Simetrias no espaço

Num software de design de jogos eletrónicos, um objeto situado no ponto $P(4, -2, 6)$ deve ser refletido em relação a um ponto de controlo (centro de simetria) localizado em $M(1, 3, 2)$. Calcule as coordenadas do ponto simétrico $P'$ onde o objeto refletido aparecerá.

Num cristal com estrutura de paralelogramo, são conhecidos três vértices: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, 5, 6)$. Se o centro do paralelogramo $M$ é o centro de simetria que liga vértices opostos, determina o quarto vértice $D$ sabendo que é o simétrico de $B$ em relação ao ponto médio do segmento $AC$.

Um arquiteto está a projetar uma estrutura metálica e precisa de colocar dois suportes em pontos que sejam simétricos em relação ao centro de uma viga principal. Se um dos suportes deve estar no ponto $P(3, -2, 4)$ e o centro da viga se encontra em $M(1, 2, 1)$, determine as coordenadas onde deve situar-se o segundo suporte $P'$.

Calcula o ponto simétrico de $Q(3, -5, 7)$ em relação ao plano coordenado $XY$.

Dica: Lembra-te de que a equação do plano $XY$ é $z = 0$.

Dado o ponto $P(1, 0, 1)$, determine o seu simétrico em relação ao plano $\pi: x + y + z = 5$ seguindo estes passos:

1. Determine a reta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa por $P$.

2. Calcule o ponto de interseção $M$ entre a reta $r$ e o plano $\pi$ (pé da perpendicular).

3. Utilize $M$ como ponto médio para determinar o simétrico $P'$.

Calcule as coordenadas do ponto $Q$, que é o simétrico do ponto $P(1, 0, 5)$ em relação ao plano de equação $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explique brevemente os passos seguidos (obtenção da reta perpendicular, ponto de interseção e ponto médio).

Encontre o ponto simétrico de $P(1, 2, 3)$ em relação à reta $r$ que coincide com o eixo $OX$.

Calcula o ponto simétrico de $B(5, 5, 5)$ em relação à reta $s$ dada por:

Nota: Esta é uma reta vertical, paralela ao eixo $OZ$, que passa pelo ponto $(1, 2, 0)$.

A figura mostra a vista de cima (plano $XY$): a reta $s$, por ser vertical, vê-se como um ponto, e também se vê a projeção de $B$.

Dada a reta $r$ definida pelas equações paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Determina o ponto simétrico de $A(3, 2, 1)$ em relação a essa reta.

Projeta-se um feixe de luz laser que segue a trajetória da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. O raio incide sobre uma superfície metálica polida situada no plano $XY$ (plano $z=0$). Calcule a equação da reta $s$ que contém o raio refletido.

Nota: A reta refletida é a simétrica da reta incidente em relação ao plano de incidência.

Sejam as retas $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ e $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$. Calcula o ponto simétrico de $Q(0, 0, 10)$ em relação ao plano que contém ambas as retas. Se não existir tal plano, justifica por que motivo e calcula o simétrico de $Q$ em relação à reta $s$.

Dado o ponto $A(1, 2, 3)$, calcula as coordenadas dos seus simétricos em relação aos três planos coordenados ($XY$, $XZ$ e $YZ$). Determina se os quatro pontos (o original e os três simétricos) são coplanares e, em caso afirmativo, encontra a equação do plano que os contém.

Encontra a equação do plano $\pi'$ que é simétrico ao plano $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ em relação ao plano de simetria $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Ajuda: Analisa a posição relativa de ambos os planos. Se forem secantes, a reta de interseção pertencerá ao plano procurado.

Sabe-se que o ponto $A'(0, 8, -4)$ é o simétrico de $A(2, -2, 6)$ em relação a um centro de simetria $C$. Determine as coordenadas desse centro $C$ utilizando a relação de ponto médio.

Considere os pontos $A(1, 1, 1)$ e $B(3, 5, 5)$. Determine a equação do plano $\pi$ que atua como "plano de simetria" entre ambos os pontos (ou seja, o plano em relação ao qual $A$ e $B$ são simétricos).

Sabe-se que o ponto $P'(5, -3, 0)$ é o simétrico de $P(1, 1, 0)$ em relação a uma reta $r$. Se o vetor diretor da reta é $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina a equação reduzida da reta $r$.

Um drone de vigilância está situado no ponto $A(1, -2, 3)$. Para evitar ser detetado por um radar, deve deslocar-se até ao ponto $B(5, 4, 1)$ realizando uma escala técnica numa plataforma plana representada pelo plano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determine as coordenadas de um ponto $P$ nesse plano de modo que a trajetória total $AP + PB$ seja mínima.

Indicação: Utilize a simetria do ponto $A$ em relação ao plano $\pi$ para resolver este problema de otimização geométrica.

Considere os pontos $A(2, 0, 1)$ e $B(0, 2, -1)$. Sabe-se que o ponto $B$ é o simétrico de $A$ em relação a uma reta $r$ que passa pela origem das coordenadas. Determine as equações cartesianas dessa reta $r$.

No espaço tridimensional consideram-se os pontos $P(2, 3, 1)$ e $P'(-2, 1, 5)$, que são simétricos em relação a um eixo de simetria axial (uma reta $e$).

1. a) Ao contrário do que acontece no plano $\mathbb{R}^2$, onde dois pontos simétricos determinam um único eixo de simetria, em $\mathbb{R}^3$ existem infinitas retas que podem atuar como eixo de simetria para o par $P$ e $P'$. Explica de forma fundamentada por que razão isto acontece e descreve que lugar geométrico formam todos os possíveis eixos de simetria axial associados a esses pontos.
2. b) Acrescenta-se a restrição de que o eixo de simetria $e$ deve estar contido no plano $\pi: x + y + z - 5 = 0$. Justifica por que razão esta condição é geometricamente compatível com as posições de $P$ e $P'$, e obtém as equações contínuas do eixo de simetria $e$.
3. c) Verifica analiticamente a validade da reta $e$ obtida verificando duas condições métricas essenciais: a pertença do ponto médio de $PP'$ à reta $e$ e a ortogonalidade entre o vetor diretor de $e$ e o vetor $\vec{PP'}$.