Exercícios: Padrões e regularidades

Observe as seguintes sucessões numéricas e escreva os dois termos seguintes de cada uma, explicando a regra que seguem:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Um trabalho manual consiste em construir triângulos em cadeia com palitos, como se mostra na figura.

• Quantos palitos são necessários para construir a figura 4?

• E para a figura 5?

A sucessão $a_n$ tem por termo geral $a_n = 4n - 1$. Calcule os termos $a_1$, $a_5$ e $a_{20}$.

Uma sucessão começa em $7$ e cada termo é obtido somando $6$ ao anterior. Escreva os seus cinco primeiros termos e calcule o termo que ocupa a posição $10$.

Observe a sucessão de figuras formadas por pontos da imagem.

• Quantos pontos terá a figura 4? E a figura 5?

• Que relação existe entre o número da figura e o número de pontos?

A sucessão de Fibonacci começa assim: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada termo é obtido somando os dois anteriores. Escreva os quatro termos seguintes.

A Martina começa o ano letivo com $10\ \text{€}$ no seu mealheiro e, a partir de então, guarda $3\ \text{€}$ em cada semana.

• Escreva a sucessão do dinheiro acumulado no final de cada uma das cinco primeiras semanas.

• Quanto dinheiro terá no final da semana $12$?

Observe a sucessão $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escreva os três termos seguintes.

• Qual é o termo que ocupa o lugar $25$? É positivo ou negativo?

A Maria observa um padrão de torres construídas com blocos quadrados: a torre 1 tem 5 blocos, a torre 2 tem 8 blocos e a torre 3 tem 11 blocos. Ao aperceber-se de que em cada passo se adicionam 3 blocos, afirma: «Como se somam 3 blocos em cada etapa e a primeira tem 5, o termo geral que dá o total de blocos da torre $n$ é $a_n = 3 \cdot n + 5$».

1. a) Calcula os valores fornecidos pela fórmula da Maria para $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$, e compara-os com os blocos reais de cada torre.
2. b) Localiza o erro de raciocínio cometido pela Maria ao relacionar a parte fixa do padrão com a parte que vai aumentando em cada passo.
3. c) Deduz a expressão correta do termo geral $a_n$ a partir da decomposição estrutural da figura (identificando quantos blocos fixos existem e quantos se adicionam de acordo com o número do passo) e confirma que coincide com os três casos conhecidos.

Um princípio fundamental ao estudar regularidades é que alguns termos iniciais não determinam uma única sucessão.

1. a) Escreve os quatro primeiros termos da sucessão cujo termo geral é $a_n = 2^n$.
2. b) Concebe o termo geral ou o critério de formação de outra sucessão diferente, $b_n$, que cumpra exatamente as duas condições seguintes: partilhar com $a_n$ os três primeiros valores ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ e $b_3 = 8$), mas cujo quarto termo seja estritamente diferente ($b_4 \neq 16$).
3. c) Apoiando-te neste exemplo, justifica por que razão verificar que uma fórmula funciona para $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$ não serve como demonstração matemática de que seja válida para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Uma empresa de construção empilha blocos formando escadas, como se mostra na figura.

• Conte os blocos das figuras 1, 2 e 3 e calcule quantos blocos terá a figura 4.

• Quantos blocos terá a figura 10?

• Escreva uma expressão geral para o número de blocos da figura $n$. (Dica: une cada escada com a sua simétrica para formar um retângulo.)

Considere a sucessão $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Determine o seu termo geral $a_n$.

• Verifique se $157$ é um termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique que posição ocupa.

• $200$ pertence à sucessão? Justifique a resposta.

A figura mostra como um quadrado de $4 \times 4$ pontos pode ser construído adicionando camadas em forma de «L».

1. a) Escreve a soma que a figura representa a partir do número de pontos de cada camada e verifica o resultado.
2. b) Formula uma conjetura: quanto somam os $n$ primeiros números ímpares?
3. c) Verifica a tua conjetura para $n = 6$.

O anfiteatro de uma escola tem $12$ lugares na primeira fila, e cada fila seguinte tem $3$ lugares a mais do que a anterior.

• Escreve o número de lugares das quatro primeiras filas.

• Determina o termo geral $a_n$ que dá o número de lugares da fila $n$.

• Se o anfiteatro tem $15$ filas, quantos lugares tem a última fila?

Uma sucessão é definida por recorrência assim: $a_1 = 2$ e $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcule os cinco primeiros termos.

• Compare cada termo com as potências de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) e descreva o padrão que observa.

• Perante o padrão, qual será o valor de $a_{10}$?

Observe a sucessão $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Que padrão seguem essas diferenças?

• Compare os termos com os quadrados perfeitos e encontre o termo geral $a_n$.

• Calcule $a_{15}$.

Num torneio de pádel do bairro, cada dupla joga uma vez contra cada uma das outras.

• Completa uma tabela com o número de jogos do torneio se participarem $2,\ 3,\ 4$ e $5$ duplas.

• Encontra uma expressão geral para o número de jogos com $n$ duplas. (Dica: cada dupla joga contra $n - 1$ adversários, mas assim cada jogo é contado duas vezes.)

• Quantos jogos se realizam se participarem $12$ duplas?

Um aluno afirma que o termo geral da sucessão $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ é $a_n = 2n$. Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique a sua resposta e escreva o termo geral correto.

Num paredão marítimo instalam-se bancos contínuos juntando módulos hexagonais regulares de betão em linha reta. Se for colocado um único módulo hexagonal isolado, os seus 6 lados exteriores ficam livres para sentar. Se forem unidos dois módulos em fila, partilham um lado comum interior (que fica inutilizado), deixando 10 lados livres no total. Se forem unidos três módulos em fila, ficam 14 lados livres para sentar.

1. a) Sem utilizar fórmulas ainda, faz uma estimativa intuitiva e justificada: se forem unidos 25 módulos hexagonais seguidos, o número total de lados livres estará mais próximo de 80, de 100 ou de 150? Explica em que te baseias para descartar os outros valores.
2. b) Modela a situação deduzindo o termo geral $L_n$ que determina o número de lados livres em função do número $n$ de módulos unidos, separando algebricamente os lados que os extremos fornecem dos que cada módulo intermédio fornece.
3. c) Calcula o valor exato de $L_{25}$, compara-o com a tua estimativa prévia e avalia se o resultado numérico confirma que o teu raciocínio inicial foi acertado.

O serviço municipal de partilha de bicicletas elétricas de uma cidade expande as suas instalações ao longo de uma avenida. A primeira estação instalada conta com 14 postos de carregamento. Para responder ao aumento previsto de utilizadores em direção à periferia, o plano de mobilidade estabelece que cada nova estação tenha mais 4 postos do que a estação imediatamente anterior (ou seja, a estação 2 tem 18 postos, a 3 tem 22, etc.).

1. a) Define através de uma fórmula por recorrência o número de postos $a_n$ da estação $n$, indicando explicitamente o termo inicial $a_1$ e a relação que permite obter $a_n$ a partir de $a_{n-1}$.
2. b) Deduz o termo geral explícito $a_n$ que permite calcular diretamente quantos postos terá qualquer estação $n$ sem necessidade de calcular todas as estações intermédias.
3. c) A Câmara Municipal recebe uma verba orçamental fechada com exatamente 70 postos para equipar uma única estação da avenida. Formula a equação correspondente com o termo geral e resolve-a para verificar se existirá alguma estação que utilize exatamente esses 70 postos ou se sobrará material; interpreta o resultado no contexto do problema.

O refeitório de um acampamento une mesas quadradas em fila para acomodar os participantes, como se mostra na figura.

• Quantas pessoas se podem sentar se forem unidas $4$ mesas?

• Determina o termo geral que dá o número de pessoas à mesa com $n$ mesas.

• Para o jantar de encerramento comparecem $42$ pessoas. Quantas mesas é preciso unir, no mínimo, para que caibam todos?

Dois colegas discutem sobre o termo geral da sucessão que começa com $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• A Matilde diz que é $a_n = 2^n$.

• O Bruno diz que pode ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Verifique que ambas as expressões geram os três primeiros termos.

• Calcule o quarto termo de acordo com cada uma das duas expressões. Coincidem?

• Tire conclusões: os três primeiros termos de uma sucessão determinam o seu termo geral de forma única?

Observe a sucessão de frações $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Determine o seu termo geral $a_n$.

• Calcule $a_{10}$ e $a_{100}$ com três casas decimais.

• Os termos crescem cada vez mais, mas algum termo pode chegar a ser maior do que $1$? Justifique a resposta observando a expressão do termo geral.

Zenão de Eleia (século V a.C.) interrogava-se sobre as somas infinitas. Imagina um quadrado de lado $1$ do qual se sombreia metade; depois, metade da parte restante; depois, metade do que resta, e assim sucessivamente.

• Escreve a fração do quadrado que foi sombreada após cada um dos quatro primeiros passos.

• Encontra o termo geral $s_n$ da fração sombreada após $n$ passos. (Dica: observa que em cada passo falta sombrear $\frac{1}{2^n}$ do quadrado.)

• Se o processo continuasse indefinidamente, de que valor se aproximaria a área sombreada?

No seu livro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs este problema: um casal de coelhos recém-nascido leva um mês a tornar-se adulto; a partir de então, em cada mês produz um novo casal de crias, que por sua vez segue a mesma regra. Nenhum coelho morre.

• Partindo de um único casal recém-nascido, completa uma tabela com o número de casais no final de cada um dos seis primeiros meses.

• Escreve a lei de recorrência que a sucessão segue.

• Quantos casais haverá ao cabo de $10$ meses?

O triângulo de Tartaglia (ou de Pascal) constrói-se colocando uns nas bordas e preenchendo cada casa interior com a soma das duas que estão acima dela:

• Soma os números de cada uma das cinco linhas e escreve a sucessão dessas somas.

• Encontra o termo geral dessa sucessão.

• Quanto somam os números da linha $12$?

Os números triangulares são $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (pontos que formam um triângulo) e os quadrados são $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Verifique com os quatro primeiros casos que cada número quadrado (a partir de $4$) é a soma de dois números triangulares consecutivos.

• Escreva essa propriedade por meio de uma igualdade algébrica usando os termos gerais $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ e $C_n = n^2$, e demonstre-a.

• Ilustre com um desenho de pontos por que a propriedade é verdadeira para $C_4 = 16$.

A conjetura de Collatz, proposta em 1937 e ainda não demonstrada, parte de qualquer número natural e aplica esta regra: se o número for par, divide-se por $2$; se for ímpar, multiplica-se por $3$ e soma-se $1$. A conjetura afirma que sempre se acaba por chegar a $1$.

• Aplica a regra partindo de $7$ e escreve a sequência completa até chegares a $1$.

• Faz o mesmo partindo de $11$.

• Verifica a conjetura para três números escolhidos por ti, um deles maior do que $50$. Achas que verificar muitos casos demonstra que a conjetura é verdadeira? Comenta a tua resposta.

Para a iluminação decorativa de um auditório, projeta-se um painel triangular de lâmpadas: a primeira fila tem 1 lâmpada, a segunda fila tem 2 lâmpadas, a terceira tem 3 lâmpadas, e assim sucessivamente até à fila $n$, que contém $n$ lâmpadas. Pretende-se calcular a quantidade total de lâmpadas, $T_n$, que compõem uma estrutura triangular de $n$ filas.

Dois técnicos propõem métodos distintos para resolver o desafio:

• O Marcos sugere uma relação por recorrência: considerar $T_1 = 1$ e $T_n = T_{n-1} + n$, calculando fila a fila de forma cumulativa.

• A Elena propõe um método geométrico: duplicar mentalmente a figura com outro triângulo idêntico e invertido para formar entre ambos um retângulo de dimensões $n \times (n+1)$ lâmpadas, calculando $T_n$ como metade do total desse retângulo.

1. a) Desenvolve algebricamente a proposta da Elena para obter a expressão explícita de $T_n$ em função de $n$.
2. b) Aplica ambos os métodos para calcular quantas lâmpadas são necessárias num painel de $n = 60$ filas e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado.
3. c) Compara criticamente as duas alternativas: se a Câmara Municipal dispõe de um lote de 1830 lâmpadas e te pede para determinar quantas filas exatas terá o painel que é possível construir, qual dos dois métodos é mais eficaz e direto para responder? Justifica também em que cenário de desenho ou de programação passo a passo a abordagem do Marcos seria mais prática do que a da Elena.

Uma empresa de telecomunicações instala uma rede de repetidores num parque tecnológico. Para garantir a segurança da ligação perante eventuais avarias, cada repetidor deve ligar-se a todos os outros através de um canal direto de fibra ótica independente.

• Com 2 repetidores é necessário 1 canal direto.

• Com 3 repetidores são necessários 3 canais diretos.

• Com 4 repetidores são necessários 6 canais diretos.

• Com 5 repetidores são necessários 10 canais diretos.

Um instalador observa estes quatro dados e afirma: «Como o padrão funciona para 2, 3, 4 e 5 repetidores, conjeturo que a fórmula para $n$ repetidores seja $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$, mas não posso ter a certeza se irá falhar quando tivermos 30 repetidores».

1. a) Demonstra algebricamente que a conjetura é verdadeira para qualquer número natural $n \ge 2$: deduz quantos canais partem de cada um dos $n$ repetidores e justifica com clareza por que razão é imprescindível dividir por 2 a multiplicação obtida.
2. b) A partir da tua demonstração, explica a diferença entre uma verificação numérica de casos particulares e uma demonstração algébrica rigorosa de um padrão para todo o $n$.
3. c) Se o orçamento técnico atribuído apenas permitir financiar no máximo 136 canais de fibra ótica, formula uma equação do segundo grau e calcula o número máximo de repetidores que podem ficar completamente interligados entre si sem ultrapassar o limite económico.