Exercícios: Média, mediana e moda

Numa experiência de botânica, foi medido o número de folhas de $8$ plantas de uma mesma espécie após duas semanas de crescimento. Os resultados obtidos são: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcule a média aritmética, a mediana e a moda destes dados.

As idades dos participantes de uma oficina de robótica estão resumidas na seguinte tabela de frequências:

• $14$ anos: $5$ pessoas

• $15$ anos: $8$ pessoas

• $16$ anos: $4$ pessoas

• $17$ anos: $3$ pessoas

Determine a idade média, a idade mediana e a moda.

Num teste de controlo de qualidade, mede-se o tempo, em segundos, que um computador demora a iniciar. Obtêm-se os seguintes tempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcule a média e a mediana. Qual das duas medidas representa melhor a tendência central destes dados? Justifique a sua resposta.

Um aluno do 10.º ano realizou cinco testes de matemática ao longo do período. As suas notas nos quatro primeiros são: $6, 7, 5$ e $8$.

Se ele quer que a sua nota média exata seja $7$, que nota deve obter no quinto teste?

Perguntou-se a $20$ pessoas qual era a sua cor favorita para o design da interface de uma nova aplicação móvel. Os resultados são:

• Azul: $8$ pessoas

• Verde: $5$ pessoas

• Vermelho: $4$ pessoas

• Amarelo: $3$ pessoas

Indique qual é a moda. Faz sentido calcular a média ou a mediana neste caso? Justifique a sua resposta.

Dadas as seguintes duas séries de dados referentes ao número de livros lidos num ano por dois grupos de jovens:

• Série A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Série B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Determine a mediana de cada uma das séries e explique a diferença no procedimento de cálculo quando se tem um número par ou ímpar de dados.

O seguinte gráfico de barras mostra o número de irmãos que os alunos de uma turma têm.

A partir do gráfico, construa a tabela de frequências e calcule a moda e a média aritmética.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A média das alturas de uma equipa de basquetebol de $10$ jogadores é de $192 \text{ cm}$.

Se todos os jogadores decidirem usar um modelo de ténis especiais que aumentam a sua altura em $4 \text{ cm}$, qual será a nova altura média da equipa? A moda mudará se existia uma altura mais frequente?

Na disciplina de Matemática Aplicada do 4.º ano do ESO, os critérios de avaliação de um período letivo fixam os seguintes pesos: o trabalho diário e os trabalhos de casa contam $20\,\%$, os testes escritos $50\,\%$, e o projeto trimestral $30\,\%$. O Lucas obteve uma classificação de $8$ nos trabalhos, um $4$ nos testes escritos e um $6$ no projeto. Para calcular a sua nota final, o Lucas faz a seguinte operação:

$$\bar{x} = \frac{8 + 4 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

E afirma convicto: «Passei a avaliação com um 6 de nota média!».

1. a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual comete o Lucas ao aplicar a média aritmética simples em vez da média ponderada.
2. b) Realiza o cálculo correto da classificação final do Lucas e indica se ele realmente passa a avaliação (lembra-te de que a nota mínima de aprovação é $5$).

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as seguintes temperaturas máximas diárias ($^\circ\text{C}$) durante uma semana de julho na estação do aeroporto de Faro:

$$39,\quad 41,\quad 42,\quad 40,\quad 44,\quad 41,\quad 41$$

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo por escrito, estima à primeira vista entre que dois valores inteiros se encontrará a temperatura média semanal e qual achas que será o valor da mediana. Escreve a tua estimativa e fundamenta a intuição visual ou a eliminação rápida que utilizaste.
2. b) Calcula com precisão a média aritmética, a mediana e a moda deste conjunto de registos.
3. c) Verifica: a tua estimativa inicial coincidiu com os resultados calculados? Se durante o fim de semana o registo mais quente ($44\,^\circ\text{C}$) tivesse atingido um valor recorde de $47\,^\circ\text{C}$, a mediana teria variado? E a média? Justifica a resposta sem necessidade de recalcular toda a soma.

Num estudo sobre o consumo de água numa comunidade, foi registado o gasto mensal em metros cúbicos ($m^3$) de várias habitações, agrupado nos seguintes intervalos:

• $[0, 10)$: $12$ habitações

• $[10, 20)$: $25$ habitações

• $[20, 30)$: $18$ habitações

• $[30, 40)$: $5$ habitações

Calcule o consumo médio de água e indique qual é a classe modal.

A classificação final da disciplina de Física é calculada por meio de uma média ponderada. As atividades laboratoriais valem $20\%$, os trabalhos de pesquisa valem $30\%$ e a prova final vale $50\%$.

Se uma aluna tem $8$ nas atividades laboratoriais, $6$ nos trabalhos e $7,5$ na prova final, calcule a sua classificação média final.

Numa sapataria foi registado o número de pares vendidos segundo o tamanho durante um fim de semana. O tamanho médio vendido foi $39,5$. Conhecendo os seguintes dados, determine o número de pares vendidos do tamanho $40$ (representado por $f$).

• Tamanho $38$: $4$ pares

• Tamanho $39$: $8$ pares

• Tamanho $40$: $f$ pares

• Tamanho $41$: $5$ pares

Mediu-se a massa, em quilogramas, de um grupo de $40$ pacotes numa estação dos correios, obtendo-se a seguinte distribuição:

• $[0, 5)$: $6$ pacotes

• $[5, 10)$: $14$ pacotes

• $[10, 15)$: $12$ pacotes

• $[15, 20)$: $8$ pacotes

Determine o intervalo onde se situa a mediana e estime o seu valor exato utilizando a fórmula de interpolação linear.

Uma empresa de logística tem dois armazéns industriais. No armazém de Lisboa trabalham $45$ operários com um salário médio de $1800 \text{ \euro}$. No armazém do Porto trabalham $30$ operários com um salário médio de $2100 \text{ \euro}$.

Calcule o salário médio de todos os operários da empresa no seu conjunto.

O seguinte histograma representa o tempo (em minutos) que um grupo de pessoas dedica por dia à prática de desporto.

Calcule o tempo médio dedicado ao desporto a partir das marcas de classe extraídas do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Ao calcular a média das notas de $25$ alunos, o professor obteve $6,4$. Posteriormente, ao rever os testes, apercebeu-se de que tinha registado por engano $3$ a um aluno cuja nota real era $8$.

Calcule a nova média correta sem necessidade de conhecer todas as notas individuais.

Numa pequena empresa de tecnologia, os salários mensais dos seus $7$ funcionários são:

$1200 \text{ \euro}, 1250 \text{ \euro}, 1300 \text{ \euro}, 1200 \text{ \euro}, 1400 \text{ \euro}, 1350 \text{ \euro}, 8500 \text{ \euro}$.

Calcule a média e a mediana. Escreva um breve texto a explicar aos futuros funcionários qual das duas medidas representa de forma mais realista o salário habitual que vão receber e porquê.

Numa pequena empresa cooperativa de calçado em Viseu trabalham $5$ pessoas. Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre os seus salários brutos mensais:

• A mediana dos salários é exatamente de $1\,300$ €.

• O salário médio dos cinco trabalhadores é de $1\,450$ €.

• A distribuição é unimodal (há uma única moda) e o seu valor é de $1\,150$ €.

• O artesão com maior experiência, que é quem recebe mais do quadro de pessoal, aufere $2\,100$ €.

1. a) Deduz de forma fundamentada, passo a passo, o salário mensal exato de cada um dos $5$ empregados da cooperativa.
2. b) Se no mês seguinte entrar uma sexta pessoa com um contrato de estágio e um salário de $950$ €, qual passará a ser a nova mediana salarial da cooperativa? A moda será afetada? Justifica a tua resposta sem realizar cálculos desnecessários.

A partir dos dados do Inquérito às Despesas das Famílias do Instituto Nacional de Estatística (INE), analisou-se o gasto mensal em transportes públicos (passes, metro e autocarros) de uma amostra de $100$ jovens entre os $18$ e os $24$ anos numa área metropolitana portuguesa:

• Intervalo $[0, 10)\text{ €}$: $15$ jovens.

• Intervalo $[10, 20)\text{ €}$: $25$ jovens.

• Intervalo $[20, 30)\text{ €}$: $40$ jovens.

• Intervalo $[30, 50)\text{ €}$: $20$ jovens.

1. a) Identifica o ponto médio de cada intervalo e calcula o gasto médio mensal estimado por jovem.
2. b) Determina de forma fundamentada qual é a classe modal tendo em conta que nem todos os intervalos têm a mesma amplitude. Por que razão, em distribuições com intervalos de diferente amplitude, não basta olhar apenas para qual intervalo tem a frequência absoluta mais alta?
3. c) Se a administração dos transportes implementar uma bonificação geral de $50\,\%$ em todas as tarifas a partir do mês seguinte, qual será o novo gasto médio mensal estimado deste grupo de jovens? Justifica a tua resposta aplicando as propriedades da média, sem reconstruir a tabela de frequências.

Num centro médico foi registado o nível de colesterol de $50$ pacientes. A média aritmética da distribuição é $194 \text{ mg/dL}$. Na tabela foram apagadas acidentalmente duas frequências, $f_1$ e $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacientes

• $[180, 200)$: $f_1$ pacientes

• $[200, 220)$: $f_2$ pacientes

• $[220, 240)$: $8$ pacientes

Elabore e resolva um sistema de equações para encontrar as frequências absolutas $f_1$ e $f_2$.

Seja uma variável estatística $X$ com média $\bar{x} = 15$. Define-se uma nova variável $Y$ através da transformação linear $y_i = 3x_i - 4$.

Demonstre algebricamente, aplicando as propriedades do somatório e da média aritmética, que a média da nova variável é $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, e calcule o seu valor numérico.

Um investidor compra ações de uma empresa durante três meses consecutivos. No primeiro mês compra $n$ ações a um preço médio de $12 \text{ \euro}$. No segundo mês compra o dobro das ações que comprou no primeiro mês, a um preço médio de $15 \text{ \euro}$. No terceiro mês compra $50$ ações a $10 \text{ \euro}$.

Se o preço médio global de todas as ações compradas nos três meses é de $13 \text{ \euro}$, quantas ações comprou ele no primeiro mês?

Na avaliação de uma disciplina, a classificação final é calculada com três componentes:

• Teste intermédio (peso $30\%$)

• Trabalho de pesquisa (peso $20\%$)

• Teste final (peso $50\%$)

Um aluno tem $4,5$ no teste intermédio e $6$ no trabalho. A classificação do teste final deve ser um número inteiro ou com apenas uma casa decimal. Qual é a classificação mínima que ele deve obter no teste final para que a sua média ponderada seja de pelo menos $5,0$? Se a classificação máxima é $10$, é possível que alcance uma média de $8,0$?

Tem-se um conjunto de cinco números inteiros positivos ordenados do menor para o maior: $a, b, c, d, e$.

Sabe-se que cumprem simultaneamente as seguintes condições:

• A moda é $4$.

• A mediana é $5$.

• A média aritmética é $6$.

• A amplitude (diferença entre o maior e o menor) é $7$.

Determine o valor exato dos cinco números, justificando passo a passo a sua resposta.

O seguinte polígono de frequências acumuladas (ogiva) mostra a distribuição das marcas obtidas por um grupo de $100$ atletas na prova de salto em distância.

A partir do gráfico, estime o valor da mediana. Se os dados fossem agrupados numa tabela de frequências com os intervalos do eixo horizontal, qual seria a classe modal? Justifique as suas respostas com base nas inclinações do gráfico.

A média de um conjunto de $n$ dados é $\bar{x}$. Se adicionarmos um novo dado de valor $D$, a nova média aumenta em $2$ unidades. Se, em vez de $D$, adicionarmos um dado de valor $D - 15$, a nova média diminui em $1$ unidade em relação à média original $\bar{x}$.

Elabore as equações correspondentes e calcule o número de dados original $n$.

Uma liga metálica é composta por dois metais $A$ e $B$. A massa volúmica do metal $A$ é de $3 \text{ g/cm}^3$ e a do metal $B$ é de $8 \text{ g/cm}^3$.

Se a massa volúmica média da liga resultante é de $6 \text{ g/cm}^3$, que percentagem do volume total da liga corresponde ao metal $B$? (Tem em consideração que a massa volúmica média de uma liga se comporta como a média ponderada das massas volúmicas dos seus componentes em relação às suas frações de volume).

Numa empresa logística de encomendas trabalham $25$ funcionários. Para a negociação do acordo coletivo de trabalho da empresa, a administração e a comissão de trabalhadores analisam a relação de salários brutos mensais:

• $18$ operadores de armazém recebem $1\,200$ € cada um.

• $4$ administrativos recebem $1\,600$ € cada um.

• $2$ chefes de turno recebem $2\,800$ € cada um.

• $1$ diretora de operações recebe $9\,500$ €.

1. a) Calcula a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição salarial da empresa.
2. b) No boletim da empresa, a administração afirma: «O salário médio dos nossos colaboradores ultrapassa os $1\,700$ €, pelo que os salários estão muito acima da média do setor». Pelo contrário, o sindicato declara: «Esse valor distorce a realidade; o salário que melhor representa o trabalhador comum da empresa é de $1\,200$ €». Analisa que medida de tendência central apoia cada uma das duas posições. Justifica de forma crítica qual das duas medidas (média ou mediana) é mais adequada para descrever o salário do trabalhador representativo, explicando o impacto do salário da diretora como valor discrepante (outlier).
3. c) Se a diretora aumentar o seu salário para $12\,000$ € e os restantes salários permanecerem congelados, indica de forma fundamentada como variarão a média e a mediana. Que propriedade fundamental da mediana fica demonstrada com este facto?

Uma plataforma cívica de estudo sobre o acesso à habitação para arrendamento recolhe dados de $40$ jovens de uma cidade que vivem em casas arrendadas. Os dados são inicialmente agrupados nos seguintes escalões de despesa mensal:

• Escalão A $[400, 600)\text{ €}$: $12$ pessoas.

• Escalão B $[600, 800)\text{ €}$: $16$ pessoas.

• Escalão C $[800, 1\,000)\text{ €}$: $8$ pessoas.

• Escalão D $[1\,000, 1\,400)\text{ €}$: $4$ pessoas.

1. a) Calcula a renda média mensal estimada para esta amostra através do uso dos pontos médios dos intervalos e determina qual é a classe modal analisando a densidade de frequência dos escalões.
2. b) Ao rever os contratos originais das $4$ pessoas do escalão D, verifica-se que as suas rendas reais exatas são: $1\,050$ €, $1\,100$ €, $1\,150$ € e $1\,300$ €. Calcula a média real exata destas quatro rendas e compara-a com o ponto médio que atribuíste a esse intervalo. O gasto médio foi sobrestimado ou subestimado ao usar o ponto médio do intervalo? Explica que limitação conceptual têm os pontos médios de classe ao estimar parâmetros em distribuições agrupadas.
3. c) O município concede um apoio direto de $100$ € mensais a todas as pessoas do estudo que paguem $700$ € ou mais de renda. Sabe-se que têm acesso ao apoio exatamente metade das pessoas do escalão B ($8$ jovens) e a totalidade dos escalões C e D ($12$ jovens). Qual será a nova renda média mensal líquida despendida pela amostra de $40$ jovens? Deduz e calcula o resultado refletindo sobre o montante total subsidiado e o conceito de média como repartição equitativa, sem refazer os cálculos intervalo a intervalo.