Exercícios: Simetrias no espaço

Num software de design de jogos eletrónicos, um objeto situado no ponto $P(4, -2, 6)$ deve ser refletido em relação a um ponto de controlo (centro de simetria) localizado em $M(1, 3, 2)$. Calcule as coordenadas do ponto simétrico $P'$ onde o objeto refletido aparecerá.

Sabe-se que o ponto $A'(0, 8, -4)$ é o simétrico de $A(2, -2, 6)$ em relação a um centro de simetria $C$. Determine as coordenadas desse centro $C$ utilizando a relação de ponto médio.

Calcula o ponto simétrico de $Q(3, -5, 7)$ em relação ao plano coordenado $XY$.

Dica: Lembra-te de que a equação do plano $XY$ é $z = 0$.

Encontre o ponto simétrico de $P(1, 2, 3)$ em relação à reta $r$ que coincide com o eixo $OX$.

Um raio laser sai do ponto $A(2, 3, 4)$ e reflete-se num espelho plano cuja equação é $\pi: y = 5$. Determine as coordenadas do ponto simétrico $A'$ em relação a esse plano.

Dado o ponto $P(1, 0, 1)$, determine o seu simétrico em relação ao plano $\pi: x + y + z = 5$ seguindo estes passos:

1. Determine a reta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa por $P$.

2. Calcule o ponto de interseção $M$ entre a reta $r$ e o plano $\pi$ (pé da perpendicular).

3. Utilize $M$ como ponto médio para determinar o simétrico $P'$.

Calcula o ponto simétrico de $B(5, 5, 5)$ em relação à reta $s$ dada por:

Nota: Esta é uma reta vertical, paralela ao eixo $OZ$, que passa pelo ponto $(1, 2, 0)$.

A figura mostra a vista de cima (plano $XY$): a reta $s$, por ser vertical, vê-se como um ponto, e também se vê a projeção de $B$.

Num cristal com estrutura de paralelogramo, são conhecidos três vértices: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ e $C(4, 5, 6)$. Se o centro do paralelogramo $M$ é o centro de simetria que liga vértices opostos, determina o quarto vértice $D$ sabendo que é o simétrico de $B$ em relação ao ponto médio do segmento $AC$.

Um drone submarino encontra-se na posição $D(4, -2, -5)$ (o plano XY representa o nível do mar). Primeiro, sobe verticalmente uma certa distância aplicando o vetor de translação $\vec{v} = (0, 0, 5)$. Em seguida, emite um pulso de sonar que se reflete especularmente no fundo marinho, o qual é completamente plano e está definido pela equação $z = -10$. Quais são as coordenadas do ponto simétrico da nova posição do drone em relação ao fundo marinho?

A Beatriz tem de calcular as coordenadas do ponto simétrico de $P(1, 0, -2)$ em relação ao plano $\pi: 2x - y + z + 5 = 0$. No seu exame desenvolve o seguinte:

1.º Escreve a reta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa por $P$: $r: (x, y, z) = (1 + 2t, -t, -2 + t)$.

2.º Substitui as equações paramétricas de $r$ no plano $\pi$ para determinar a interseção:

3.º Substitui o parâmetro $t$ na reta e obtém o ponto $M\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$.

4.º Conclui: «O ponto simétrico procurado é $P'\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$».

1. a) Aponta o erro conceptual cometido pela Beatriz e explica, apoiando-te na distância dos pontos ao plano $\pi$, por que razão o seu resultado é geometricamente impossível.
2. b) Corrige o procedimento e calcula as coordenadas corretas do ponto simétrico $P'$.

Considera-se o ponto $P(4, 2, -1)$ e o plano $\pi: x + y - 2 = 0$.

1. a) Antes de realizares cálculos analíticos detalhados, observa o vetor normal do plano $\pi$ e responde de forma fundamentada: que coordenada de $P$ permanecerá invariante no seu ponto simétrico $P'$? Além disso, tendo em conta que as coordenadas iniciais de $P$ verificam $x + y = 6 > 2$, estima de forma fundamentada se as coordenadas $x$ e $y$ de $P'$ deverão ser maiores ou menores do que as de $P$.
2. b) Determina analiticamente a projeção ortogonal $M$ de $P$ sobre $\pi$ e obtém as coordenadas do simétrico $P'$ aplicando a relação do ponto médio.
3. c) Verifica se os valores numéricos obtidos para $P'$ confirmam as estimativas geométricas que realizaste na alínea a).

Um arquiteto está a projetar uma estrutura metálica e precisa de colocar dois suportes em pontos que sejam simétricos em relação ao centro de uma viga principal. Se um dos suportes deve estar no ponto $P(3, -2, 4)$ e o centro da viga se encontra em $M(1, 2, 1)$, determine as coordenadas onde deve situar-se o segundo suporte $P'$.

Calcule as coordenadas do ponto $Q$, que é o simétrico do ponto $P(1, 0, 5)$ em relação ao plano de equação $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explique brevemente os passos seguidos (obtenção da reta perpendicular, ponto de interseção e ponto médio).

Dada a reta $r$ definida pelas equações paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Determina o ponto simétrico de $A(3, 2, 1)$ em relação a essa reta.

Num estúdio de realidade virtual, um objeto situado em $V(2, 4, 6)$ reflete-se sobre um espelho plano que coincide com o plano coordenado $OXY$ ($z=0$).

1. a) Determine o ponto simétrico $V'$.
2. b) Se o espelho se deslocar paralelamente até à posição $\pi: z = 2$, qual será o novo ponto simétrico $V''$?

Considere os pontos $A(1, 1, 1)$ e $B(3, 5, 5)$. Determine a equação do plano $\pi$ que atua como "plano de simetria" entre ambos os pontos (ou seja, o plano em relação ao qual $A$ e $B$ são simétricos).

Sabe-se que o ponto $P'(5, -3, 0)$ é o simétrico de $P(1, 1, 0)$ em relação a uma reta $r$. Se o vetor diretor da reta é $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina a equação reduzida da reta $r$.

Um raio laser parte do ponto $A(1, 2, 3)$, reflete-se num cristal plano cuja equação é $\pi: x + y + z = 12$ e chega ao ponto $B$. Sabendo que o ponto onde o laser toca o cristal é o ponto de incidência mínima (o ponto médio da trajetória se $A$ e $B$ fossem simétricos), determina as coordenadas de $B$ sabendo que é o simétrico de $A$ em relação ao plano $\pi$.

Determine o valor dos parâmetros $a$ e $b$ para que os pontos $P(1, 2, -1)$ e $Q(a, b, 3)$ sejam simétricos em relação ao ponto $C(0, 1, 1)$. Uma vez encontrados, verifique se o vetor $\vec{PQ}$ é paralelo ao vetor $\vec{u} = (1, 1, -4)$.

Sabe-se que o ponto $P'(-1, 5, 2)$ é o simétrico de $P(3, 1, -2)$ em relação a um plano de reflexão $\pi$ desconhecido.

1. a) Deduz de forma fundamentada a equação geral do plano $\pi$. Justifica cada passo explicando que duas propriedades geométricas fundamentais relacionam o segmento $PP'$ com o plano de simetria.
2. b) Uma reta do espaço é globalmente invariante por uma simetria especular (isto é, a sua reta simétrica coincide com ela própria, $r' = r$) se e só se cumprir uma de duas condições geométricas possíveis em relação ao plano $\pi$. Enuncia de forma fundamentada quais são essas duas condições e determina se a reta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}$ é invariante em relação ao plano $\pi$ obtido na alínea anterior.

No projeto de modernização do túnel da M-30 em Madrid, utiliza-se um sistema tridimensional de coordenadas (em metros) para colocar sensores acústicos simétricos. A parede lateral esquerda do troço fica modelada pelo plano $\pi: 2x - y + 2z - 12 = 0$. Na parede oposta fixou-se um primeiro sensor no ponto $P(7, 1, 4)$.

1. a) Por motivos de calibração e equilíbrio acústico, deve colocar-se um segundo sensor na posição $P'$, simétrica de $P$ em relação à parede $\pi$. Determina de forma fundamentada as coordenadas onde deve ser fixado $P'$.
2. b) Um cabo de dados liga o sensor $P$ a uma caixa de derivação situada em $C(-2, 1, 4)$. A equipa técnica propõe localizar a caixa simétrica correspondente no ponto $C^*(2, -1, 5)$. Sem necessidade de calcular toda a reta simétrica, verifica se $C^*$ é exatamente o simétrico de $C$ em relação a $\pi$. Em caso negativo, identifica que verificação geométrica rápida (a direção perpendicular ou a posição do ponto médio) denuncia o erro e calcula a posição correta $C'$.

Um drone de vigilância está situado no ponto $A(1, -2, 3)$. Para evitar ser detetado por um radar, deve deslocar-se até ao ponto $B(5, 4, 1)$ realizando uma escala técnica numa plataforma plana representada pelo plano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determine as coordenadas de um ponto $P$ nesse plano de modo que a trajetória total $AP + PB$ seja mínima.

Indicação: Utilize a simetria do ponto $A$ em relação ao plano $\pi$ para resolver este problema de otimização geométrica.

Projeta-se um feixe de luz laser que segue a trajetória da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. O raio incide sobre uma superfície metálica polida situada no plano $XY$ (plano $z=0$). Calcule a equação da reta $s$ que contém o raio refletido.

Nota: A reta refletida é a simétrica da reta incidente em relação ao plano de incidência.

Determine o valor do parâmetro $k \in \mathbb{R}$ para que o ponto simétrico de $P(1, k, 2)$ em relação à reta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ pertença ao plano $\pi: 3x - y + z - 10 = 0$.

Considere os pontos $A(2, 0, 1)$ e $B(0, 2, -1)$. Sabe-se que o ponto $B$ é o simétrico de $A$ em relação a uma reta $r$ que passa pela origem das coordenadas. Determine as equações cartesianas dessa reta $r$.

Encontra a equação do plano $\pi'$ que é simétrico ao plano $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ em relação ao plano de simetria $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Ajuda: Analisa a posição relativa de ambos os planos. Se forem secantes, a reta de interseção pertencerá ao plano procurado.

Sejam as retas $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ e $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$. Calcula o ponto simétrico de $Q(0, 0, 10)$ em relação ao plano que contém ambas as retas. Se não existir tal plano, justifica por que motivo e calcula o simétrico de $Q$ em relação à reta $s$.

Dado o ponto $A(1, 2, 3)$, calcula as coordenadas dos seus simétricos em relação aos três planos coordenados ($XY$, $XZ$ e $YZ$). Determina se os quatro pontos (o original e os três simétricos) são coplanares e, em caso afirmativo, encontra a equação do plano que os contém.

Num projeto de arquitetura pretende-se construir uma estrutura simétrica em relação a um pilar central representado pela reta $r: x-1 = y = \dfrac{z+2}{2}$. Um dos vértices da estrutura está no ponto $V(3, 1, 0)$.

1. a) Determina o vértice simétrico $V'$ de $V$ em relação ao pilar $r$.

1. b) Calcula o volume do tetraedro cujos vértices são $V$, $V'$, a origem das coordenadas $O(0,0,0)$ e o ponto $A(1, 0, -2)$ da reta $r$.

Para determinar a reta simétrica $s'$ de uma reta $s$ em relação a um plano $\pi$, costumam comparar-se duas estratégias:

• Método A: Determinar o ponto de interseção $I = s \cap \pi$ (que por estar no plano é invariante, $I' = I$), calcular o simétrico $A'$ de outro ponto qualquer $A \in s$ em relação a $\pi$, e traçar a reta que passa por $I$ e $A'$.

• Método B: Selecionar dois pontos distintos $A, B \in s$, calcular de forma independente os seus simétricos $A'$ e $B'$ em relação a $\pi$, e escrever a reta que une $A'$ e $B'$.

1. a) Analisa criticamente ambos os caminhos: para que posição relativa da reta $s$ em relação ao plano $\pi$ é que o Método A se torna inviável? De que modo a geometria do problema permite simplificar o cálculo nesse caso particular sem necessidade de refletir dois pontos completos como exigiria o Método B padrão?
2. b) Dadas a reta $s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$ e o plano $\pi: x + 2y + z + 5 = 0$, analisa a sua posição relativa, justifica qual é a via de resolução mais eficiente e obtém as equações contínuas da reta simétrica $s'$.

No espaço tridimensional consideram-se os pontos $P(2, 3, 1)$ e $P'(-2, 1, 5)$, que são simétricos em relação a um eixo de simetria axial (uma reta $e$).

1. a) Ao contrário do que acontece no plano $\mathbb{R}^2$, onde dois pontos simétricos determinam um único eixo de simetria, em $\mathbb{R}^3$ existem infinitas retas que podem atuar como eixo de simetria para o par $P$ e $P'$. Explica de forma fundamentada por que razão isto acontece e descreve que lugar geométrico formam todos os possíveis eixos de simetria axial associados a esses pontos.
2. b) Acrescenta-se a restrição de que o eixo de simetria $e$ deve estar contido no plano $\pi: x + y + z - 5 = 0$. Justifica por que razão esta condição é geometricamente compatível com as posições de $P$ e $P'$, e obtém as equações contínuas do eixo de simetria $e$.
3. c) Verifica analiticamente a validade da reta $e$ obtida verificando duas condições métricas essenciais: a pertença do ponto médio de $PP'$ à reta $e$ e a ortogonalidade entre o vetor diretor de $e$ e o vetor $\vec{PP'}$.