Exercícios: Distâncias no plano

Calcule a distância exata entre os pontos $A(3, -2)$ e $B(-1, 1)$.

Encontra a distância da origem das coordenadas à reta de equação $3x - 4y + 10 = 0$.

Determine a distância do ponto $P(2, 5)$ à reta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calcule a distância do ponto $Q(-1, 3)$ à reta dada na forma reduzida $y = 2x - 1$.

Encontra a distância que separa as retas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ e $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Verifique se o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 3)$ é isósceles calculando o comprimento exato dos seus três lados.

Calcule a distância do ponto $P(-4, 7)$ ao eixo das ordenadas e ao eixo das abcissas.

Dado o segmento de extremidades $A(2, 4)$ e $B(6, -2)$, calcule primeiro as coordenadas do seu ponto médio $M$ e, a seguir, determine a distância de $M$ à extremidade $A$.

O Marcos tem de calcular a distância do ponto $P(-2, 3)$ à reta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. No seu exame escreve o seguinte procedimento:

1. a) Identifica e explica fundamentadamente os dois erros concetuais graves cometidos pelo Marcos na sua resolução.
2. b) Corrige o exercício realizando o cálculo adequado e expressa a distância exata com o denominador racionalizado.

Considera-se o ponto $P(2, 4)$ e a reta $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Sem aplicar ainda a fórmula da distância de um ponto a uma reta, calcula as coordenadas do ponto $Q \in r$ que tem a mesma abcissa que $P$ (ou seja, com $x = 2$). Determina a distância vertical entre $P$ e $Q$, e fundamenta geometricamente por que razão sabes com total certeza que $d(P, r) \le d(P, Q)$, servindo este valor como majorante da distância real.
2. b) Calcula o valor exato de $d(P, r)$ através da fórmula geral e verifica se a tua estimativa e majorante da alínea anterior eram corretos e coerentes.

Uma equipa de topografia delimitou um terreno triangular cujas estações base se situam nas coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ e $C(4, 6)$, expressas em quilómetros. Calcule a área exata do terreno avaliando primeiro o comprimento da base $AB$ e depois a altura correspondente a partir do vértice $C$.

Pretende-se instalar uma antena de telecomunicações numa estrada reta que coincide com o eixo das abcissas. Esta antena deve estar exatamente à mesma distância da aldeia $P(-2, 3)$ e da aldeia $Q(4, 1)$. Em que coordenadas exatas deve ser colocada a antena?

Dois navios seguem rotas retilíneas e paralelas. O primeiro navio navega pela reta $r: x - 2y + 4 = 0$. O segundo navio passa pelo ponto $A(3, 1)$ mantendo a mesma direção. Calcule a distância mínima que separa ambas as trajetórias.

Num parque, o centro de uma praça está situado no ponto $P(0, 5)$. Uma tubagem reta de rega segue a trajetória $y = x + 1$. Pretende-se instalar um aspersor sobre a tubagem que diste exatamente $5$ unidades do centro da praça. Determina as coordenadas das duas possíveis localizações do aspersor.

Um laser industrial deve realizar um corte principal numa chapa metálica seguindo a reta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Além disso, o sistema deve ser programado para fazer dois cortes paralelos de segurança a uma distância exata de $10$ mm de cada lado do corte principal. Determina as equações gerais das retas dos cortes de segurança.

Um veículo de exploração espacial move-se em linha reta segundo a equação $y = 2x$. No ponto $C(5, 0)$ encontra-se uma base de carregamento sem fios de emergência. Determine em que ponto exato da sua trajetória o veículo estará à distância mínima da base e calcule essa distância.

Um painel solar tem forma de quadrilátero com vértices nas coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ e $D(0, 3)$, medidas em metros. Calcule o perímetro exato do painel.

Um cometa atravessa um sistema estelar seguindo uma trajetória retilínea de equação $3x + y - 6 = 0$. Um satélite de observação encontra-se estacionário nas coordenadas $S(2, 4)$. Calcule a distância mínima a que o cometa passará do satélite.

Uma unidade técnica da IP (Infraestruturas de Portugal) monitoriza um troço retilíneo de via férrea que, sobre uma quadrícula topográfica com coordenadas em quilómetros, segue a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$. Instalou-se uma estação base de telecomunicações no ponto $T(6, 2)$.

1. a) Modela a situação calculando a distância mínima exata em quilómetros entre a estação base e a via férrea.
2. b) O protocolo de segurança ferroviária estabelece uma faixa de exclusão de $2\text{ km}$ para cada lado do eixo da via na qual não pode haver equipamentos sem blindagem eletromagnética. Determina fundamentadamente se a estação $T$ necessita da referida blindagem ou se se situa fora da faixa.
3. c) A partir da estação $T$ prevê-se lançar um drone de inspeção com um alcance máximo de radioligação de $5\text{ km}$. Justifica geometricamente se o drone pode alcançar algum ponto da via férrea e fundamenta quantos pontos da via se encontram exatamente a $5\text{ km}$ da base.

Determina as equações gerais das duas retas paralelas a $r: 5x - 12y + 8 = 0$ que se encontram a uma distância de exatamente $3$ unidades do ponto $A(1, -1)$. Em seguida, determina a distância que separa ambas as retas paralelas entre si e explica como se pode deduzir esse último valor de forma imediata por simetria, sem necessidade de aplicar nenhuma fórmula adicional.

Encontra os possíveis valores do parâmetro $k$ para que a reta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exatamente $2$ unidades do ponto $P(1, -2)$.

As retas $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 3 = 0$ representam as margens de duas avenidas que se cruzam. Pretende-se construir uma ciclovia que equidiste de ambas as avenidas em todos os pontos. Determine as equações das duas possíveis trajetórias da ciclovia (as bissetrizes) e demonstre analiticamente que são perpendiculares.

Um triângulo isósceles tem o seu lado desigual (a base) sobre a reta $r: x + y - 2 = 0$. O vértice oposto à base é $A(4, 4)$ e sabe-se que a área do triângulo é de $12$ u$^2$. Calcule o comprimento exato da base e dos dois lados iguais.

Encontra as coordenadas dos pontos do plano que cumprem simultaneamente duas condições: equidistam das retas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ e $s: 4x + 3y - 1 = 0$, e a sua distância à origem das coordenadas é exatamente $5$ unidades.

Determina as coordenadas dos vértices de um quadrado sabendo que um dos seus vértices é $A(1, 2)$ e que uma das suas diagonais está contida na reta $d: x - y - 1 = 0$.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ cuja distância à reta $r: 3x - 4y = 0$ é exatamente o dobro da sua distância ao ponto fixo $Q(0, 2)$. Simplifique a equação resultante.

Calcule os possíveis valores do parâmetro $c$ sabendo que as retas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ e $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distam entre si $3\sqrt{5}$ unidades.

Um losango tem um dos seus vértices no ponto $A(2, 1)$ e a diagonal que não passa por $A$ encontra-se sobre a reta $r: x + 2y - 9 = 0$. Se a área do losango é de $20$ u$^2$, determina as coordenadas dos três vértices restantes.

Para calcular a distância entre as duas retas paralelas $r: 3x - 4y + 7 = 0$ e $s: 6x - 8y - 11 = 0$, propõem-se três métodos de trabalho:

• Método A (Definição): Tomar um ponto arbitrário $P \in r$ e calcular $d(P, s)$ através da fórmula da distância de um ponto a uma reta.

• Método B (Projeção ortogonal): Traçar uma reta perpendicular comum a ambas, determinar os pontos de interseção $M \in r$ e $N \in s$, e calcular a norma do vetor $\vec{MN}$.

• Método C (Fórmula simplificada): Multiplicar a equação de $r$ por $2$ para igualar os coeficientes $A$ e $B$ com os de $s$, e aplicar diretamente a expressão $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Aplica o Método A e o Método C resolvendo ambos por completo, e verifica que fornecem exatamente o mesmo resultado.
2. b) Demonstra algebricamente a validade da fórmula do Método C: toma uma reta genérica $r: Ax + By + C_1 = 0$, escolhe nela um ponto genérico $P(x_0, y_0)$ que satisfaça $Ax_0 + By_0 = -C_1$, e calcula $d(P, s)$ em relação a $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Compara criticamente os três métodos: indica qual é o mais eficiente na prática, qual acarreta maior risco de erro por acumulação de cálculos e por que razão o Método B se torna desnecessariamente trabalhoso para este objetivo.

Consideram-se as retas secantes $r: 4x - 3y + 6 = 0$ e $s: 3x + 4y - 12 = 0$. Procuram-se pontos situados sobre o eixo das abcissas ($OX$) que sejam simultaneamente equidistantes de ambas as retas.

1. a) Escreve as coordenadas de um ponto genérico do eixo das abcissas, estabelece a condição algébrica $d(P, r) = d(P, s)$ e obtém as coordenadas exatas dos dois únicos pontos, $P_1$ e $P_2$, que verificam essa igualdade.
2. b) Determina as equações gerais das duas bissetrizes, $b_1$ e $b_2$, dos ângulos formados por $r$ e $s$. Verifica por substituição direta que $P_1$ pertence a uma delas e $P_2$ à outra.
3. c) Demonstra que as duas bissetrizes $b_1$ e $b_2$ são perpendiculares entre si e fundamenta que significado geométrico tem o facto de os pontos obtidos na alínea a) serem precisamente as interseções de cada bissetriz com o eixo das abcissas.