Posição relativa de duas retas

Determine a posição relativa das retas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando diretamente os seus coeficientes.

Dadas as retas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indique a sua posição relativa justificando a sua resposta a partir do valor dos seus declives.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que as retas $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sejam estritamente paralelas.

A Beatriz deve determinar a posição relativa das retas $r: 4x - 6y + 3 = 0$ e $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. No seu teste, escreve o seguinte raciocínio:

«A reta $r$ tem declive $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Para a reta $s$, o seu vetor diretor é $\vec{v}_s = (3, 2)$, pelo que o seu declive é $m_s = \dfrac{2}{3}$. Como os declives têm sinais diferentes ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), concluo que as retas são concorrentes e intersetam-se num único ponto; se tivessem o mesmo sinal, seriam paralelas».

Identifica e explica fundamentadamente os dois erros (um de cálculo algébrico e outro de conceito) que a Beatriz cometeu. Em seguida, resolve o exercício de forma correta, determinando a verdadeira posição relativa de ambas as retas através da comparação dos seus vetores diretores ou dos seus declives.

Dada a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$, formula e obtém as equações gerais de duas retas distintas, $s$ e $t$, que satisfaçam de forma inversa as seguintes condições geométricas:

1. a) A reta $s$ deve ser paralela a $r$ e passar exatamente pela origem das coordenadas $(0, 0)$.
2. b) A reta $t$ deve ser paralela a $r$, mas a sua ordenada na origem deve ser o triplo da ordenada na origem de $r$.

Justifica algebricamente por que razão nenhuma das três retas ($r$, $s$ e $t$) é coincidente com as restantes, analisando a proporcionalidade dos seus coeficientes.

Estude a posição relativa da reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e da reta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Determine a posição relativa das retas dadas na forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Um arquiteto projeta duas passarelas retas num parque. A passarela A segue a direção do vetor $\vec{u} = (4, -2)$ e passa pela fonte localizada em $F(0, 5)$. A passarela B é dada pela equação $x + 2y - 10 = 0$. Demonstre analiticamente que ambas as passarelas se sobrepõem, sendo na verdade a mesma reta.

Calcule as coordenadas exatas do ponto de interseção das retas concorrentes $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.

Dois drones de exploração seguem trajetórias retilíneas descritas pelas equações $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcule as coordenadas do ponto do plano onde as suas trajetórias se cruzam.

Num sistema de segurança, dois feixes laser são modelados num plano cartesiano. O primeiro feixe segue a reta $r: x + y - 6 = 0$ e o segundo passa pelos emissores localizados em $P(2, 1)$ e $Q(-2, -1)$. Determine se os feixes laser são paralelos, coincidentes ou se se cruzam. Se se cruzarem, determine o ponto exato de interseção.

As trajetórias de dois aviões no ecrã de um radar bidimensional são dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Verifique se as rotas se cruzam e, em caso afirmativo, calcule o ponto de interseção das trajetórias no plano.

Calcule o valor de $k$ para que as retas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ se intersectem exatamente no mesmo ponto do plano.

Determine as coordenadas dos vértices do triângulo formado pela interseção das três retas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ e $t: x + 4y - 12 = 0$.

Um raio de luz numa experiência de ótica segue a trajetória descrita pela reta $r: x - 2y + 4 = 0$. Um espelho plano está posicionado exatamente sobre o eixo das abcissas ($y = 0$). Determine as coordenadas do ponto de incidência do raio sobre o espelho.

O centro de Salvamento Marítimo em Sines monitoriza duas embarcações em águas da costa através de coordenadas cartesianas (onde $1\text{ unidade} = 1\text{ milha náutica}$). Uma lancha de salvamento navega em linha reta seguindo a trajetória da reta $r$, que passa pelo ponto $A(-1, 3)$ e tem a direção do vetor $\vec{u} = (2, -1)$. Ao mesmo tempo, um navio cargueiro mantém uma rota descrita pela equação $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Determina fundamentadamente a posição relativa de ambas as trajetórias. Existe risco de colisão entre as suas trajetórias se ambas as embarcações prosseguirem o seu rumo indefinidamente? Se se intersetarem, determina as coordenadas do ponto de encontro.
2. b) Devido a uma avaria no leme, o cargueiro altera a sua trajetória e passa a seguir a reta $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calcula o valor exato de $k$ para que o novo rumo seja estritamente paralelo à lancha de salvamento e analisa se existe algum valor de $k$ que torne ambas as trajetórias coincidentes.

Três autoestradas retilíneas são modeladas num plano topográfico pelas equações $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determine os valores do parâmetro $a$ para os quais as três autoestradas se intersetam num único ponto ou são paralelas entre si, impedindo que se forme um triângulo delimitado por elas.

Um paralelogramo tem dois dos seus lados sobre as retas $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: x - 2y - 6 = 0$. Outro dos seus lados encontra-se sobre a reta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabendo que um dos vértices do paralelogramo é o ponto $P(4, 4)$, calcule a equação da reta que contém o quarto lado e determine as coordenadas exatas dos quatro vértices.

Determine o valor de $m$ para que as retas $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sejam concorrentes e não paralelas.

Discuta a posição relativa das retas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ em função dos possíveis valores do parâmetro $m$.

Dadas as retas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: 3x - 2y + k = 0$, verifique se existe algum valor do parâmetro $k$ para o qual as retas sejam coincidentes. Justifique a sua resposta de forma analítica.

Dadas as retas $r: 3x - 2y + 7 = 0$ e $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (com $\lambda \in \mathbb{R}$), pretende-se determinar a sua posição relativa e encontrar o seu ponto de interseção, se existir. Para resolvê-lo, propõem-se duas estratégias:

• Método A: Transformar a reta $s$ na sua equação geral implícita $Ax + By + C = 0$ e comparar a proporcionalidade dos coeficientes $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ e $\frac{C_1}{C_2}$.

• Método B: Substituir diretamente as expressões paramétricas de $x(\lambda)$ e $y(\lambda)$ da reta $s$ na equação geral de $r$ e resolver a equação do primeiro grau resultante em $\lambda$.

Aplica ambos os métodos passo a passo para classificar a posição relativa das retas e justifica qual dos dois procedimentos se revela mais direto, eficiente e com menor risco de erro neste caso particular.

Discuta a posição relativa das retas $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando uma análise exaustiva em função dos parâmetros simultâneos $a$ e $b$.

Determine o valor ou valores de $k$ para que o ponto de interseção das retas concorrentes $r: 2x + ky - 6 = 0$ e $s: x - y + 2 = 0$ pertença à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes ($y = x$).

Considere a família ou feixe de retas definido pela expressão matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demonstre que todas as retas que compõem este feixe se intersectam num mesmo ponto fixo e calcule as suas coordenadas. A seguir, determine a equação geral da reta deste feixe que é paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Uma bola de bilhar segue a trajetória dada pela reta $r: x - y + 2 = 0$ e rebate na tabela representada pela reta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, calcule as coordenadas do ponto exato onde a bola bate na tabela e determine a equação da reta que descreve a trajetória após o ressalto.

As órbitas projetadas de dois cometas num plano espacial seguem as trajetórias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ e $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determine se existe algum momento (valor de $m$) em que as trajetórias sejam estritamente paralelas. Para quais valores de $m$ as órbitas se cruzam num único ponto?

Consideram-se as retas $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Estima: Sem resolver o sistema de equações algebricamente nem representá-las à escala milimétrica, deduz de forma fundamentada em que quadrante do plano cartesiano se irão intersetar necessariamente estas duas retas, e demonstra por que razão a abcissa desse ponto de interseção deve pertencer estritamente ao intervalo aberto $(0, 3)$. Baseia a tua estimativa exclusivamente no sinal dos declives e nos pontos de interseção de cada reta com os eixos cartesianos.
2. b) Verifica: Resolve analiticamente o sistema formado pelas equações de $r$ e $s$ para determinar as coordenadas exatas do ponto de interseção $P(x, y)$.
3. c) Avalia: Confronta o resultado analítico obtido com a tua estimativa inicial e reflete sobre como a análise qualitativa prévia permite detetar incoerências em cálculos algébricos.

No plano afim consideram-se duas retas fixas, $r: x - y - 1 = 0$ e $s: 2x + y - 5 = 0$, juntamente com uma terceira reta que depende de um parâmetro real: $t_k: kx + y - 7 = 0$.

Pretende-se investigar sob que condições as três retas delimitam um triângulo no plano.

1. a) Explica de forma dedutiva quais são as duas únicas causas geométricas pelas quais três retas coplanares (sabendo que $r$ e $s$ já são concorrentes) NÃO formam um triângulo.
2. b) Impõe as condições algébricas de posição relativa para calcular os valores de $k$ que fazem com que $t_k$ seja paralela à reta $r$ ou paralela à reta $s$. Verifica também se, para algum desses valores, $t_k$ chega a ser coincidente com elas.
3. c) Determina o valor de $k$ para o qual as três retas são concorrentes no mesmo ponto, ou seja, passam simultaneamente pelo mesmo ponto.
4. d) A partir das alíneas anteriores, determina com precisão o conjunto de valores de $k \in \mathbb{R}$ para os quais as três retas formam EFETIVAMENTE um triângulo.