Exercícios: Paralelismo e perpendicularidade de retas

Escreve o declive de uma reta que seja paralela e o declive de uma reta que seja perpendicular à reta de equação $y = 4x - 7$.

Dadas as retas $r: y = -2x + 5$ e $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indique fundamentadamente se são paralelas, perpendiculares ou secantes não perpendiculares.

Determine a equação reduzida da reta que é paralela a $y = -3x + 2$ e que passa pelo ponto $P(0, 5)$.

Um vetor diretor da reta $r$ é $\vec{v} = (3, -1)$. Escreve um vetor diretor para uma reta que seja paralela a $r$ e outro para uma reta que seja perpendicular a $r$.

Determine a equação reduzida da reta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que passa pelo ponto $A(4, 2)$.

Verifique analiticamente se as retas dadas na forma geral $r: 3x - 6y + 2 = 0$ e $s: x - 2y - 5 = 0$ são paralelas.

Escreve a equação geral da reta que é paralela ao eixo das abcissas (eixo Ox) e passa pelo ponto $Q(-3, 8)$.

Calcule o declive da reta que passa pelos pontos $A(2, -1)$ e $B(5, 8)$, e deduza a partir dele qual seria o declive de qualquer reta perpendicular à mesma.

O Marcos tem de determinar a equação reduzida da reta $s$, perpendicular à reta $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$, que passa pelo ponto $P(0, -5)$. No seu teste escreve o seguinte:

«Como é perpendicular, mudo o sinal do declive, por isso $m_s = \dfrac{3}{4}$. Como interseta o eixo das ordenadas em $-5$, a reta é $y = \dfrac{3}{4}x - 5$».

1. a) Identifica e explica fundamentadamente o erro conceptual do Marcos. Apoia-te no significado geométrico do declive (deslocamento horizontal e elevação) para justificar por que razão a sua reta não forma um ângulo de $90^\circ$ com $r$.
2. b) Corrige a resolução e escreve a equação reduzida correta da reta $s$.

Constrói as equações gerais ($Ax + By + C = 0$) de duas retas distintas, $r$ e $s$, que satisfaçam cumulativamente as seguintes condições:

1) Ambas devem ser perpendiculares à reta dada $t: 2x - 5y + 10 = 0$.

2) A reta $r$ deve passar pela origem das coordenadas $(0, 0)$.

3) A reta $s$ deve intersetar o eixo das abcissas no ponto $(4, 0)$.

Depois de obtidas, demonstra que $r$ e $s$ são paralelas entre si analisando os seus declives ou os seus coeficientes, e explica que significado geométrico tem a diferença entre os seus termos independentes $C$.

No mapa de uma cidade, a Rua Augusta segue a trajetória da reta $2x + 5y - 10 = 0$. A Rua Garrett é perpendicular a ela e passa por uma praça situada nas coordenadas $P(-2, 3)$. Determine a equação geral da Rua Garrett.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a reta $kx - 3y + 6 = 0$ seja paralela à reta que une os pontos $A(1, 2)$ e $B(4, 11)$.

Um feixe laser viaja ao longo da reta $y = 3x - 2$. No ponto exato onde o laser cruza o eixo das ordenadas (eixo Y), coloca-se um espelho perpendicular à trajetória do raio. Determine a equação reduzida da reta que representa o espelho.

Os lados contíguos de um terreno retangular assentam sobre as retas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ e $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Verifique analiticamente que os lados formam um ângulo reto. Depois, determine a equação de uma reta paralela a $r$ que passe pela origem das coordenadas.

Dois aviões voam à mesma altitude. A rota do primeiro avião é dada pelas equações paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. A rota do segundo avião é paralela à do primeiro e passa pela torre de controlo $T(0, 0)$. Escreva as equações paramétricas da rota do segundo avião.

Determine o valor do parâmetro $m$ para que as retas $r: mx + 4y - 1 = 0$ e $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sejam perpendiculares.

Uma tubagem principal de rega segue a reta de equação contínua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. É necessário instalar uma tubagem secundária perpendicular à principal que ligue a um aspersor situado em $S(-1, 5)$. Determine a equação contínua desta tubagem secundária.

Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de extremos $A(-2, 3)$ e $B(4, 1)$. (Lembre-se de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio).

Dois repetidores de telecomunicações situam-se nas coordenadas $A(-2, -1)$ e $B(4, 3)$. Para distribuir a cobertura de forma equilibrada, os técnicos devem traçar a mediatriz do segmento $AB$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico:

• Deduz fundamentadamente se o declive do segmento $AB$ é positivo ou negativo e, a partir dele, que sinal deve ter o declive da mediatriz.

• Determina mentalmente em que quadrante estará o ponto médio do segmento $AB$ e estima se a ordenada na origem da mediatriz será positiva ou negativa.

1. b) Realiza os cálculos analíticos: calcula as coordenadas do ponto médio de $AB$, o declive da mediatriz e escreve a sua equação na forma geral ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Verifica se os valores calculados na alínea b confirmam as estimativas que fizeste na alínea a e fundamenta por que razão o resultado é geometricamente coerente.

Na rede ferroviária, um troço reto de linha de alta velocidade segue a trajetória da reta $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (onde as coordenadas $x$ e $y$ estão em quilómetros relativamente a um centro de controlo). Uma plataforma logística situada no ponto $P(7, 7)$ precisa de ser ligada à linha principal através de um ramal secundário totalmente reto.

1. a) Para minimizar o custo e o impacto ambiental, o ramal deve seguir a distância mais curta possível até à linha. Determina a equação geral da reta $s$ pela qual deve passar esse ramal e justifica que propriedade geométrica garante que seja o traçado de menor comprimento.
2. b) Calcula as coordenadas exatas do ponto de ligação $Q$ onde o ramal se unirá à linha principal, resolvendo o sistema formado por ambas as retas.
3. c) A regulamentação estabelece que se a distância entre a plataforma e a linha principal ultrapassar os $4\text{ km}$, deve ser construída uma estação técnica intermédia. Justifica se será necessária essa estação, calculando a distância exata entre $P$ e $Q$.

O projeto do telhado de um pavilhão desportivo inclui duas vigas de aço que se cruzam. A viga 1 apoia-se na reta $ax + 3y - 5 = 0$ e a viga 2 na reta $2x - by + 4 = 0$. Calcule os valores exatos de $a$ e $b$ sabendo que as vigas são perpendiculares e que a viga 1 passa pelo ponto $P(1, -2)$.

Demonstre analiticamente que o quadrilátero cujos vértices são $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ e $D(0, 3)$ é um retângulo. Para isso, verifique os declives dos seus lados e confirme que os ângulos adjacentes são retos.

Um barco navega em linha reta seguindo a trajetória $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Um farol encontra-se situado no ponto $F(7, 7)$. Calcule a distância mais curta do farol à trajetória do barco. (Dica: determine a reta perpendicular a $r$ que passa por $F$, determine o ponto de interseção e calcule a distância entre ambos os pontos).

Dadas as retas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ e $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determine o valor de $k$ para que sejam paralelas. Em seguida, calcule o valor de $k$ para que sejam perpendiculares.

Calcule as coordenadas exatas do ortocentro (ponto de interseção das três alturas) do triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(2, -5)$.

Um painel solar está alinhado com a reta que passa pelos pontos $P(1, 4)$ e $Q(5, 2)$. Para maximizar a eficiência, os raios solares devem incidir de forma perpendicular sobre o painel. Escreva as equações paramétricas da trajetória de um raio solar que incide exatamente no ponto médio do painel.

Determine as coordenadas exatas da projeção ortogonal do ponto $P(3, -2)$ sobre a reta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: a projeção ortogonal é o ponto de interseção da reta $r$ com a reta perpendicular a ela que passa por $P$).

Dois robôs aspiradores movem-se por um salão amplo. O primeiro segue a trajetória dada pela equação $y = \frac{1}{2}x + 2$. O segundo move-se por uma reta perpendicular à do primeiro, de modo que ambos colidiriam no ponto exato de interseção da primeira trajetória com o eixo das ordenadas (eixo Y). Determina a equação reduzida da trajetória do segundo robô e calcula a área do triângulo formado pelas trajetórias de ambos os robôs e pelo eixo das abscissas (eixo X).

Para verificar se as retas $r: 12x - 15y + 8 = 0$ e $s: 10x + 8y - 3 = 0$ são perpendiculares entre si, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método 1: Isolar a equação reduzida ($y = mx + n$) de cada uma, identificar os seus declives e verificar se $m_r \cdot m_s = -1$.

• Método 2: Aplicar diretamente a condição sobre os coeficientes da equação geral ($A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$).

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos e verifica que conduzem à mesma conclusão.
2. b) Compara os dois caminhos: qual resulta mais eficiente e minimiza o risco de cometer erros com frações e sinais? Deduz algebricamente por que razão a condição $A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$ equivale exatamente a $m_r \cdot m_s = -1$.
3. c) Sabendo que $r$ e $s$ são perpendiculares, é possível encontrar alguma reta no plano que seja paralela a $r$ e que não seja perpendicular a $s$? Justifica a tua resposta de forma lógica sem necessidade de recorrer a equações numéricas.

Num plano urbanístico vão ser situados três edifícios $A$, $B$ e $C$ de modo a formarem um triângulo retângulo cujo ângulo reto esteja no vértice $B$. As posições dos dois primeiros são fixas: $A(-1, 2)$ e $B(3, 5)$. O terceiro edifício, $C$, deve localizar-se sobre uma avenida cuja trajetória é a reta horizontal de equação $y = 11$.

1. a) Estabelece a condição analítica de perpendicularidade entre as retas que contêm os lados $AB$ e $BC$, e calcula as coordenadas exatas $(x_C, y_C)$ em que deve ser construído o edifício $C$.
2. b) Supõe agora que o projeto é alterado e o edifício $C$ deve situar-se obrigatoriamente sobre uma rua vertical de equação $x = k$. Demonstra algebricamente se existe algum valor concreto de $k$ para o qual seja totalmente impossível construir o triângulo retângulo com vértice reto em $B$, e explica que situação geométrica anómala ocorre nesse caso.