Taxa de variação, taxa de variação média e taxa de crescimento

A seguinte tabela mostra a temperatura $T$ (em $^{\circ}C$) de uma reação química em função do tempo $t$ (em minutos).

• Para $t = 0$, $T = 15$

• Para $t = 1$, $T = 18$

• Para $t = 2$, $T = 24$

• Para $t = 3$, $T = 32$

• Para $t = 4$, $T = 45$

• Para $t = 5$, $T = 60$

Calcule a Taxa de Variação (TV) e a Taxa de Variação Média (TVM) no intervalo $[2, 5]$.

Calcule a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no intervalo $[1, 4]$.

Um ciclista percorre uma distância dada pela função $d(t) = 3t^2 + 2t$, onde $d$ é medido em metros e $t$ em segundos. Determine a velocidade média do ciclista, que equivale à taxa de variação média da posição, entre os instantes $t = 2$ e $t = 5$.

Dada a função afim $f(x) = 4x - 5$, calcule a sua taxa de variação média nos intervalos $[-2, 1]$ e $[3, 6]$. Que conclusão é possível extrair sobre a taxa de variação média das funções lineares?

O gráfico mostra o crescimento de uma planta, onde $h(t)$ é a altura em centímetros e $t$ o tempo em semanas. A partir do gráfico, calcule a taxa de variação média da altura no intervalo $[1, 4]$.

O gráfico seguinte mostra o número de espectadores $V(t)$, em milhares, das transmissões de um torneio de e-sports durante os primeiros $5$ meses da temporada. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Interprete o significado dos sinais obtidos em cada caso.

Considere a função quadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[2, 5]$ e utilize esse valor para escrever a equação da reta secante ao gráfico de $f(x)$ que passa pelos pontos de abscissa $x = 2$ e $x = 5$.

Sabendo que a taxa de variação média de uma função $f(x)$ no intervalo $[2, 6]$ é igual a $5$, e que $f(2) = 7$, determine o valor de $f(6)$.

Determine o valor do parâmetro $a$ para que a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ no intervalo $[1, 5]$ seja exatamente igual a $14$.

Dada a seguinte função definida por ramos, calcule a taxa de variação média no intervalo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Seja a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a taxa de variação média de $f(x)$ no intervalo $[1, 5]$ é igual a $4$.

O saldo $S$ (em euros) de uma conta de poupança em função do tempo $t$ (em meses) é dado pela expressão $S(t) = 150 + 25t$. Determine a taxa de variação média no intervalo $[0, 6]$ e interprete o resultado numérico no contexto do problema.

O número de utilizadores ativos de uma aplicação móvel passou de $2000$ a $2500$ ao longo de um mês. Calcule a taxa de crescimento expressa em percentagem.

O valor de um carro deprecia-se segundo a função $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, onde $t$ são os anos decorridos desde a sua compra e $V(t)$ o preço em euros. Calcule a taxa de crescimento percentual no primeiro ano (intervalo $[0, 1]$) e explique o significado prático do seu sinal.

O preço de um produto tecnológico era de $800$ € no seu lançamento. Dois meses depois, o seu preço desceu para $640$ €. Supondo um modelo de decrescimento linear, calcule a taxa de variação média mensal e a taxa de variação percentual total nesses dois primeiros meses.

Dois amigos comparam o crescimento dos seus canais de vídeo. O canal A ganha seguidores segundo o modelo linear $S_A(t) = 100t + 500$, e o canal B segundo o modelo exponencial $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (onde $t$ é medido em dias e $S$ em seguidores). Calcule a taxa de crescimento percentual de ambos os canais no intervalo $[2, 4]$ e determine qual experimenta um crescimento relativo maior nesse período.

As visualizações de um vídeo viral crescem seguindo o modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, onde $N$ é o número de visualizações em milhares e $t$ é medido em dias. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Compare os resultados e explique o que indicam sobre o ritmo de crescimento do vídeo.

Obtenha a expressão algébrica simplificada para a taxa de variação média da função $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ no intervalo genérico $[a, a+h]$, em que $h > 0$.

A posição de um objeto em queda livre é dada por $e(t) = 5t^2$ (onde $e$ é medido em metros e $t$ em segundos). Determine o instante exato $t > 1$ para o qual a velocidade média (que coincide com a taxa de variação média) no intervalo $[1, t]$ é exatamente de $25$ m/s.

O volume de água restante (em metros cúbicos) numa albufeira de rega agrícola em Santarém após a abertura de uma comporta de drenagem é modelado pela função $V(t) = 100 - 5t - t^2$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde a abertura ($0 \le t \le 7$). É necessário determinar a rapidez instantânea com que a água sai exatamente no instante $t = 2$ horas, para o que se propõem dois procedimentos:

• Método A (Aproximação numérica mediante TVM sucessivas): Calcular a TVM em intervalos de tempo cada vez menores a partir de $t = 2$, concretamente $[2; 2,5]$ e $[2; 2,1]$, e observar a tendência.

• Método B (Cálculo algébrico genérico): Formular a expressão $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ com um incremento genérico $h > 0$, simplificar algebricamente a fração e deduzir o valor quando $h$ tende para zero ($h \to 0$).

1. a) Aplica o Método A: calcula as duas TVM numéricas e formula uma conjetura sobre qual é a velocidade instantânea de esvaziamento às $2$ horas.
2. b) Aplica o Método B: desenvolve $V(2+h)$, simplifica a fração eliminando a indeterminação gerada pela variável $h$ e obtém o valor exato quando $h \to 0$.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual deles oferece uma demonstração matemática rigorosa face a uma intuição e qual seria mais eficiente se um engenheiro tivesse de programar o cálculo da velocidade instantânea para muitos instantes diferentes.

De uma ponte alta deixa-se cair uma pedra. A altura $h$ (em metros) em relação à superfície da água em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela equação $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[1; 2,5]$. Que grandeza física este valor representa e porque é que tem sinal negativo?

O volume $V$ (em litros) de água num reservatório industrial que está a ser esvaziado é dado pela função $V(t) = 500 - 10t - t^2$, onde $t$ é medido em minutos. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[0, 5]$ e $[5, 10]$. Em qual intervalo de tempo o reservatório se esvazia mais depressa?

A distância de travagem $d$ (em metros) de um veículo em função da sua velocidade $v$ (em km/h) é modelada pela função $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[40, 60]$ e $[100, 120]$. Explique fundamentadamente porque é que o aumento médio da distância de travagem é muito maior a altas velocidades.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcule e compare a taxa de variação média nos intervalos $[1, 2]$ e $[-2, -1]$. Justifique analiticamente por que razão se obtém o mesmo resultado utilizando a simetria ímpar da função.