Exercícios: Ângulos entre retas e planos no espaço

Um arquiteto está a projetar a cobertura inclinada de um pavilhão desportivo. No seu projeto, a estrutura de suporte principal segue a direção da reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, enquanto o piso do pavilhão se encontra sobre o plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcule o ângulo formado pela viga de suporte com o piso.

A trajetória de um drone de vigilância é definida pela reta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. O drone deve atravessar um painel de vidro blindado situado no plano $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Determine o ângulo de incidência (o ângulo que a trajetória forma com o plano) com que o drone impactará o vidro.

Calcule o ângulo formado pela reta $r$ que passa pelos pontos $A(1, 0, 1)$ e $B(2, 1, 2)$ com o plano de equação geral $\pi: x + y + 1 = 0$.

Dada a reta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ e o plano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, verifique se a reta e o plano são paralelos ou se, pelo contrário, se intersectam formando um ângulo determinado. Caso se intersectem, calcule esse ângulo.

Um raio laser sai da origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$ na direção do vetor $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Considere-se uma parede plana cuja equação é $\pi: x - 2y + z = 0$. Que ângulo forma o feixe de luz com a superfície da parede?

Calcula o ângulo que a reta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ forma com o plano coordenado $OXY$ ($z = 0$). Explica brevemente o significado geométrico do resultado obtido.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ seja perpendicular ao plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Qual é o ângulo formado nesse caso?

Calcule o seno do ângulo formado pela reta $r$, definida como a interseção dos planos $\pi_1: x - y = 0$ e $\pi_2: y - z = 0$, com o plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugestão: Obtenha primeiro o vetor diretor da reta $r$ por meio do produto vetorial dos vetores normais de $\pi_1$ e $\pi_2$).

O Marcos depara-se com o seguinte problema de exame: «Calcula o ângulo $\alpha$ que a reta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z}{0}$ forma com o plano $\pi: x + \sqrt{3}y - 7 = 0$». No seu desenvolvimento escreve:

«Extraio o vetor diretor da reta $\vec v = (1, 0, 0)$ e o vetor normal do plano $\vec n = (1, \sqrt{3}, 0)$. Aplico a fórmula do produto escalar:

Logo, $\alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ$».

1. a) Indica o erro concetual que o Marcos cometeu e explica geometricamente por que razão a razão trigonométrica adequada entre uma reta e um plano é o seno e não o cosseno.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor real do ângulo $\alpha$.
3. c) Se o produto escalar entre $\vec v$ e $\vec n$ tivesse sido igual a $0$, que posição relativa teriam a reta e o plano? Que ângulo formariam?

Considera a reta $r$ que passa pela origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$ e pelo ponto $A(1, 1, 8)$, e o plano horizontal do chão $\pi: z = 0$.

1. a) Estima: Antes de realizar qualquer cálculo trigonométrico, analisa as componentes do vetor diretor $\vec{OA} = (1, 1, 8)$. Se um ponto sobe $8$ unidades na vertical enquanto avança apenas $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unidades no plano horizontal, esperas razoavelmente que o ângulo $\alpha$ da reta com o chão esteja mais próximo de $15^\circ$, de $45^\circ$ ou de $80^\circ$? Justifica qualitativamente a tua previsão.
2. b) Calcula: Obtém analiticamente o valor exato de $\sin\alpha$ utilizando os vetores correspondentes e calcula o valor de $\alpha$ arredondado ao minuto de grau mais próximo.
3. c) Verifica: Compara o resultado com a tua estimativa inicial. Justifica o que aconteceria ao ângulo $\alpha$ se a cota $z$ do ponto $A$ aumentasse indefinidamente, mantendo constantes a sua abcissa e a sua ordenada.

Calcule o ângulo agudo formado pela reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 0, -2)$ e $B(3, -1, 1)$, com o plano $\pi$ de equação geral $2x + y - 3z + 4 = 0$. Exprima o resultado em graus, minutos e segundos.

Dada a reta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ e o plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determine o valor do parâmetro real $k$ sabendo que o ângulo formado pela reta e pelo plano é de $30^\circ$.

Um gabinete de arquitetura projeta uma claraboia num telhado inclinado representado pelo plano $\pi \equiv 3x + 4y + z - 12 = 0$. Um raio de luz incide segundo a direção da reta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{2}$.

Calcule o ângulo $\alpha$ que o raio de luz forma com o plano do telhado e o ângulo de incidência $\beta$ que forma com a normal ao plano.

Determine a equação geral do plano $\pi$ que contém a reta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ e é perpendicular ao plano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Uma vez encontrada, verifique qual é o ângulo formado pela reta $r$ com esse plano $\pi$. O resultado era previsível? Justifique a sua resposta.

Considere o cubo de aresta 1 unidade com um vértice na origem $(0,0,0)$ e arestas sobre os eixos coordenados positivos. Seja $d$ a reta que contém a diagonal principal do cubo (a que une $(0,0,0)$ a $(1,1,1)$).

Determine o ângulo que essa diagonal $d$ forma com a face do cubo que se encontra no plano $XY$.

Encontra o ângulo formado pela reta $r$, definida como a interseção dos planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ e $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, com o plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

Foi instalado um painel solar representado pelo plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Sabe-se que o painel passa pelo ponto $P(1, 2, 1)$ e que, para maximizar a sua eficiência, deve formar um ângulo de $60^\circ$ com o eixo $OZ$ (a vertical).

Calcule os possíveis valores do parâmetro $a$ (suponha $a > 0$).

Calcule o ângulo formado pela reta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ com cada um dos planos coordenados. A soma desses três ângulos é $180^\circ$? Justifique a sua resposta utilizando os conceitos de vetores diretores e normais.

Numa exploração agroenergética de regadio no distrito de Faro, instala-se um painel solar orientado para maximizar a captação estival. No sistema de coordenadas fixado (com cotas em metros e o chão situado no plano horizontal $z = 0$), o painel fotovoltaico assenta sobre o plano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$.

Para reforçar a estrutura contra o vento, fixa-se uma barra retilínea de aço $r$ que une o ponto do chão $A(1, 0, 0)$ ao vértice superior da estrutura $B(3, 2, 4)$.

1. a) Determina as equações cartesianas da reta $r$ que modela a barra e as componentes de um vetor normal $\vec n$ ao plano $\pi$ do painel.
2. b) Calcula o ângulo $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ que a barra forma com a superfície plana do painel solar.
3. c) A memória descritiva do projeto adverte que, para evitar tensões de arrancamento nas fixações do painel, a barra de reforço deve incidir sobre a superfície com um ângulo estritamente superior a $20^\circ$. Determina, justificando, se a instalação executada cumpre essa prescrição técnica.

Projeta-se o desenho de uma rampa retilínea de carga $r$ a partir do ponto de fixação $P(1, 0, 2)$. Devido a limitações arquitetónicas do pavilhão industrial, a trajetória da rampa deve ficar totalmente contida no plano vertical $\pi_1: x = 1$ e, além disso, os protocolos de ergonomia exigem que suba formando um ângulo exato de $30^\circ$ com o chão horizontal $\pi_2: z = 0$.

1. a) A partir da condição de pertença ao plano $\pi_1: x = 1$, deduz que componente do vetor diretor $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ é obrigatoriamente nula.
2. b) Escreve a equação do ângulo entre reta e plano com $\pi_2: z = 0$ para encontrar as componentes dos possíveis vetores diretores $\vec v$ (assumindo, para fixar a escala, que a componente vertical é $v_3 = 1$).
3. c) Escreve as equações contínuas das duas retas distintas que resolvem o problema e explica geometricamente por que razão surgem exatamente duas soluções simétricas em relação à reta vertical que passa por $P$.

Um feixe de luz laser incide a partir de um satélite seguindo a trajetória da reta $r$, que passa pelo ponto $A(1, 0, 2)$ e tem como vetor diretor $\vec{v}(k, 1, 1)$. O objetivo é que o raio incida sobre uma estação recetora situada num plano $\pi$ de equação $2x - y + z = 5$. Determine os valores do parâmetro real $k$ para que o ângulo formado pela trajetória do laser com o plano recetor seja exatamente de $30^\circ$.

No projeto de um auditório de vanguarda, projeta-se uma viga de suporte que segue a direção da reta $s$, definida pela interseção dos planos:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Pretende-se que essa viga forme um ângulo $\alpha$ com o plano da fachada principal $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Sabendo que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcule o valor do coeficiente $a$ da fachada.

Um braço robótico industrial numa fábrica de montagem deve deslocar-se sobre uma guia retilínea $r$ que passa pela origem das coordenadas $O(0,0,0)$ e pelo ponto $P(1, -1, 0)$. O braço deve operar sobre uma placa metálica inclinada que coincide com o plano $\pi$ que contém os pontos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Calcule o ângulo formado pela trajetória do robô com a placa de trabalho.

Uma partícula carregada move-se num acelerador seguindo a reta $r$ que passa pelo ponto $M(2, 3, -1)$ e é paralela à reta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. Ao entrar numa zona com um campo magnético, a partícula cruza um plano $\pi$ que é perpendicular à reta $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Determine o ângulo de entrada da partícula nesse campo magnético (ângulo entre $r$ e $\pi$).

Considera-se uma pirâmide cuja base é o plano $XY$ ($z=0$) e cuja aresta lateral principal está sobre a reta $r$ que une o vértice superior $V(2, 2, 5)$ ao ponto da base $P(0, 0, 0)$.

1. a) Determine o ângulo que essa aresta forma com o plano da base.
2. b) Se quiséssemos inclinar o plano da base para que o ângulo com a aresta fosse de $90^\circ$, qual deveria ser a equação do novo plano da base se ele tivesse de continuar a passar pela origem?

Encontre a equação da reta $r$ que passa pelo ponto $Q(1, 1, 1)$, é paralela ao plano $\alpha \equiv x - y + z = 2$ e forma um ângulo de $45^\circ$ com o plano $\beta \equiv x + y = 0$. Essa reta é única? Justifique fundamentadamente a sua resposta utilizando o conceito de vetores diretores.

Um painel solar é colocado sobre uma estrutura metálica. O painel está contido no plano $\pi \equiv x + y + z = 1$. Os raios de sol ao meio-dia seguem a direção da reta $r$ que passa pelo ponto $S(10, 10, 10)$ e é perpendicular ao plano de inclinação do terreno $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calcula o ângulo de incidência dos raios solares sobre o painel.
2. b) Se para obter a máxima eficiência o ângulo deve ser de $90^\circ$, determina um vetor normal para um novo painel que cumpra esta condição.

Calcule o ângulo formado pela reta $r$ com o plano $\pi$, sabendo que $r$ é a reta que contém a mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ e $C(1, 4, 3)$, e que o plano $\pi$ é o plano que contém os pontos $B$, $C$ e a origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$.

Dada a reta $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ e o plano horizontal $XY$ de equação geral $\pi: z = 0$.

Para determinar o ângulo $\alpha$ que a reta $r$ forma com o referido plano, dois estudantes do 12.º ano propõem caminhos alternativos:

• Estratégia A (Ângulo reta-plano): Utilizar o vetor normal do plano $\vec n = (0, 0, 1)$ e o vetor diretor $\vec v = (2, -1, 2)$ através da fórmula direta $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Estratégia B (Ângulo complementar com o eixo $OZ$): Considerar o eixo vertical $OZ$ como uma reta de vetor diretor $\vec u = (0, 0, 1)$, calcular o ângulo entre retas $\beta$ através de $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ e finalmente obter $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos numericamente e verifica que fornecem exatamente a mesma medida para $\alpha$.
2. b) Demonstra analiticamente que a fórmula da Estratégia A se deduz da Estratégia B aplicando a identidade trigonométrica $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, explicando o papel do complementar na definição métrica.
3. c) Avalia criticamente ambos os procedimentos: se o plano do problema não fosse horizontal, mas sim um plano oblíquo qualquer (por exemplo, $\pi': 2x - 3y + z = 5$), que desvantagem inultrapassável ou custo computacional acrescido apresentaria a Estratégia B face à Estratégia A? Justifica qual é o método geral preferível.

Considera a reta $s$ definida pela interseção de planos:

e a reta $r$ dada na forma contínua:

Define-se o feixe de planos concorrentes na reta $s$, cuja equação é dada por $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ com $\lambda \in \mathbb{R}$, ao qual se adiciona o plano complementar $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Encontra os valores de $\lambda$ para os quais o ângulo $\alpha$ formado pela reta $r$ e pelo plano $\pi_\lambda$ é exatamente de $45^\circ$. Escreve a equação geral de cada um dos planos obtidos.
2. b) Verifica analiticamente se o plano complementar $\pi_\infty: y - 3 = 0$ também forma $45^\circ$ com $r$.
3. c) Justifica geometricamente se existe algum plano dentro deste feixe que possa ser estritamente perpendicular à reta $r$. Para isso, analisa a condição necessária que os vetores diretores de ambas as retas $\vec v_s$ e $\vec v_r$ deveriam cumprir, sem necessidade de resolver sistemas de equações complexos.