az = 5$ e a trajetória do cabo pela reta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$.

1. a) Determine o valor do parâmetro $a \in \mathbb{R}$ para que a trajetória do cabo seja paralela ao painel.
2. b) Para o valor de $a$ encontrado, verifique se o cabo está contido no painel ou se existe uma distância constante entre eles.

Verifique se o plano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ e o plano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ são paralelos. Para isso, analise se os seus vetores normais são proporcionais. Caso sejam paralelos, raciocine se são o mesmo plano (coincidentes) ou se não têm nenhum ponto em comum.

Determine a posição relativa do plano $\pi: mx + y - z = 1$ e da reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ em função do parâmetro real $m$. Especifique para quais valores são perpendiculares e para quais a reta é paralela ao plano.

Calcule a equação do plano $\alpha$ que passa pelo ponto $P(1, 0, -2)$ e é perpendicular à reta $s$ definida pela interseção dos planos:

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determine também o ponto de interseção entre a reta $s$ e o plano $\alpha$ encontrado (projeção ortogonal de $P$ sobre $s$).

Um arquiteto está a projetar uma rampa que é modelada como um plano $\pi$ de equação geral $x + y + z - 6 = 0$. Para instalar um sensor de iluminação, precisa de saber a projeção ortogonal do ponto $P(1, 2, 5)$ sobre esse plano. Calcule as coordenadas do ponto $Q$ que representa essa projeção (chamado pé da perpendicular).

Encontra a projeção ortogonal do ponto $A(2, 0, -1)$ sobre a reta $r$ dada pela sua equação contínua:

Ajuda: Lembra-te de que podes construir um plano auxiliar perpendicular à reta que passe pelo ponto $A$.

Sabe-se que a projeção ortogonal do ponto exterior $P(3, -1, 2)$ sobre um plano desconhecido $\pi$ é o ponto $Q(1, 1, 0)$.

1. a) Justifica geometricamente por que razão o vetor $\vec{QP}$ constitui um vetor normal ao plano $\pi$ e escreve a equação geral de tal plano.
2. b) Escreve a equação vetorial ou as equações cartesianas de uma reta $r$ que passe pelo ponto $P$ e seja estritamente paralela ao plano $\pi$. Quantas retas distintas satisfazem estas duas condições simultaneamente? Justifica a tua resposta descrevendo que figura geométrica formam todas essas retas no espaço.

Calcule as coordenadas do ponto $Q$, que é a projeção ortogonal do ponto $P(3, -1, 5)$ sobre a reta $r$ definida pela seguinte equação vetorial:

Determine o ponto $P'$ que representa a projeção ortogonal do ponto $P(1, 0, -3)$ sobre o plano $\pi$ de equação:

Quer-se posicionar uma antena num ponto $M$ de uma encosta plana representada pelo plano $\pi: x + 2y + 2z = 9$. A antena deve estar o mais próximo possível de uma estação base situada no ponto $P(5, 4, 10)$.

1. a) Calcule as coordenadas do ponto $M$ (projeção ortogonal de $P$ sobre $\pi$).
2. b) Se a antena deve ser ligada à estação por meio de um cabo retilíneo, determine as equações paramétricas da reta que esse cabo segue.

Um arquiteto projeta uma estrutura piramidal com vértice em $V(2, 2, 6)$ e cuja base está contida no plano $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Determina o pé da altura da pirâmide (projeção ortogonal de $V$ sobre $\pi$) e determina o volume do tetraedro formado pela origem do referencial e pelos pontos de interseção do plano $\pi$ com os três eixos coordenados.

Projeta-se a reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 0, 0)$ e $B(1, 1, 1)$, sobre o plano $\pi: x = 0$.

1. Determine a projeção ortogonal dos pontos $A$ e $B$ sobre o plano.

2. Escreva a equação da reta projetada $r'$ que passa por esses novos pontos.

Num projeto de energia solar, instala-se um painel plano representado pelo plano $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Um mastro de suporte é definido pela reta $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. Ao meio-dia, os raios solares incidem perpendicularmente no painel. Calcule a equação da reta $s$ que representa a projeção ortogonal do mastro $r$ sobre o painel solar $\pi$ (a sua "sombra" sob incidência perpendicular). Determine também o ponto onde o mastro atravessa o painel.

Obtenha a equação implícita do plano projetante da reta $r$ sobre o plano $\pi$. Lembre-se de que o plano projetante é o plano perpendicular a $\pi$ que contém a reta $r$.

Uma fonte de luz situada num ponto muito distante projeta raios paralelos à direção do vetor $\vec{v} = (0, 0, -1)$. Se um cabo de aço segue a trajetória da reta $r$, determina a equação da sombra que projeta sobre um telhado plano representado por $\pi$:

Um braço robótico numa fábrica de montagem move-se seguindo uma trajetória retilínea $s$. A trajetória passa pelo ponto de controlo $A(2, -1, 5)$ e deve ser perpendicular ao painel de suporte, que está representado pelo plano $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Obtenha as equações paramétricas da reta $s$ que o braço robótico segue.

Considera-se a reta $r$ que passa pelos pontos $A(1, 0, 2)$ e $B(2, 1, 0)$. Determina as coordenadas de um ponto $P$ situado no plano $\pi \equiv x + y + z = 10$, de tal forma que o segmento que une o ponto $P$ à sua projeção ortogonal sobre a reta $r$ seja perpendicular ao plano $\pi$.

Seja a família de planos $\pi_a \equiv ax + y + z = a$. Determina o valor de $a$ para que a projeção ortogonal da reta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sobre o plano $\pi_a$ seja uma reta paralela ao plano coordenado $YZ$. Uma vez encontrado $a$, escreve a equação dessa reta projeção na forma paramétrica.

Dada a reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ e o plano $\pi: 3x + y - z = 4$, determine a equação do plano $\beta$ que cumpre simultaneamente:

1. Contém a reta $r$.

2. É perpendicular ao plano $\pi$.

Considere os planos $\pi_1: x - 2y + z = 0$ e $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Determine a equação da reta $r$ que resulta da interseção de ambos os planos.
2. b) Determine a equação de um plano $\pi_3$ que passe pelo ponto $Q(0, 0, 1)$ e seja perpendicular à reta $r$.

Duas retas no espaço, $a$ e $b$, são enviesadas (não se intersetam nem são paralelas). Se a reta $a$ é paralela a um plano horizontal $\pi$ e a reta $b$ é perpendicular a esse mesmo plano $\pi$:

1. a) Que ângulo formam as direções das retas $a$ e $b$?
2. b) É possível encontrar um plano que contenha ambas as retas ao mesmo tempo? Porquê?
3. c) Podemos afirmar que as duas retas são perpendiculares, embora não tenham nenhum ponto em comum?

Observe o canto de uma sala onde se encontram duas paredes e o chão. Este conjunto forma um ângulo triedro no vértice do canto inferior.

1. a) Quanto medem os três ângulos retilíneos que definem as faces deste triedro?
2. b) Quanto soma a medida dos três ângulos diedros que se formam entre as paredes e o chão?
3. c) Se uma mosca voa seguindo uma trajetória paralela à linha do rodapé de uma parede, essa trajetória também é paralela ao plano da outra parede? Explique porquê.

Dadas a reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-1}$ e o plano $\pi: x + y + z - 4 = 0$:

1. a) Verifica que a reta $r$ não é perpendicular ao plano $\pi$ e determina o seu ponto de interseção $I$.
2. b) Para determinar a projeção ortogonal de $r$ sobre $\pi$, dois alunos avaliam dois métodos distintos:

• Método A (projeção de pontos): como $I$ já pertence ao plano, basta projetar ortogonalmente outro ponto qualquer $P \in r$ ($P \neq I$) para obter $P'$, e a reta projetada será a que passa por $I$ e $P'$.

• Método B (plano projetante): determinar a equação do plano $\pi'$ que contém $r$ e é perpendicular a $\pi$, e expressar a projeção como a reta interseção $\pi' \cap \pi$.

Aplica um dos dois métodos para calcular a reta projetada. Depois, raciocina sobre qual dos métodos se revela computacionalmente mais ágil neste caso e qual dos dois continuaria a ser aplicável se a reta $r$ fosse estritamente paralela ao plano $\pi$.

Considera a reta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ e o ponto exterior $P(1, 2, 7)$.

1. a) Estima: O ponto $A(1, 2, 1)$ pertence à reta $r$. Observa que $P$ se situa exatamente sobre a vertical de $A$, mas a maior altura ($z = 7$). Sabendo que o vetor diretor $\vec{v} = (1, 1, 2)$ avança ao mesmo tempo para valores positivos de $x$, $y$ e $z$, raciocina qualitativamente antes de efetuar cálculos:

• Se a cota $z$ do pé da perpendicular $P'$ (projeção ortogonal de $P$ sobre $r$) estará compreendida estritamente entre $1$ e $7$.

• Se as coordenadas $x$ e $y$ de tal ponto $P'$ serão maiores ou menores do que as de $A$.

1. b) Verifica: Obtém algebricamente as coordenadas de $P'$ mediante a interseção de $r$ com o plano perpendicular a ela que passa por $P$. Verifica se os valores obtidos confirmam as tuas deduções geométricas prévias.

Um raio laser parte do ponto $P(1, -2, 3)$ e dirige-se para um espelho plano representado pela equação $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. O raio reflete-se no espelho seguindo as leis da reflexão ótica (o raio incidente, a normal ao plano no ponto de incidência e o raio refletido estão no mesmo plano, e os ângulos de incidência e de reflexão são iguais).

Determina:

1. a) As coordenadas do ponto de incidência $Q$, sabendo que o raio incidente é perpendicular ao plano $\pi$.
2. b) A equação da reta que contém o raio refletido se, em vez de ser perpendicular, o raio partisse de $P$ e incidisse no plano no ponto $A(1, 0, 3)$.
3. c) Justifica fundamentadamente a relação de paralelismo ou perpendicularidade entre o raio incidente da alínea a) e o vetor normal do plano.

No projeto de uma estrutura metálica para um festival de música, devem ser colocadas duas vigas representadas pelas retas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Um engenheiro precisa de instalar uma terceira viga de reforço, $t$, que cumpra simultaneamente:

1. Que seja perpendicular às vigas $r$ e $s$.

2. Que passe pelo ponto de interseção da reta $r$ com o plano $XY$.

Obtenha a equação da reta $t$ na forma contínua e determine se existe algum ponto em que esta nova viga $t$ corte a viga $s$.

Dadas as retas $r$ e $s$ definidas por:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ e $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calcule o valor do parâmetro $a$ para que as retas $r$ e $s$ sejam perpendiculares.
2. b) Para o valor de $a$ obtido, as retas são concorrentes ou enviesadas?
3. c) Determine a equação do plano que é paralelo a $s$ e contém a reta $r$.

Considere o plano $\pi: x + y + z = 2$ e a família de retas $r_m$ dadas por:

$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$

1. a) Determine o valor de $m$ para que a reta $r_m$ seja paralela ao plano $\pi$.
2. b) Para esse valor de $m$, estude se a reta está contida no plano.
3. c) Calcule a equação de um plano $\pi'$ que seja perpendicular a $\pi$ e que contenha a reta $r_m$ quando $m = 0$.

Encontra a equação da reta $t$ que interseta perpendicularmente as retas $r$ e $s$, sendo:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ e $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Este exercício requer que determines a direção da "perpendicular comum" e os planos auxiliares que permitem localizar os pontos de interseção em cada reta.

Dados os pontos $A(1, 2, 3)$ e $B(3, 2, 1)$, pede-se:

1. a) Determinar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular ao segmento $AB$ e passa pelo seu ponto médio (plano mediador).
2. b) Dada a reta $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$, estude a sua posição relativa com o plano $\pi$ encontrado.
3. c) Determine um ponto $C$ na reta $r$ de modo que o triângulo $ABC$ seja isósceles com o lado desigual $AB$.

Uma antena de telecomunicações situa-se no ponto $A(5, 4, 3)$. Quer-se instalar um cabo de aço que seja perpendicular a uma parede lateral representada pelo plano $\pi: x + y = 10$.

1. a) Obtenha a equação da reta $r$ que contém o cabo.
2. b) O cabo deve ser fixado num trilho metálico situado na parede, cuja equação é a reta $s: \begin{cases} x + y = 10 \\ x - z = 2 \end{cases}$. Verifique se o cabo (reta $r$) e o trilho (reta $s$) se intersetam ou são enviesadas.
3. c) Calcule a distância mínima entre o cabo e o trilho, caso estes não se intersetem.

Numa sala de exposições com a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões $10 \times 6 \times 4$ metros, instala-se um cabo esticado que une um vértice do chão ao ponto médio da aresta superior oposta. Um segundo cabo une o centro do teto ao ponto médio da aresta vertical oposta a esse vértice.

1. a) Determina se existe algum ponto onde os cabos se toquem (retas concorrentes) ou se, pelo contrário, são não coplanares no espaço sem se tocarem.
2. b) Existe algum plano que seja paralelo a ambos os cabos em simultâneo? Justifica a tua resposta com base nas direções dos cabos.

Numa obra de estabilização geológica de uma trincheira ferroviária (IP), os topógrafos modelam o talude rochoso através do plano $\pi: 2x - 2y + z - 6 = 0$ (em metros). Uma máquina perfuradora de ancoragens avança segundo a reta diretriz $r: \frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-8}{-2}$.

1. a) Demonstra que a perfuração não incide perpendicularmente sobre o talude e encontra as coordenadas do ponto de impacto $P_0$ na rocha.
2. b) Para instalar uma fileira de testemunhos de auscultação na rocha, é necessário traçar a projeção ortogonal da reta $r$ sobre o talude $\pi$. Obtém fundamentadamente a equação geral do plano projetante de $r$ sobre $\pi$ e escreve as equações da trajetória projetada sob a forma de interseção de dois planos. Explica o significado físico desta reta projetada em relação à sombra que a barra de perfuração projetaria se fosse iluminada por um foco distante orientado perpendicularmente à superfície do talude.

Procura-se determinar um plano desconhecido $\pi$ que passa pela origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$ e cumpre simultaneamente duas condições geométricas:

• Condição 1: O plano $\pi$ é perpendicular ao plano $\pi_1: x - y + 2z - 1 = 0$.

• Condição 2: A projeção ortogonal da reta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{0}$ sobre o plano $\pi$ reduz-se a um único ponto.

1. a) A partir exclusivamente da Condição 2, deduz de forma fundamentada a direção do vetor normal $\vec{n}_\pi$ do plano procurado, sem calcular planos projetantes.
2. b) Verifica se a Condição 1 é compatível com a direção deduzida na alínea a). Em caso afirmativo, escreve a equação geral do plano $\pi$; em caso negativo, explica fundamentadamente que impossibilidade geométrica ocorreria.
3. c) Obtém as equações contínuas de uma reta $s$ que passe pelo ponto $A(2, 3, -1)$ e seja paralela simultaneamente a ambos os planos, $\pi$ e $\pi_1$. Justifica por que razão o vetor diretor de $s$ deve coincidir com a direção da reta de interseção entre $\pi$ e $\pi_1$.