Exercícios: Combinações lineares de vetores. Bases

Dados os vetores $\vec{u} = (2, -3)$ e $\vec{v} = (-4, 6)$, justifique matematicamente se podem formar uma base do espaço vetorial $\mathbb{R}^2$.

Calcule as coordenadas do vetor resultante da combinação linear $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabendo que $\vec{a} = (1, 4)$ e $\vec{b} = (-2, 5)$.

Determine o valor do parâmetro $m$ para que os vetores $\vec{p} = (m, 4)$ e $\vec{q} = (3, -2)$ sejam linearmente dependentes.

Expresse o vetor $\vec{c} = (5, -2)$ como combinação linear dos vetores da base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ e $\vec{j} = (0, 1)$.

Verifique se o conjunto de vetores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma uma base ortogonal do plano.

Sabendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, com $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ e $\vec{w} = (2, 7)$, determine o valor do escalar $k$.

Verifique se os vetores $\vec{u} = (3, 0)$ e $\vec{v} = (0, -2)$ formam uma base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Justifique se três vetores não nulos no plano, por exemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ e $\vec{w} = (3, 0)$, podem ser linearmente independentes simultaneamente.

Um aluno, Tomás, deve averiguar se os vetores $\vec{u} = (2, -1)$ e $\vec{v} = (-6, 3)$ formam uma base do plano $\mathbb{R}^2$. No seu exame escreve o seguinte:

«Calculamos o produto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Como o produto escalar não dá zero, os vetores não são perpendiculares e, portanto, não coincidem em direção; isto significa que são linearmente independentes e formam uma base de $\mathbb{R}^2$».

Identifica o erro conceptual que Tomás comete, explica com rigor por que razão a sua dedução é falsa e redige a justificação matemática correta para determinar se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ formam ou não uma base.

Considera os vetores $\vec{u} = (2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 2)$, que formam uma base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ de $\mathbb{R}^2$, e o vetor objetivo $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Sem resolver nenhum sistema de equações, estima fundamentadamente o sinal dos escalares $a$ e $b$ na combinação linear $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ e argumenta qual dos dois coeficientes deveria ter maior valor absoluto observando os quadrantes para os quais aponta cada vetor.
2. b) Formula o sistema de equações lineares, calcula com exatidão as coordenadas $(a, b)_B$ de $\vec{w}$ na referida base e verifica se o resultado numérico concorda com a tua estimativa prévia.

Dois rebocadores puxam um navio avariado com forças $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N e $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Um terceiro rebocador junta-se aplicando uma força $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expresse a força $\vec{F}_3$ como combinação linear dos vetores $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$, encontrando as coordenadas de $\vec{F}_3$ na base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

No motor de física de um jogo eletrónico, o movimento de uma personagem define-se numa base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, onde $\vec{u} = (2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 3)$. Se a personagem deve deslocar-se para o ponto indicado pelo vetor $\vec{d} = (8, -3)$ em relação à base canónica, quais serão as coordenadas do vetor de deslocamento na base $B$?

Dado o paralelogramo $ABCD$ da figura, exprime os vetores correspondentes às diagonais $\vec{AC}$ e $\vec{BD}$ como combinação linear dos vetores dos lados $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AD}$.

Uma empresa de logística utiliza dois tipos de furgões. A capacidade de carga do furgão tipo A é representada pelo vetor $\vec{a} = (3, 2)$, indicando 3 paletes de fruta e 2 de legumes. O tipo B é representado por $\vec{b} = (1, 4)$. Se um centro comercial fizer uma encomenda exata de 11 paletes de fruta e 14 de legumes, representada por $\vec{p} = (11, 14)$, determine os escalares da combinação linear $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ para saber quantas viagens de cada furgão são necessárias.

Determine um vetor $\vec{v}$ tal que o conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme uma base ortonormada, sabendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. A solução é única? Justifique a sua resposta.

Um drone submarino desloca-se num ambiente com correntes marítimas. O seu sistema de navegação autónoma utiliza uma base formada pelos vetores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ e $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. O drone regista um deslocamento $\vec{w}$ cujas coordenadas nesta base são $(4, -1)_B$. Calcule as coordenadas do vetor $\vec{w}$ na base canónica.

Determine os valores de $a$ e $b$ para que os vetores $\vec{u} = (a, 3)$ e $\vec{v} = (-2, b)$ formem uma base ortogonal, sabendo também que o módulo do vetor $\vec{u}$ é exatamente $5$.

No plano ao lado são apresentados os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Determine as coordenadas na base canónica do vetor resultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

No centro de controlo de Salvamento Marítimo em Sines (Setúbal), um operador monitoriza um drone de resgate no Estuário. Devido às condições ambientais locais, o piloto automático decompõe os movimentos em duas direções de referência: a do vento dominante de Levante $\vec{v}_L = (4, 1)$ e a da corrente marítima superficial $\vec{v}_C = (-1, 3)$ (ambas as velocidades expressas em $\text{m/s}$ relativamente a uns eixos canónicos ortonormais).

1. a) Justifica analiticamente que $B = \{\vec{v}_L, \vec{v}_C\}$ forma uma base de $\mathbb{R}^2$ e verifica se se trata de uma base ortogonal.
2. b) O drone deve atingir uma velocidade resultante relativamente a terra de $\vec{v}_{req} = (11, 6)\text{ m/s}$. Modela esta situação expressando $\vec{v}_{req}$ como combinação linear de $\vec{v}_L$ e $\vec{v}_C$ para obteres as suas coordenadas na base $B$.
3. c) Os propulsores do drone só podem fornecer um fator de impulso na direção da corrente entre $-1$ e $2$ unidades. Face às coordenadas obtidas, interpreta se a manobra é fisicamente viável com essa configuração.

Pretende-se expressar o vetor $\vec{w} = (2, 11)$ como combinação linear dos vetores da base $B = \{\vec{u} = (3, 4), \vec{v} = (-4, 3)\}$ para encontrar as suas coordenadas $(a, b)_B$.

Para o resolver propõem-se dois caminhos:

• Método 1 (Algébrico geral): Formular o sistema $a(3, 4) + b(-4, 3) = (2, 11)$ e resolvê-lo por substituição, igualação ou redução.

• Método 2 (Aproveitamento da ortogonalidade): Verificar que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ e aplicar que, numa base ortogonal, ao fazer o produto escalar a ambos os membros de $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ com cada vetor da base obtém-se diretamente $a = \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$ e $b = \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}$.

1. a) Realiza os cálculos completos aplicando ambos os métodos e verifica que conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Compara ambos os procedimentos: fundamenta qual resulta mais vantajoso em termos de agilidade e menor probabilidade de erro operativo, e explica por que razão o Método 2 falharia se a base não fosse ortogonal.

Demonstre analiticamente que, se $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ é uma base dos vetores do plano, então o conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ também forma uma base. Se um vetor $\vec{w}$ tem coordenadas $(3, 5)$ na base $B$, determine as suas coordenadas na nova base $B'$.

Para garantir a estabilidade de um nó numa estrutura reticulada plana, os vetores diretores de duas barras concorrentes devem ser linearmente independentes. Os vetores de projeto são $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ e $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determine para que valores do parâmetro $k$ o nó é instável (os vetores não formam uma base). Seguidamente, admitindo $k=0$, expresse o vetor de carga externa $\vec{P} = (4, -6)$ como combinação linear de $\vec{d}_1$ e $\vec{d}_2$.

No hexágono regular $ABCDEF$ de centro $O$ apresentado na figura, são definidos os vetores base $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprime os vetores $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ e $\vec{BC}$ como combinação linear da base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

No estudo de uma rede cristalina bidimensional, são definidas duas bases para o plano: a base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ e uma base secundária $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sabendo que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ e $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, determine as coordenadas na base $B_1$ de um defeito pontual cujo vetor posição na base $B_2$ é $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores não nulos tais que o ângulo por eles formado é de $60^\circ$, com $|\vec{u}| = 2$ e $|\vec{v}| = 3$. Se se definir o vetor $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcule a relação que deve existir entre os parâmetros $m$ e $n$ para que o vetor $\vec{w}$ seja perpendicular ao vetor $\vec{u}$.

O braço de um robô industrial move-se num plano definido por uma base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que é ortogonal, mas não ortonormada, onde $|\vec{e}_1| = 2$ e $|\vec{e}_2| = 4$. Um comando de trajetória indica-lhe que se desloque segundo o vetor $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcule o módulo exato do vetor deslocamento $\vec{v}$ e o cosseno do ângulo que forma com o vetor da base $\vec{e}_1$.

Encontra todos os vetores $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expressos como combinação linear da base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, têm coordenadas $(a, b)_B$ tais que $a = b$ e, além disso, cumprem que o seu módulo na base canónica é exatamente $\sqrt{45}$.

Dados os pontos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ e $C(x, y)$, determine as coordenadas do ponto $C$ sabendo que os vetores $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$ formam uma base do plano na qual o vetor $\vec{w} = (0, -6)$ tem por coordenadas $(2, -1)_B$.

Um desenhador técnico necessita de configurar um sistema de coordenadas oblíquas $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ no plano de trabalho. Conhecem-se os seguintes requisitos:

1. O primeiro vetor da base tem a forma $\vec{u} = (1, k)$ e o segundo vetor tem a forma $\vec{v} = (m, 1)$, com $k, m \in \mathbb{R}$.

2. Os vetores devem ser perpendiculares entre si, de modo que a base $B$ seja ortogonal.

3. Um ponto de fixação situado na posição canónica $\vec{w} = (5, 5)$ deve ter como coordenadas na base $B$ exatamente $(a, b)_B = (3, -1)$.

1. a) Formula e resolve o sistema de equações que permite determinar os valores numéricos de $k$ e $m$.
2. b) Determina se a base obtida $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ é ortonormal. Em caso negativo, constrói a partir dela uma base ortonormal $B' = \{\vec{u}', \vec{v}'\}$ mantendo os mesmos sentidos e calcula as novas coordenadas de $\vec{w}$ em $B'$.
3. c) Demonstra que o módulo do vetor $\vec{w}$ coincide tanto se for calculado com as suas componentes canónicas como se for calculado mediante a fórmula euclidiana habitual aplicada às suas coordenadas na base ortonormal $B'$, e reflete brevemente por que razão isto não ocorre com as suas coordenadas na base $B$.

Numa base de operações do 061 nos Pirenéus aragoneses, a equipa de navegação aérea estuda as trajetórias de um helicóptero de resgate. Dois ventos de vale habituais vêm descritos pelos vetores $\vec{v}_1 = (2, 1)$ e $\vec{v}_2 = (k, 3)$, medidos em nós.

1. a) Encontra o valor do parâmetro real $k$ para o qual os vetores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ são linearmente dependentes. Explica que limitação geométrica e operacional representaria para a navegação do helicóptero o facto de $k$ tomar esse valor crítico.
2. b) Para $k = -1$, demonstra que $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ é uma base de $\mathbb{R}^2$ e encontra as coordenadas nessa base do vetor de manobra $\vec{w} = (5, 6)$.
3. c) Um copiloto formula a seguinte hipótese geral: «Se aos dois vetores de qualquer base $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ de $\mathbb{R}^2$ se somar um mesmo vento de rajada não nulo $\vec{r} = (1, 2)$, o novo conjunto resultante $B' = \{\vec{v}_1 + \vec{r}, \vec{v}_2 + \vec{r}\}$ continuará sempre a ser uma base de $\mathbb{R}^2$». Demonstra se a afirmação do copiloto é verdadeira ou falsa analisando algebricamente a dependência linear de $B'$ em função de $k$ e fornecendo, se for caso disso, um contraexemplo explícito.