Exercícios: Covariância

Num estudo bidimensional sobre $25$ indivíduos, foram obtidas as médias $\bar{x} = 8$ e $\bar{y} = 15$. Sabendo que a soma dos produtos das variáveis é $\sum x_i y_i = 3200$, calcule a covariância $s_{xy}$.

Dada a seguinte tabela com três pares de valores correspondentes às variáveis $X$ e $Y$:

Calcule o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ e a covariância da distribuição.

Numa pesquisa sobre o rendimento desportivo, relaciona-se o número de horas semanais de treino ($X$) com o tempo em minutos que um atleta leva para completar uma corrida de $10$ km ($Y$). Que sinal espera que a covariância $s_{xy}$ tenha? Justifique brevemente a sua resposta.

Para um conjunto de $40$ dados bidimensionais, sabe-se que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ e a covariância é $s_{xy} = -8,5$. Determine o valor da soma dos produtos $\sum x_i y_i$.

Numa experiência de termodinâmica, a covariância entre a pressão e o volume de um gás em certas condições é $s_{xy} = -15,4$. Se, para facilitar os cálculos, o investigador decidir somar $2$ a todos os valores de pressão e subtrair $5$ de todos os valores de volume, qual será o novo valor da covariância?

Calcule a covariância da seguinte distribuição bidimensional expressa numa tabela de frequências absolutas $f_i$:

Ao estudar a relação entre a quantidade de fertilizante aplicado a uma planta (em gramas) e o seu crescimento semanal (em milímetros), obtém-se uma covariância de $24,6$. O que o sinal deste parâmetro estatístico indica sobre a relação entre o fertilizante e o crescimento?

O centro de gravidade de uma distribuição bidimensional é $(5, 9)$. Se a média aritmética dos produtos dos valores de ambas as variáveis é $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determine o valor da covariância.

A partir de registos da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) na província de Granada durante um dia de inverno, registaram-se a altitude ($X$, em centenas de metros) e a temperatura média ($Y$, em $^\circ\text{C}$) de quatro localidades: Motril $(0; 14)$, Lanjarón $(5; 10)$, Baza $(8; 7)$ e Trevélez $(15; 1)$.\na) Antes de realizares qualquer cálculo numérico, estima fundamentadamente que sinal esperas que tenha a covariância entre a altitude e a temperatura. Explica em que baseias a tua previsão.\nb) Com os dados fornecidos, calcula as médias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, e determina o valor exato da covariância $\sigma_{xy}$.\nc) Verifica se o sinal obtido coincide com a tua estimativa inicial e avalia se o resultado é coerente com o fenómeno físico observado nas zonas de montanha.

Num estudo escolar sobre hábitos de lazer, o Marcos anotou as horas semanais dedicadas ao estudo ($X$) e as horas dedicadas a videojogos ($Y$) de $5$ colegas: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 2)$ e $(5, 3)$.\nPara calcular a covariância, o Marcos escreve no seu caderno:\n«Calculo as médias: $\bar{x} = 3$ e $\bar{y} = 4$.\nMultiplico cada par e somo-os: $\sum x_i y_i = 1\cdot 6 + 2\cdot 5 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2 + 5\cdot 3 = 6 + 10 + 12 + 8 + 15 = 51$.\nAplico a fórmula: $\sigma_{xy} = 51 - 3 \cdot 4 = 51 - 12 = 39$.\nComo a covariância é positiva ($\sigma_{xy} = 39 > 0$), concluo que quanto mais horas jogam videojogos, mais horas estudam.»\na) Identifica e explica detalhadamente o erro matemático que o Marcos cometeu na aplicação da fórmula.\nb) Explica por que razão a sua conclusão qualitativa se revela claramente contraditória ao observar os dados originais da tabela.\nc) Corrige o procedimento e calcula o valor correto de $\sigma_{xy}$, interpretando adequadamente o resultado obtido.

Foi medida a temperatura $X$ (em $^\circ\text{C}$) e a resistência $Y$ (em MPa) de um novo material plástico em $5$ ensaios diferentes, obtendo-se os seguintes resultados:

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional e interprete o seu sinal no contexto do problema.

Num estudo de arquitetura, a covariância entre o comprimento de uma viga $X$ (medido em metros) e a sua deformação máxima $Y$ (medida em milímetros) é $s_{xy} = 3,5$. Se se decidir expressar o comprimento em centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) e a deformação em micrómetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcule o novo valor da covariância.

Foi realizado um inquérito a $20$ famílias sobre o número de veículos que possuem ($X$) e o número de lugares de garagem de que dispõem ($Y$). Os resultados estão resumidos na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule o centro de gravidade e a covariância $s_{xy}$.

Um conjunto de $10$ pares de dados bidimensionais tem como médias $\bar{x} = 6$ e $\bar{y} = 8$, e a sua covariância é $s_{xy} = 4$. Se for descoberto que falta incluir um décimo primeiro par de dados que coincide exatamente com o centro de gravidade, ou seja, o par $(6, 8)$, calcule a nova covariância do conjunto de $11$ dados.

Observe o seguinte gráfico de dispersão que representa quatro observações obtidas numa experiência de laboratório:

A partir das coordenadas inteiras dos pontos apresentados no gráfico, determine a tabela de valores e calcule a covariância da distribuição.

Num estudo sobre o tempo de utilização de ecrãs, a idade dos inquiridos ($X$) foi agrupada em intervalos, relacionando-a com o número de dispositivos inteligentes que possuem ($Y$):

Utilizando as marcas de classe para a variável $X$, calcule a covariância da distribuição.

De uma variável estatística bidimensional $(X,Y)$ composta por $8$ observações, conhecem-se os seguintes dados:

$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$ e $\sum x_i y_i = 280$.

Calcule o centro de gravidade e a covariância.

Num estudo económico sobre a relação entre a taxa de inflação ($X$, em $\%$) e a taxa de desemprego ($Y$, em $\%$) de um país durante $5$ anos consecutivos, foram registados os seguintes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcule a covariância e indique se os resultados apoiam uma relação direta ou inversa entre ambas as taxas.

A partir de dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre equipamento e consumo nos lares, analisa-se a temperatura média exterior durante o mês de julho ($X$, em $^\circ\text{C}$) e o consumo elétrico mensal por habitação ($Y$, em $\text{kWh}$) em cinco cidades: Braga $(19, 170)$, Porto $(20, 180)$, Coimbra $(26, 290)$, Lisboa $(26, 300)$ e Faro $(29, 360)$.\na) Modela a relação entre ambas as variáveis calculando a covariância $\sigma_{xy}$. Que tipo de tendência conjunta reflete o sinal obtido em relação ao uso de sistemas de climatização?\nb) Se uma distribuidora elétrica preferir registar o consumo em megawatt-hora através da mudança de variável $Y' = 0,001 \cdot Y$, calcula a nova covariância $\sigma_{xy'}$ aplicando as propriedades algébricas da covariância, sem recalcular os produtos ponto por ponto.\nc) Explica por que razão a mudança de unidade de medida altera o valor numérico da covariância mas não modifica de todo a sua interpretação qualitativa.

Numa fábrica de conservas vegetais de Santarém controla-se a relação entre o tempo de esterilização térmica ($X$, em minutos) e a contagem microbiana residual ($Y$, em colónias por grama). Em quatro lotes analisados obtiveram-se os pares $(15, 80)$, $(20, 50)$, $(25, 30)$ e $(30, k)$, mas o valor $k$ do quarto lote foi apagado acidentalmente do registo de controlo.\nO relatório técnico de qualidade conservado indica que a covariância da amostra foi exatamente $\sigma_{xy} = -125$.\na) Exprime a média marginal $\bar{y}$ e a média dos produtos $\dfrac{\sum x_i y_i}{4}$ em função da incógnita $k$.\nb) Formula uma equação a partir da fórmula da covariância e determina o valor exato que $k$ deve ter.\nc) Justifica que significado prático tem para a segurança alimentar da fábrica o facto de a covariância ser negativa, e o que teria indicado sobre o processo térmico se tivesse sido obtida uma covariância próxima de $0$.

Foi testado um novo fármaco num grupo de pacientes. A variável $X$ representa a dose administrada (em mg) e a variável $Y$ a redução da pressão arterial (em mmHg). Os resultados são apresentados na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule a covariância desta distribuição e explique o que o resultado sugere sobre a eficácia do fármaco.

Analisa-se a trajetória de um objeto através de $5$ pontos cujas coordenadas $(X,Y)$ são: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 4)$.

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional. Face ao resultado, pode afirmar-se que as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes? Justifique a sua resposta relacionando-a com o gráfico.

Numa distribuição bidimensional de $3$ pares de valores, conhecem-se dois deles: $(1, 2)$ e $(4, 6)$. O terceiro par é $(2, a)$, em que $a$ é um valor desconhecido. Sabendo que a covariância da distribuição é $s_{xy} = 2$, elabore uma equação e encontre o valor de $a$.

Dada uma variável bidimensional $(X,Y)$, sabe-se que existe uma relação funcional linear exata dada pela equação $y_i = -3x_i + 5$ para todos os pares da distribuição. Sabendo que a variância da variável $X$ é $s_x^2 = 4$, demonstre analiticamente e calcule o valor numérico da covariância $s_{xy}$.

Numa empresa, estuda-se a relação entre os anos de antiguidade dos funcionários ($X$) e o seu salário mensal em centenas de euros ($Y$). Conhecem-se os seguintes dados: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, a variância da antiguidade é $s_x^2 = 16$ e a covariância é $s_{xy} = 24$. Decide-se criar um índice de «avaliação total» definido como $Z = X + Y$. Calcule a covariância entre a antiguidade ($X$) e esse novo índice ($Z$).

Uma equipa de biólogos mediu o peso $X$ (em kg) e o comprimento $Y$ (em cm) de uma espécie de réptil, obtendo uma covariância $s_{xy} = 45$. Para uma publicação internacional, decidem transformar os dados: o peso será expresso em libras ($1\text{ kg} = 2,2\text{ lb}$) e o comprimento em metros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$). Além disso, por um ajuste do equipamento de medição, subtraem $0,5\text{ m}$ de todos os comprimentos. Qual será o valor da covariância com as novas unidades?

Um departamento de marketing analisa o gasto com publicidade $X$ (em milhares de €) e as vendas geradas $Y$ (em milhares de €) em $10$ campanhas distintas. Dispõe-se das seguintes somas:

$\sum x_i = 150$, $\sum y_i = 800$, $\sum x_i^2 = 2500$, $\sum y_i^2 = 70000$, $\sum x_i y_i = 12500$.

Calcule a covariância original. Se para o próximo ano for decidido que todos os gastos com publicidade vão aumentar $10\%$ e as vendas esperadas vão aumentar $20\%$, qual será a covariância estimada dos dados transformados?

Um conjunto de dados bidimensionais consiste nos seguintes $5$ pontos fortemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; e um ponto atípico: $(13, 15)$.

Calcule a covariância do conjunto completo dos $6$ pontos. Em seguida, calcule a covariância excluindo o ponto atípico e compare os resultados para explicar a sensibilidade da covariância a valores extremos.

Uma empresa de estafetagem audita quatro carrinhas da sua frota registando o seu ano de matrícula ($X$) e os quilómetros totais acumulados ($Y$): Carrinha 1 $(2018; 120\,000)$, Carrinha 2 $(2019; 95\,000)$, Carrinha 3 $(2021; 50\,000)$ e Carrinha 4 $(2022; 15\,000)$.\nDois analistas debatem que caminho seguir para calcular a covariância:\n- Método A (Sérgio): Aplicar diretamente a fórmula sobre os dados originais, calculando $\bar{x}$, $\bar{y}$ e os produtos na ordem dos milhões como $2018 \cdot 120\,000$.\n- Método B (Marta): Definir uma mudança de origem e escala através de $X' = X - 2020$ (anos decorridos em relação a 2020) e $Y' = \dfrac{Y}{1000}$ (quilómetros em milhares), calcular $\sigma_{x'y'}$ e transpor o resultado para a covariância original.\na) Compara ambos os métodos e justifica por que razão a proposta da Marta minimiza drasticamente o risco de cometer erros de cálculo.\nb) Aplica o Método B: verifica que $\bar{x}' = 0$, calcula de forma simples $\sigma_{x'y'}$ e, aplicando as propriedades das transformações lineares, deduz o valor exato da covariância original $\sigma_{xy}$.\nc) A partir deste caso, justifica de forma fundamentada por que razão somar uma constante a uma variável não altera a covariância, enquanto multiplicá-la por uma constante a modifica.

Um relatório ambiental analisa a relação entre o número de alojamentos rurais registados ($X$, em dezenas) e os resíduos sólidos recolhidos em agosto ($Y$, em toneladas) em cinco regiões de um distrito. Em quatro regiões de perfil plenamente rural os dados são: Região A $(2, 10)$, Região B $(3, 15)$, Região C $(4, 20)$ e Região D $(5, 25)$. No entanto, a Região E apresenta um perfil atípico devido à presença de um grande parque industrial e muito pouco turismo rural, registando $(1, 80)$.\na) Modela a relação calculando a covariância $\sigma_{xy}$ considerando apenas as quatro regiões rurais típicas (A, B, C e D). Interpreta o sinal obtido em termos de atividade turística e produção de resíduos.\nb) Incorpora a Região E no estudo ($N = 5$) e calcula a nova covariância para o total das cinco regiões.\nc) Compara ambos os resultados e explica que fenómeno provocou a mudança radical de sinal na covariância. Tendo isto em conta, fundamenta criticamente por que razão um gestor público cometeria um erro grave se utilizasse a covariância global das cinco regiões para afirmar que «fomentar o turismo rural ajuda a reduzir a quantidade de resíduos gerados».