Exercícios: Produto misto

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcule o valor do produto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizando a definição baseada no determinante das suas componentes.

Um estudante de engenharia está a projetar uma peça por meio de um programa de CAD. A base da peça é definida pelos vetores $\vec{a} = (3, 0, 0)$ e $\vec{b} = (0, 5, 0)$, enquanto o terceiro vetor que define a profundidade é $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcule o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.

Verifique de forma justificada se os vetores $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ e $\vec{c} = (4, 2, 1)$ são complanares. Para isso, calcule o seu produto misto e justifique a sua resposta com base no resultado obtido.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (2, 1, -1)$, determine um terceiro vetor $\vec{w}$ da forma $(0, 0, z)$ tal que o volume do paralelepípedo definido pelos três seja exatamente de 5 unidades cúbicas.

Dadas as retas $r$ e $s$ definidas pelas seguintes equações:

$r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$

Pede-se determinar a equação da reta $t$ que é a perpendicular comum a $r$ e $s$. Para isso, obtenha primeiro os vetores diretores de ambas as retas e justifique de forma fundamentada que elas são enviesadas no espaço.

Estuda, em função do parâmetro real $a$, a posição relativa das retas $r$ e $s$:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2}$

$s: \begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + z = 1 \end{cases}$

No caso particular em que as retas sejam concorrentes, calcula as coordenadas do ponto de interseção $P$ e a equação do plano que as contém.

Considera-se o ponto $P(1, 0, -1)$ e as retas:

$r: x = y = z$

$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Determina a equação geral do plano $\pi$ que passa pelo ponto $P$ e é paralelo a ambas as retas. Em seguida, determina a equação de uma terceira reta $k$ que passe pelo ponto $P$, esteja contida no referido plano $\pi$ e seja perpendicular à reta $r$.

Encontra a equação da reta $t$ que passa pelo ponto $A(1, 2, 1)$ e interseta as retas $r$ e $s$:

$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

$s: \begin{cases} x + z = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Explica o método utilizado com base na interseção de planos (feixe de planos).

Sabe-se que a reta $r$ passa pelo ponto $A(1, m, 0)$ e tem como vetor diretor $\vec{u} = (1, 1, a)$. Por outro lado, a reta $s$ é a interseção dos planos:

$\pi_1: x - y + z = 0$

$\pi_2: 2x + y = 1$

Estude se existem valores dos parâmetros $m$ e $a$ para que as retas $r$ e $s$ sejam a mesma (retas coincidentes) e, em caso afirmativo, determine-os.

Duas aeronaves seguem trajetórias retilíneas dadas por:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-a}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$

1. Calcule o valor de $a$ para que as trajetórias das aeronaves se intersetem num ponto.

2. Para esse valor de $a$, determine a equação da reta $n$ que seja perpendicular ao plano definido pelas trajetórias $r$ e $s$ e que passe pelo ponto de colisão.

Num exame de Geometria, a Laura tem de calcular o volume do tetraedro de vértices $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ e $C(1, 2, -4)$. Na sua resolução, escreve o seguinte:

«Calculo o produto misto dos vetores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ e $\vec{OC}$ através do determinante:

Como o determinante dá $-24$, o tetraedro não pode existir com esses vértices porque um volume físico nunca pode ser negativo. Portanto, o enunciado do problema contém uma incoerência geométrica.»

1. a) Localiza e explica fundamentadamente os dois erros conceptuais que a Laura comete: um relativo à interpretação do sinal do produto misto e à sua relação com a orientação da base, e outro relativo à relação métrica direta entre o produto misto e o volume do tetraedro.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o volume real e correto do referido tetraedro.

Considera os vetores $\vec{u} = (4, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 5, 0)$ e $\vec{w} = (18, -25, 3)$, que definem as três arestas concorrentes de um paralelepípedo.

1. a) Estima: Sem calcular determinantes nem realizar contas algébricas prévias, observa a base do paralelepípedo apoiada sobre o plano $xy$ (formada por $\vec{u}$ e $\vec{v}$) e a cota vertical marcada pela terceira componente de $\vec{w}$. Deduz qual deve ser o volume do corpo raciocinando a partir do princípio de Cavalieri e da fórmula básica $V = \text{área da base} \cdot \text{altura}$. As componentes $18$ e $-25$ afetam a altura do paralelepípedo sobre essa base?
2. b) Verifica: Calcula formalmente o volume através do valor absoluto do produto misto $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Compara o resultado com a tua estimativa e justifica por que razão a inclinação da aresta $\vec{w}$ não altera a capacidade interior do corpo.

Pretende-se instalar um cabo de fibra ótica que ligue o ponto $A(1, 4, -2)$ ao ponto $B(3, -1, 0)$. Determine a equação da reta que passa por ambos os pontos na sua forma contínua.

Dada a reta $r$ expressa por meio das suas equações paramétricas:

Verifique de forma fundamentada se os pontos $A(3, -3, 3)$ e $B(1, 0, 5)$ pertencem a essa reta.

Escreve na forma paramétrica a reta $s$ definida como a interseção dos seguintes planos (equações implícitas):

Obtenha um ponto e um vetor diretor da reta $r$ cuja equação contínua é:

Um escritório de arquitetura projeta uma claraboia com forma de tetraedro cujos vértices são os pontos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ e $D(0, 0, z)$. Calcule o valor da cota $z$ sabendo que o volume da claraboia é de $5$ unidades cúbicas e que o vértice $D$ se encontra no semieixo negativo de $Z$.

Verifique se os pontos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ e $S(5, -2, 7)$ são coplanares utilizando o produto misto. Caso não sejam, calcule o volume do tetraedro que tem esses quatro pontos como vértices.

Dados três vetores linearmente independentes $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que o seu produto misto é $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcule de forma justificada, aplicando as propriedades dos determinantes, o valor do produto misto dos vetores $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Considera-se um armazém com forma de paralelepípedo onde três das suas arestas concorrentes num vértice são os vetores $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ e $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcule o volume total do armazém.
2. b) Se o armazém for dividido por um plano inclinado que passe pelas extremidades dos três vetores anteriores para criar um mezanino triangular (tetraedro com a origem), que fração do volume total do armazém esse mezanino ocuparia?

Pretende-se projetar um contentor com a forma de um tetraedro cujos três vértices da base são fixos: $A(1, 1, 0)$, $B(3, 1, 0)$ e $C(1, 4, 0)$. O vértice superior $D(x, y, z)$ deve ser escolhido no espaço cumprindo duas condições técnicas:

1. O volume do tetraedro deve ser exatamente de $4\text{ u}^3$.

2. O vértice $D$ deve pertencer à reta diretriz $r$ dada pelas equações paramétricas:

1. a) Exprime o produto misto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ em função do parâmetro $t$ e descreve geometricamente que lugar geométrico formariam todos os pontos $D$ do espaço que proporcionam esse volume se não tivessem a restrição de pertencer à reta $r$.
2. b) Encontra as coordenadas exatas de todos os possíveis pontos $D$ sobre a reta $r$ que satisfazem o volume pedido.

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, os técnicos do serviço de meteorologia instalam uma cobertura tensionada de lona para proteger os instrumentos dos nevões. A estrutura tem a forma de um tetraedro irregular cujos quatro vértices se situam na fixação ao solo $O(0, 0, 0)$ e nos topos de três postes em $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ e $C(1, 1, 3)$ (medidas em metros).

1. a) Modela a estrutura através de vetores e calcula a capacidade de ar útil (volume interior) que fica protegida sob a tenda utilizando o produto misto.
2. b) Para evitar que a neve acumulada bloqueie os sensores, os técnicos decidem substituir o poste $C$ por outro vertical $C'(1, 1, z_0)$ alinhado sobre a mesma vertical, com o objetivo de aumentar o volume protegido exatamente em $50\,\%$ em relação ao desenho inicial. Determina a cota $z_0$ necessária e interpreta fisicamente se existe alguma solução válida que situe a fixação $C'$ a menor altura do que a original ($z_0 < 3$).

A trajetória de um raio laser numa casa de espetáculos é dada pela interseção dos planos $\pi_1: x + y - z = 3$ e $\pi_2: 2x - y + z = 0$.

1. a) Expresse a equação da trajetória do laser na forma contínua.
2. b) Um sensor de segurança está situado no ponto $S(1, 2, 0)$. Determine se o raio laser passará exatamente pela posição do sensor.

No projeto de uma estrutura arquitetónica, uma viga metálica segue a direção da reta $r$ que passa pelo ponto $A(1, 0, -1)$ e é paralela à reta $s: \begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$.

Obtenha a equação da reta $r$ na forma implícita (como interseção de dois planos) e calcule um ponto dela cuja coordenada $z$ seja igual a $5$.

Dada a reta $r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$, pede-se:

1. a) Determinar a equação de uma reta $s$ que passe pela origem do referencial e seja paralela a $r$.
2. b) Determinar a distância do ponto $Q(1, 1, 1)$ à reta $s$ recorrendo a um ponto genérico desta.

Considera-se um triângulo no espaço cujos vértices são $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 0, 1)$.

1. a) Determine a equação da reta que contém a mediana que parte do vértice $A$.
2. b) Obtenha um ponto $D$ sobre essa reta de modo que o vetor $\vec{AD}$ tenha norma $\sqrt{6}$.

Considera-se o tetraedro de vértices $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ e $D(1, 1, k)$.

1. a) Determine os valores do parâmetro real $k$ para os quais o volume do tetraedro é de $2$ unidades cúbicas.
2. b) Para $k = 2$, determine a altura do tetraedro que parte do vértice $D$ sobre a face formada pelos vértices $A$, $B$ e $C$.

Uma equipa de engenheiros está a projetar uma peça de suporte para um satélite com forma de paralelepípedo. A base é definida pelos vetores $\vec{u} = (2, -1, 0)$ e $\vec{v} = (1, 2, 1)$. O terceiro vetor que define a peça é $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.

1. a) Sabendo que a projeção do vetor $\vec{w}$ sobre o produto vetorial $\vec{u} \times \vec{v}$ tem um comprimento de $3$ unidades, determine o valor de $k$.
2. b) Justifique se existe algum valor de $k$ que faça com que a peça seja plana (volume nulo).

Demonstre vetorialmente, utilizando as propriedades do produto misto, que para três vetores quaisquer $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$, é válida a igualdade:

Interprete o resultado geometricamente comparando o volume de um paralelepípedo original com o formado pelas somas dos seus vetores diretores.

São dados quatro pontos no espaço: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ e $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determine a relação que $a$ e $k$ devem cumprir para que os quatro pontos sejam complanares.
2. b) Se fixarmos $k = 2$, quanto deve valer $a$ para que o volume do tetraedro $PQRS$ seja mínimo? Justifique a sua resposta com base na dependência linear dos vetores.

Numa estrutura arquitetónica moderna, uma coluna segue a direção da perpendicular comum às retas $r$ e $s$. A reta $r$ passa pela origem e tem direção $\vec{d_r} = (1, 0, 1)$. A reta $s$ passa por $P(0, 1, 0)$ e tem direção $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores diretores $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ e um terceiro vetor $\vec{v}$ que una um ponto qualquer de $r$ a um ponto qualquer de $s$. Este volume depende dos pontos escolhidos nas retas?

Seja $\vec{u}$ um vetor unitário e $\vec{v}, \vec{w}$ dois vetores tais que a área do paralelogramo que eles formam é igual a $10$. Sabendo que o produto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, calcule o ângulo que o vetor $\vec{u}$ forma com o plano que contém os vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$.

Sejam $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores linearmente independentes do espaço tais que o seu produto misto é $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$. Constroem-se três novos vetores através de combinações lineares: $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$ e $\vec{c} = 3\vec{v} - 2\vec{w}$. Para calcular o produto misto $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Estratégia 1 (Base fictícia): Atribuir componentes numéricas convenientes aos vetores originais como se formassem um triedro ortogonal canónico modificado, por exemplo $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ e $\vec{w} = (0, 0, 5)$, calcular as coordenadas resultantes de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ e avaliar o seu determinante $3 \times 3$.

• Estratégia 2 (Álgebra de determinantes): Exprimir a matriz de mudança de base $M$ tal que $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \cdot M$ e utilizar as propriedades operatórias do determinante de um produto de matrizes: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det(M) \cdot [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.

1. a) Analisa com rigor a validade matemática da Estratégia 1: por que razão funciona numericamente no cálculo do produto misto, apesar de assumir injustificadamente que os vetores são perpendiculares? O que aconteceria se se usasse essa mesma base fictícia para calcular o módulo de $\vec{a}$ ou o ângulo entre $\vec{a}$ e $\vec{b}$?
2. b) Aplica a Estratégia 2 para determinar o valor exato de $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ deduzindo detalhadamente o determinante da matriz de coeficientes.
3. c) Justifica fundamentadamente qual das duas estratégias demonstra competência matemática formal no 12.º ano de escolaridade.

No projeto de estabilização de um talude para o traçado de uma linha ferroviária em Trás-os-Montes, planeia-se um sistema de três tirantes de ancoragem de aço que partem de um mesmo ponto de fundação $O(0, 0, 0)$ na encosta e se fixam nos pontos $A(2, 0, 1)$, $B(1, 3, 2)$ e num terceiro ponto $C$ (coordenadas em metros).

As especificações geotécnicas exigem o cumprimento de três condições:

1. O ponto $C$ deve apoiar-se sobre a viga de coroamento do muro, cuja diretriz é a reta $r: \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

2. Os três tirantes não podem ser coplanares, dado que um volume nulo implicaria a perda de estabilidade tridimensional face a impulsos laterais.

3. O tetraedro virtual delimitado pelos tirantes $OABC$ deve ter um volume de exatamente $3\text{ m}^3$ para deixar espaço suficiente para as canalizações de drenagem.

1. a) Modela a condição de coplanaridade através do produto misto em função do parâmetro da reta $r$ e determina se existe algum ponto crítico nessa reta onde a estrutura colapsaria por coplanaridade.
2. b) Determina as coordenadas de todos os possíveis pontos de fixação $C$ situados na reta $r$ que satisfazem o volume de drenagem exigido de $3\text{ m}^3$.
3. c) Se a regulamentação técnica impuser que a cota de fixação desse tirante deve estar obrigatoriamente a uma altura $z \ge 3\text{ m}$ sobre o plano base para evitar inundações, fundamenta qual das soluções encontradas é a única viável.

Desafio do tema. Otimização solar do teu telhado.

Imagina que vais instalar um painel solar no teu edifício. Desenha uma proposta técnica seguindo estas fases:

1. Obtenção de dados: Entra no Google Earth ou no balcão eletrónico do Cadastro e obtém as coordenadas $(x, y, z)$ em metros de três vértices do teu telhado ($A$, $B$ e $C$). Define os vetores diretores $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$.

2. Vetor normal e base: No GeoGebra 3D, calcula o vetor normal $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ para determinar a orientação e a área da superfície. Consulta no site do IPMA a inclinação solar na tua localidade para definir um vetor unitário de raios solares $\vec{s}$, e justifica analiticamente se $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}\}$ formam uma base de $\mathbb{R}^3$.

3. Análise métrica: Calcula o ângulo de incidência solar através do produto escalar entre $\vec{n}$ e $\vec{s}$. Utiliza o produto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}]$ para calcular o volume do prisma de radiação intercetado.

4. Relatório final: Elabora um relatório breve com as capturas de ecrã do modelo no GeoGebra, os cálculos algébricos desenvolvidos passo a passo e a tua avaliação sobre se a orientação atual aproveita bem a luz.

Avaliar-se-á:

• Rigor na obtenção de dados reais e na sua modelização vetorial tridimensional.

• Aplicação correta e justificada de independência linear, bases, produto escalar, vetorial e misto.

• Interpretação geométrica coerente dos resultados no contexto proposto.