Exercícios: Retas e pontos notáveis de um triângulo

Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Encontra a equação reduzida da mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Determine a equação geral da altura traçada a partir do vértice $B$ no triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Calcule a equação geral da mediatriz do lado $AB$ de um triângulo sabendo que os seus vértices correspondentes são $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Encontra as coordenadas do ortocentro do triângulo retângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

Calcule as coordenadas do circuncentro do triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ e $C(0, 6)$.

Verifique analiticamente se o ponto $P(1, 2)$ é o baricentro do triângulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ e $C(5, 1)$.

Calcule as equações das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas que contêm os lados de um triângulo, cujas equações são $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

Num exame de Matemática do 1.º ano do Ensino Secundário, pede-se para determinar a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

O Marcos entrega a seguinte resolução:

1.º Determina o ponto médio do lado $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2.º Calcula o declive do lado $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3.º Deduz o declive perpendicular: $m_\perp = 3$.

4.º Escreve a reta com declive $3$ que passa por $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Marcos: que reta notável calculou ele na realidade em vez da altura? Em seguida, redige o procedimento correto e obtém a equação geral da altura que era pedida.

Num triângulo $\triangle ABC$, conhecem-se dois dos seus vértices: $A(-3, 2)$ e $B(5, -4)$. Sabe-se ainda que o seu baricentro (centro de gravidade) se situa no ponto $G(1, 1)$.

1. a) Formula as equações vetoriais ou analíticas necessárias e determina fundamentadamente as coordenadas do terceiro vértice $C$.
2. b) Com as coordenadas dos três vértices já calculadas, classifica o triângulo quanto ao comprimento dos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno), justificando a tua resposta com o cálculo explícito dos seus módulos.
3. c) Determina a equação cartesiana da reta que contém a mediana que parte do vértice $C$.

Três árvores numa plantação agrícola estão situadas nos pontos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ e $C(1, 5)$ (coordenadas expressas em dezenas de metros). Pretende-se instalar um aspersor que equidiste das três árvores. Calcule as coordenadas do ponto onde deve ser colocado (circuncentro) e o raio de alcance da água necessário para as regar.

Três antenas de telecomunicações formam um triângulo com vértices em $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 5)$. Calcule a localização do centro de gravidade (baricentro) para colocar um transmissor central, e determine a distância exata desse transmissor à antena $C$.

Num triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(a, b)$, sabe-se que o baricentro é o ponto $G(2, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$ e a equação contínua da mediana que parte desse vértice.

Um edifício tem uma planta triangular com vértices nos pontos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcule as coordenadas do ortocentro de tal triângulo.

O ortocentro de um triângulo é o ponto $H(2, 2)$. Conhecem-se dois dos seus vértices, que são $A(-1, 3)$ e $B(4, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$.

Dado o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, encontre as coordenadas do seu baricentro e do seu ortocentro. A seguir, obtenha a equação geral da reta de Euler que passa por ambos os pontos.

Um triângulo tem vértices $A(1, 1)$ e $B(5, 1)$. O vértice $C$ encontra-se sobre a reta de equação $y = x+2$. Sabendo que o triângulo é isósceles e que o lado desigual é $AB$, determine as coordenadas do vértice $C$ e do seu circuncentro.

Três abrigos de montanha estão situados nas coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (expressas em quilómetros). Um helicóptero de resgate mantém-se em voo estacionário no circuncentro do triângulo formado pelos abrigos. Calcule as coordenadas do helicóptero e o raio da circunferência que abrange os três abrigos.

Considera o triângulo de vértices $A(-4, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(0, 6)$.

1. a) Estima antes de calcular: Observando as coordenadas e a simetria do triângulo relativamente ao eixo das ordenadas, sobre que reta se devem situar necessariamente o baricentro $G$, o ortocentro $H$ e o circuncentro $O$? Classifica ainda o ângulo no vértice $C$ (calculando o sinal do produto escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) para fundamentar se o ortocentro e o circuncentro ficarão dentro ou fora do triângulo.
2. b) Calcula: Obtém analiticamente as coordenadas do circuncentro $O$ (mediante a interseção de mediatrizes ou a condição de equidistância aos vértices) e do ortocentro $H$ (intersetando duas alturas).
3. c) Verifica: Determina as coordenadas do baricentro $G$ através da sua fórmula direta e verifica se as tuas estimativas da alínea a) estavam corretas. Verifica numericamente se se cumpre a relação da reta de Euler $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$.

O dispositivo de combate a incêndios florestais do Alentejo (Plano INFOCAM) analisa a localização de um posto de comando avançado helitransportado para coordenar três torres de vigia situadas nos pontos $A(1, 3)$, $B(8, 10)$ e $C(9, 3)$, cujas coordenadas são dadas em quilómetros em relação ao centro da região. A comissão técnica pondera dois critérios:

• Critério 1 (Equidistância): Situar o posto no circuncentro $O$, de modo que a distância em linha reta a qualquer uma das três torres seja exatamente a mesma.

• Critério 2 (Centro de massa): Situar o posto no baricentro $G$, de modo a minimizar a deslocação média habitual do helicóptero.

1. a) Modela analiticamente ambos os critérios, calculando as coordenadas exatas da base de acordo com o Critério 1 e de acordo com o Critério 2.
2. b) Se o helicóptero de reconhecimento tem um raio de ação garantido de $6\text{ km}$ sem reabastecer a partir do seu posto de comando, determina de forma justificada se ambas as localizações permitem alcançar as três torres dentro desse limite de segurança.

Dado um triângulo retângulo genérico cujos vértices se situam em $A(0,0)$, $B(a,0)$ e $C(0,b)$ com $a, b > 0$, demonstre analiticamente que o seu ortocentro coincide com a origem das coordenadas e o seu circuncentro é exatamente o ponto médio da hipotenusa.

Os vértices de um triângulo são $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ e $C(t, 2t)$, onde $t$ é um parâmetro real que determina a posição do vértice $C$ sobre uma reta. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo baricentro do triângulo quando $t$ varia.

De um triângulo $ABC$ conhece-se o vértice $A(1, 3)$ e as equações de duas das suas medianas: $x-2y+1=0$ e $y-1=0$. Calcule as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Dados os vértices de um triângulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, determine as coordenadas do ortocentro $H$, do baricentro $G$ e do circuncentro $O$. Demonstre analiticamente que a distância entre o ortocentro e o baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o circuncentro ($HG = 2GO$).

Três estradas cruzam-se formando um triângulo delimitado pelas retas $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcule as coordenadas do incentro para situar uma rotunda tangente às três vias, e o raio dessa rotunda.

Num triângulo $ABC$, o vértice $A$ tem coordenadas $(-1, 2)$. As alturas traçadas a partir dos vértices $B$ e $C$ estão contidas nas retas de equações $x-y+1=0$ e $2x+y-4=0$, respetivamente. Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Conhece-se o vértice $A(2, 5)$ de um triângulo $ABC$. As mediatrizes dos lados $AB$ e $AC$ têm por equações $x-y+2=0$ e $2x+y-3=0$, respetivamente. Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Determina as coordenadas dos vértices $B$ e $C$ de um triângulo sabendo que o vértice $A$ é $(-3, 1)$, o seu circuncentro é o ponto $O(5, 2)$ e o seu baricentro é $G(4, 2)$.

Para calcular as coordenadas do circuncentro $O$ do triângulo de vértices $A(1, 5)$, $B(-1, 1)$ e $C(5, -2)$, três estudantes propõem estratégias distintas:

• Estratégia A: Obter as equações de duas mediatrizes (calculando pontos médios e vetores normais) e resolver o sistema linear $2 \times 2$.

• Estratégia B: Exigir a igualdade métrica de distâncias $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ para um ponto genérico $O(x, y)$, desenvolver os casos notáveis e resolver o sistema linear resultante.

• Estratégia C: Verificar primeiro as propriedades geométricas particulares do triângulo (calculando os produtos escalares entre os vetores dos seus lados) para o caso de ser um triângulo retângulo, situação em que uma propriedade teórica permite determinar o circuncentro de forma direta.

1. a) Compara criticamente as estratégias A e B: quantas etapas algébricas requer cada uma e em qual é mais fácil cometer erros de sinal ou de cálculo?
2. b) Aplica a Estratégia C: calcula os vetores $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$, efetua o seu produto escalar $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ e interpreta geometricamente o resultado obtido.
3. c) Apoiando-te na conclusão da alínea b), obtém as coordenadas do circuncentro $O$ com o mínimo de cálculos possível e justifica por que razão esta estratégia se revela muito superior às outras duas para este triângulo concreto.

Num triângulo não equilátero $\triangle ABC$, extraviaram-se no plano de trabalho as coordenadas dos vértices $B$ e $C$, mas conhecem-se com certeza os seguintes dados:

• O circuncentro do triângulo é $O(1, -2)$.

• O ortocentro do triângulo é $H(7, 4)$.

• Um dos vértices é $A(-1, 2)$.

1. a) Deduz fundamentadamente as coordenadas do baricentro $G$ utilizando a propriedade vetorial da reta de Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), demonstrando que não é necessário conhecer previamente os vértices $B$ e $C$.
2. b) Sabendo que o baricentro divide a mediana que parte de $A$ na razão $2:1$ a partir desse vértice (ou seja, $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, onde $M_A$ é o ponto médio do lado $BC$), determina as coordenadas de $M_A$.
3. c) Justifica por que razão a reta que passa pelo circuncentro $O$ e pelo ponto médio $M_A$ é necessariamente a mediatriz do segmento $BC$. Escreve a sua equação geral e deduz a partir dela o declive da reta que contém o lado $BC$.
4. d) Explica de forma fundamentada como se poderiam determinar com exatidão as coordenadas dos dois vértices em falta, $B$ e $C$, a partir da interseção da reta que contém o lado $BC$ com a circunferência circunscrita de centro $O$ e raio $R = d(O, A)$ (não é necessário resolver a equação do segundo grau resultante, basta formular o procedimento e justificar por que razão fornece exatamente duas soluções).

Desafio do tema. Onde localizarias um heliporto de emergência para servir de forma ótima três municípios do teu distrito?

1. Recolha de dados: Acede ao visualizador da Direção-Geral do Território ou ao Google Maps e escolhe três localidades que formem um triângulo. Fixa uma origem de coordenadas cartesianas (em km) para obter as coordenadas dos três vértices: $A$, $B$ e $C$.

2. Construção e retas notáveis: Passa os pontos para o GeoGebra. Encontra analiticamente os pontos médios dos lados e as equações reduzidas e gerais de duas mediatrizes. Analisa a sua posição relativa e calcula o seu ponto de interseção para encontrar o circuncentro (centro de evacuação equidistante).

3. Métrica e ângulos: Determina a distância euclidiana do heliporto a cada município e a distância à reta que une $A$ e $B$. Encontra também o ângulo do vértice $A$ tanto em graus sexagesimais como em radianos ($rad$) a partir dos vetores diretores dos lados.

4. Proposta fundamentada: Elabora um relatório de uma página com o gráfico do GeoGebra que justifique se é mais conveniente construir a base no circuncentro ou no baricentro.

Será valorizado:

• Rigor no cálculo analítico de equações, distâncias e conversão de ângulos.

• Correção ao encontrar pontos médios, pontos notáveis e posições relativas.

• Uso preciso do GeoGebra e coerência na justificação territorial escolhida.