Exercícios: Taxa de variação, taxa de variação média e taxa de crescimento

A seguinte tabela mostra a temperatura $T$ (em $^{\circ}C$) de uma reação química em função do tempo $t$ (em minutos).

• Para $t = 0$, $T = 15$

• Para $t = 1$, $T = 18$

• Para $t = 2$, $T = 24$

• Para $t = 3$, $T = 32$

• Para $t = 4$, $T = 45$

• Para $t = 5$, $T = 60$

Calcule a Taxa de Variação (TV) e a Taxa de Variação Média (TVM) no intervalo $[2, 5]$.

Dada a função afim $f(x) = 4x - 5$, calcule a sua taxa de variação média nos intervalos $[-2, 1]$ e $[3, 6]$. Que conclusão é possível extrair sobre a taxa de variação média das funções lineares?

Calcule a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no intervalo $[1, 4]$.

O gráfico mostra o crescimento de uma planta, onde $h(t)$ é a altura em centímetros e $t$ o tempo em semanas. A partir do gráfico, calcule a taxa de variação média da altura no intervalo $[1, 4]$.

Um ciclista percorre uma distância dada pela função $d(t) = 3t^2 + 2t$, onde $d$ é medido em metros e $t$ em segundos. Determine a velocidade média do ciclista, que equivale à taxa de variação média da posição, entre os instantes $t = 2$ e $t = 5$.

Sabendo que a taxa de variação média de uma função $f(x)$ no intervalo $[2, 6]$ é igual a $5$, e que $f(2) = 7$, determine o valor de $f(6)$.

Calcule a taxa de variação média da função de proporcionalidade inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ no intervalo $[2, 8]$.

O saldo $S$ (em euros) de uma conta de poupança em função do tempo $t$ (em meses) é dado pela expressão $S(t) = 150 + 25t$. Determine a taxa de variação média no intervalo $[0, 6]$ e interprete o resultado numérico no contexto do problema.

O número de utilizadores ativos de uma aplicação móvel passou de $2000$ a $2500$ ao longo de um mês. Calcule a taxa de crescimento expressa em percentagem.

O Tomás analisa a evolução dos habitantes registados num município do distrito de Bragança entre os anos de 2015 ($t = 0$) e 2023 ($t = 8$). O número de habitantes registados passou de $2\,400$ para $3\,000$. Para calcular o ritmo médio de variação anual, o Tomás escreve no seu exame:

E afirma na sua conclusão: «O município cresceu a um ritmo médio de $0,25$ habitantes por ano».

1. a) Identifica o erro concetual que o Tomás cometeu e explica que grandeza calculou realmente em vez da taxa de variação média.
2. b) Corrige a sua resolução calculando a verdadeira taxa de variação média (TVM) no intervalo $[0, 8]$, indicando e interpretando as suas unidades.
3. c) Pega no resultado erróneo do Tomás ($0,25$) e interpreta que informação fornece se for expresso como taxa de crescimento percentual (TC).

A estação meteorológica do IPMA em Évora regista durante um dia de verão as seguintes temperaturas: às $11:00$ ($t = 11$) o termómetro marca $30\,^{\circ}\text{C}$ e às $16:00$ ($t = 16$) atinge a temperatura máxima do dia com $42,5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo formal, faz uma estimativa intuitiva e fundamentada: achas que a temperatura terá subido mais ou menos de $2\,^{\circ}\text{C}$ por hora, em média? Justifica a tua resposta numa frase a partir dos dados brutos.
2. b) Calcula a taxa de variação (TV) e a taxa de variação média (TVM) da temperatura no intervalo $[11, 16]$, especificando as unidades de cada resultado.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta comparando-a com o valor exato da TVM e fundamenta: será que este valor médio significa que a temperatura subiu exatamente essa quantidade em cada uma das cinco horas do intervalo?

As visualizações de um vídeo viral crescem seguindo o modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, onde $N$ é o número de visualizações em milhares e $t$ é medido em dias. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Compare os resultados e explique o que indicam sobre o ritmo de crescimento do vídeo.

Determine o valor do parâmetro $a$ para que a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ no intervalo $[1, 5]$ seja exatamente igual a $14$.

O gráfico seguinte mostra o número de espectadores $V(t)$, em milhares, das transmissões de um torneio de e-sports durante os primeiros $5$ meses da temporada. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Interprete o significado dos sinais obtidos em cada caso.

De uma ponte alta deixa-se cair uma pedra. A altura $h$ (em metros) em relação à superfície da água em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela equação $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[1; 2,5]$. Que grandeza física este valor representa e porque é que tem sinal negativo?

Dada a função com radical $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, determine a sua taxa de variação média nos intervalos $[2, 6]$ e $[6, 14]$.

O volume $V$ (em litros) de água num reservatório industrial que está a ser esvaziado é dado pela função $V(t) = 500 - 10t - t^2$, onde $t$ é medido em minutos. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[0, 5]$ e $[5, 10]$. Em qual intervalo de tempo o reservatório se esvazia mais depressa?

Considere a função quadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[2, 5]$ e utilize esse valor para escrever a equação da reta secante ao gráfico de $f(x)$ que passa pelos pontos de abscissa $x = 2$ e $x = 5$.

Dada a seguinte função definida por ramos, calcule a taxa de variação média no intervalo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

O valor de um carro deprecia-se segundo a função $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, onde $t$ são os anos decorridos desde a sua compra e $V(t)$ o preço em euros. Calcule a taxa de crescimento percentual no primeiro ano (intervalo $[0, 1]$) e explique o significado prático do seu sinal.

O nível de água de uma barragem (em hectómetros cúbicos) durante os meses de verão segue a função $N(t) = \frac{120}{t+1}$, onde $t$ é o número de meses decorridos ($t=0$ é o início de junho, $t=1$ é o início de julho, etc.). Calcule a taxa de variação média entre o início de junho e o início de agosto ($t=2$) e a taxa de crescimento percentual nesse mesmo período.

O preço de um produto tecnológico era de $800$ € no seu lançamento. Dois meses depois, o seu preço desceu para $640$ €. Supondo um modelo de decrescimento linear, calcule a taxa de variação média mensal e a taxa de variação percentual total nesses dois primeiros meses.

O custo total de transporte (em euros) faturado por uma empresa de logística em função da distância do envio $x$ (medida em dezenas de quilómetros, com $x \ge 0$) é dado pela função $C(x) = 0,5x^2 + 2x + 10$.

1. a) Um transporte parte da central ($x = 0$) com destino a um ponto situado a uma distância desconhecida $b$ dezenas de quilómetros. Sabendo que a taxa de variação média do custo nesse trajeto foi de $5$ euros por dezena de quilómetros (ou seja, $\text{TVM}[0, b] = 5$), formula a equação correspondente e calcula o valor exato de $b$.
2. b) Outro cliente solicita um transporte entre dois armazéns situados nas posições $x = 3$ e $x = k$ (com $k > 3$). O cliente afirma que nesse trajeto a taxa de variação média foi de apenas $3$ euros por dezena de quilómetros ($\text{TVM}[3, k] = 3$). Demonstra algebricamente que é impossível encontrar um valor $k > 3$ que cumpra essa condição e explica geometricamente por que razão a forma da parábola impede um declive tão baixo nessa zona.

A partir de dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), o preço médio do metro quadrado de habitação em duas regiões evoluiu da seguinte forma entre os anos de 2014 ($t = 0$) e 2024 ($t = 10$):

• Na Extremadura passou de $800$ €/m$^2$ para $1\,200$ €/m$^2$.

• Na Comunidade de Madrid passou de $2\,200$ €/m$^2$ para $3\,000$ €/m$^2$.

1. a) Modela a evolução calculando a taxa de variação média (TVM) do preço em cada região no período $[0, 10]$. Em qual das duas o preço cresceu a um ritmo anual absoluto maior?
2. b) Calcula a taxa de crescimento (TC) percentual nesse mesmo decénio para ambas as regiões. Qual delas registou um aumento relativo maior face ao seu nível inicial?
3. c) Dois órgãos de comunicação social titulam a notícia de forma diferente: o jornal A publica «Madrid duplica o ritmo anual de subida do preço da habitação face à Extremadura», enquanto o jornal B titula «A habitação na Extremadura encarece na última década a um ritmo percentual muito superior ao de Madrid». Explica que indicador matemático (TVM ou TC) sustenta cada título e argumenta por que razão nenhum dos dois jornais está a mentir.

Obtenha a expressão algébrica simplificada para a taxa de variação média da função $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ no intervalo genérico $[a, a+h]$, em que $h > 0$.

A distância de travagem $d$ (em metros) de um veículo em função da sua velocidade $v$ (em km/h) é modelada pela função $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[40, 60]$ e $[100, 120]$. Explique fundamentadamente porque é que o aumento médio da distância de travagem é muito maior a altas velocidades.

O gráfico mostra a distância ao ponto de partida $d(t)$ em km de um ciclista ao longo de um treino de $5$ horas. Calcule a taxa de variação média no intervalo completo $[0, 5]$ e justifique, analisando o gráfico, em qual intervalo de uma hora o ciclista atingiu a maior velocidade instantânea.

Seja a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a taxa de variação média de $f(x)$ no intervalo $[1, 5]$ é igual a $4$.

O número de seguidores $S$ (em milhares) de um canal de vídeos em função do número de vídeos publicados $x$ segue o modelo $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[10, 20]$ e $[40, 50]$. Interprete, a partir dos resultados obtidos, o fenómeno de que cada novo vídeo traz cada vez menos novos seguidores.

Um retângulo está inscrito num triângulo retângulo de base $10$ cm e altura $8$ cm, com dois dos seus lados apoiados nos catetos. A área do retângulo em função da sua base $x$ é dada pela expressão $A(x) = x(8 - 0,8x)$. Calcule a taxa de variação média da área nos intervalos $[2, 4]$ e $[6, 8]$. Interprete a mudança de sinal da taxa de variação média neste contexto geométrico.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcule e compare a taxa de variação média nos intervalos $[1, 2]$ e $[-2, -1]$. Justifique analiticamente por que razão se obtém o mesmo resultado utilizando a simetria ímpar da função.

Uma função $f(x)$ tem a propriedade de que a sua taxa de variação média em qualquer intervalo $[a, b]$ é sempre constante e igual a $-4$. Sabendo que o gráfico da função passa pelo ponto $(3, 10)$, determine a expressão analítica de $f(x)$ e calcule o valor exato de $f(8)$.

A posição de um objeto em queda livre é dada por $e(t) = 5t^2$ (onde $e$ é medido em metros e $t$ em segundos). Determine o instante exato $t > 1$ para o qual a velocidade média (que coincide com a taxa de variação média) no intervalo $[1, t]$ é exatamente de $25$ m/s.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a taxa de crescimento percentual da função $f(x) = \frac{k}{x+2}$ no intervalo $[2, 8]$ seja exatamente de $-60\%$. O resultado final depende do valor inicial de $k$? Justifique a sua resposta algebricamente.

Dois amigos comparam o crescimento dos seus canais de vídeo. O canal A ganha seguidores segundo o modelo linear $S_A(t) = 100t + 500$, e o canal B segundo o modelo exponencial $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (onde $t$ é medido em dias e $S$ em seguidores). Calcule a taxa de crescimento percentual de ambos os canais no intervalo $[2, 4]$ e determine qual experimenta um crescimento relativo maior nesse período.

Seja a função exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule a taxa de crescimento percentual nos intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ e $[3, 4]$. A partir dos resultados obtidos, demonstre algebricamente que, para qualquer intervalo da forma $[n, n+1]$ (com $n \in \mathbb{N}$), a taxa de crescimento percentual desta função é sempre constante.

O volume de água restante (em metros cúbicos) numa albufeira de rega agrícola em Santarém após a abertura de uma comporta de drenagem é modelado pela função $V(t) = 100 - 5t - t^2$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde a abertura ($0 \le t \le 7$). É necessário determinar a rapidez instantânea com que a água sai exatamente no instante $t = 2$ horas, para o que se propõem dois procedimentos:

• Método A (Aproximação numérica mediante TVM sucessivas): Calcular a TVM em intervalos de tempo cada vez menores a partir de $t = 2$, concretamente $[2; 2,5]$ e $[2; 2,1]$, e observar a tendência.

• Método B (Cálculo algébrico genérico): Formular a expressão $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ com um incremento genérico $h > 0$, simplificar algebricamente a fração e deduzir o valor quando $h$ tende para zero ($h \to 0$).

1. a) Aplica o Método A: calcula as duas TVM numéricas e formula uma conjetura sobre qual é a velocidade instantânea de esvaziamento às $2$ horas.
2. b) Aplica o Método B: desenvolve $V(2+h)$, simplifica a fração eliminando a indeterminação gerada pela variável $h$ e obtém o valor exato quando $h \to 0$.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual deles oferece uma demonstração matemática rigorosa face a uma intuição e qual seria mais eficiente se um engenheiro tivesse de programar o cálculo da velocidade instantânea para muitos instantes diferentes.

A potência gerada (em megawatts, MW) durante as primeiras horas de um temporal por um parque eólico segue o modelo linear $P_1(t) = 2t + 4$, enquanto uma central hidroelétrica modulável que entra em funcionamento durante o mesmo temporal segue o modelo quadrático $P_2(t) = t^2 - 2t + 4$, onde $t$ é medido em horas ($0 \le t \le 6$).

1. a) Verifica que no intervalo global $[0, 4]$ ambas as instalações apresentam exatamente a mesma taxa de variação média ($\text{TVM}[0, 4] = 2\text{ MW/h}$). Justifica se isso significa que ambas aumentaram a sua produção ao mesmo ritmo em todos os instantes; para isso, analisa o comportamento real de $P_2(t)$ entre $t = 0$ e $t = 1$ e compara-o com o da reta secante.
2. b) Determina algebricamente para que instante $b > 2$ a taxa de crescimento da central hidroelétrica no intervalo $[0, b]$ é exatamente de $200\,\%$ ($\text{TC}_2[0, b] = 2$). Calcula a TVM nesse troço e explica como se relacionam a TVM, a TC e o valor inicial $P_2(0)$.
3. c) Pretende-se descobrir a partir de que momento o aumento horário da hidroelétrica supera com clareza o eólico. Formula e resolve uma inequação com as taxas de variação média num intervalo genérico de uma hora $[a, a+1]$ para determinar a partir de que hora $a$ se verifica que $\text{TVM}_2[a, a+1] - \text{TVM}_1[a, a+1] > 3\text{ MW/h}$.