Exercícios: Funções definidas por partes

Dada a seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcule o valor da função nos pontos $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine o seu domínio e o seu contradomínio.

Expressa a função módulo $f(x) = |3x - 6|$ como uma função definida por ramos.

Um parque de estacionamento no centro cobra uma tarifa de $2$ € pela primeira hora de permanência (ou fração). A partir da primeira hora, cobra a razão de $1,50$ € por cada hora adicional, faturando o tempo extra de forma proporcional aos minutos exatos de permanência. Escreva a função definida por ramos $C(x)$ que representa o custo total em função das horas $x$ que o carro permanece no parque de estacionamento.

Encontra o ponto de transição da seguinte função e determina se ela é contínua nesse ponto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Associe a seguinte descrição à estrutura de uma função definida por ramos: "Liga-se um forno e a sua temperatura sobe de forma constante durante 10 minutos até atingir 200 ºC. Mantém-se nessa temperatura durante 40 minutos para assar uma pizza e, finalmente, desliga-se, descendo a sua temperatura até à temperatura ambiente (20 ºC) de forma constante em 30 minutos."

Escreva os intervalos de tempo que definiriam os três ramos da função temperatura $T(t)$.

Represente graficamente no seu caderno a seguinte função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir do gráfico da função $g(x)$, determine a sua expressão analítica sabendo que é formada por duas semirretas.

Para expressar a função $g(x) = |2x - 6| + 1$ como uma função definida por ramos, o Alexandre escreve no seu exame:

O Alexandre argumenta que a mudança de ramo ocorre sempre em $x = 0$ porque é aí que os números passam de negativos a positivos.

1. a) Explica fundamentadamente o erro concetual do Alexandre. Que expressão é que realmente deve mudar de sinal para separar os ramos do valor absoluto e em que valor de $x$ ocorre a mudança?
2. b) Escreve a expressão correta de $g(x)$ por ramos e verifica, calculando os limites laterais no ponto de mudança de ramo, que a função não apresenta nenhum salto (é contínua).

Uma empresa de entregas urgentes em Portugal tarifa os envios nacionais de acordo com o seu peso $x$ (em quilogramas) através da função de custo $P(x)$ (em euros):

1. a) Sem realizares cálculos numéricos exatos, observa com atenção os dois ramos: a quota fixa passa de $4$ € para $8$ €, mas o custo por quilograma desce de $1,5$ € para $0,7$ €. Estima fundamentadamente se um cliente que envie uma encomenda de $5,1\text{ kg}$ pagará muito mais, muito menos ou uma quantia praticamente idêntica à de outro que envie uma encomenda de $4,9\text{ kg}$.
2. b) Confirma a tua estimativa calculando os custos exatos $P(4,9)$ e $P(5,1)$. De seguida, calcula os limites laterais $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ e $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ para determinar se no limiar dos $5\text{ kg}$ se produz um salto brusco ou se o gráfico se liga de forma contínua. Este resultado é razoável para o cliente?

Um operador de telecomunicações móveis oferece um tarifário de dados que funciona da seguinte maneira: paga-se uma taxa fixa mensal de $15$ € que inclui os primeiros $5$ GB de descarga. Se esse limite for ultrapassado, cada gigabyte adicional (ou fração proporcional) é cobrado a $2$ €.

Escreva a função $C(x)$ que representa o custo mensal em função dos gigabytes $x$ consumidos, e calcule quanto pagará um cliente que consumiu $3$ GB e outro que consumiu $8,5$ GB.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a seguinte função definida por partes seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expresse a função $f(x) = |x - 2| + 3x$ como uma função definida por ramos sem utilizar o módulo e calcule os valores de $f(0)$ e $f(5)$.

Um comboio urbano arranca de uma estação e acelera de forma constante até atingir uma velocidade de $20$ m/s em $10$ segundos. Mantém essa velocidade de cruzeiro durante $30$ segundos e, finalmente, trava de maneira uniforme até parar por completo na estação seguinte em $5$ segundos. Escreva a função definida por ramos $v(t)$ que descreve a velocidade do comboio em função do tempo decorrido desde a partida.

A partir do gráfico da função $h(x)$, que é composta por um arco de parábola e uma semirreta, determine a sua expressão analítica.

A conta da luz de uma habitação tem uma taxa fixa de $10$ € mensais. Além disso, os primeiros $100$ kWh consumidos são faturados a $0,12$ €/kWh. Se forem ultrapassados os $100$ kWh, o excesso de consumo é cobrado a $0,15$ €/kWh. Escreva a função $F(x)$ que dá o valor total da conta em função dos kWh $x$ consumidos.

Dada a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represente-a graficamente e determine os seus máximos e mínimos relativos, se existirem.

Num país fictício, o imposto sobre o rendimento é calculado da seguinte maneira: pelos primeiros $10\,000$ € de rendimentos não se paga imposto ($0$%). Pela quantia que exceder $10\,000$ € e até $20\,000$ €, paga-se $10$%. Pela quantia que exceder $20\,000$ €, paga-se $20$%.

Escreva a função definida por ramos $I(x)$ que calcula o imposto a pagar em função dos rendimentos $x$.

Numa localidade espanhola, a fatura bimestral da água para uso doméstico divide-se em três escalões de consumo para incentivar a poupança de água:

• Escalão 1 (consumo básico): até $15\text{ m}^3$, cobra-se uma quota de serviço fixa de $6$ € mais $0,50$ € por cada metro cúbico consumido.

• Escalão 2 (consumo médio): entre $15\text{ m}^3$ e $30\text{ m}^3$, os primeiros $15\text{ m}^3$ são pagos de acordo com o escalão 1 e o volume restante que exceda $15\text{ m}^3$ é faturado a $1,20$ € por cada metro cúbico adicional.

• Escalão 3 (consumo elevado): para consumos superiores a $30\text{ m}^3$, os primeiros $30\text{ m}^3$ pagam-se de acordo com os escalões anteriores e cada metro cúbico adicional acima de $30\text{ m}^3$ custa $2,50$ €.

1. a) Modela a fatura escrevendo a função $C(x)$ (custo em euros) em função do volume $x$ de água consumido (em $\text{m}^3$), detalhando a expressão algébrica simplificada para cada um dos três escalões: $[0, 15]$, $(15, 30]$ e $(30, +\infty)$.
2. b) Verifica analiticamente através dos respetivos limites laterais se a função $C(x)$ é contínua nos pontos de mudança de escalão ($x = 15$ e $x = 30$).
3. c) Que problema de equidade se geraria para os clientes se a empresa cobrasse diretamente todo o volume a $1,20$ €/$\text{m}^3$ assim que o consumo ultrapassasse os $15\text{ m}^3$?

Pretende-se conceber o perfil vertical de uma rampa de skate formada por dois troços que se unem na coordenada horizontal $x = 2$:

A rampa deve cumprir rigorosamente as seguintes condições de projeto:

1. Para $x < 2$, o troço $f_1(x)$ é uma função afim (reta) cujo gráfico passa pelo ponto $(-1, 0)$.

2. Para $x \ge 2$, o troço $f_2(x)$ é uma função quadrática (parábola) cujo vértice se situa no ponto $(4, 1)$.

3. A pista não pode ter degraus: a função deve ser contínua em $x = 2$, sendo a altura no referido ponto de união exatamente $f(2) = 5$.

1. a) Encontra a expressão algébrica da parábola $f_2(x)$ a partir da forma do seu vértice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, e do ponto de união $(2, 5)$.
2. b) Encontra a expressão algébrica da reta $f_1(x)$ determinando o seu declive a partir dos pontos por onde deve passar.
3. c) Escreve a função $f(x)$ completa com os seus domínios e verifica formalmente, calculando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que não existe descontinuidade em $x = 2$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja contínua em $x=1$ e passe pelo ponto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Depois de encontrados $a$ e $b$, verifique matematicamente se a função é também contínua em $x=3$.

Exprime a função $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como uma função definida por ramos, eliminando os módulos, e simplifica a expressão de cada um dos ramos resultantes.

Um teatro oferece um preço de bilhete de $10$ € se assistirem até um máximo de $50$ pessoas. Para incentivar a frequência de grupos grandes, por cada pessoa que exceder $50$, o preço do bilhete para todos os espectadores reduz-se em $0,10$ €.

Escreva a função da receita total do teatro $I(x)$ em função do número de espectadores $x$ (como uma função definida por ramos) e determine quantas pessoas devem assistir para que o teatro obtenha a receita máxima possível.

Observe o gráfico seguinte da função $p(x)$ e determine a sua expressão analítica completa. A partir dela, indique o seu domínio, o seu contradomínio e classifique as descontinuidades que apresenta.

Um foguetão de teste descola verticalmente. Durante os primeiros $10$ segundos, a sua altura em metros é modelada através da função linear $h(t) = 5t$. Aos $10$ segundos o motor desliga-se e o foguetão segue uma trajetória parabólica de queda livre $h(t) = at^2 + bt + c$, de tal modo que a transição é contínua. Sabendo que o foguetão atinge a sua altura máxima aos $25$ segundos e embate no solo aos $50$ segundos, encontra a expressão da parábola e determina a altura máxima atingida pelo foguetão.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a área total da figura geométrica delimitada entre o gráfico da função e o eixo das abscissas (eixo $X$) seja exatamente de $24$ unidades quadradas.

Um reservatório de água com capacidade para $6000$ litros está inicialmente vazio. Liga-se uma bomba que introduz água a um ritmo constante de $50$ litros por minuto. Decorridos $60$ minutos, liga-se uma segunda bomba auxiliar que acrescenta um caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escreva a função definida por ramos $V(t)$ que representa o volume de água no reservatório em função do tempo, e calcule quanto tempo no total demorará a encher o reservatório por completo.

Encontra analiticamente os pontos de interseção entre a função definida por ramos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ e a reta $y = x + 2$.

Para resolver a equação $|x - 1| + |x - 3| = 4$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método A (Analítico mediante função por ramos): Definir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ por ramos. Para isso, estuda-se o sinal de $x - 1$ e de $x - 3$ dividindo a reta real em três intervalos ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ e $x > 3$), eliminam-se os módulos conforme adequado e resolve-se uma equação do primeiro grau em cada ramo, verificando se cada solução encontrada pertence ao seu intervalo.

• Método B (Geométrico por distâncias): Interpretar $|x - a|$ como a distância na reta real entre o valor $x$ e o ponto fixo $a$. Deste modo, $|x - 1| + |x - 3|$ representa a soma das distâncias de um ponto $x$ até ao $1$ e até ao $3$.

1. a) Aplica o Método A: escreve $f(x)$ discriminada em três ramos simplificados e resolve a equação verificando a validade das soluções em cada intervalo.
2. b) Aplica o Método B: raciocina sobre a reta numérica qual é a distância mínima possível entre $x$ e os pontos $1$ e $3$ (e em que intervalo de $x$ é atingida). A partir dessa análise geométrica, deduz as soluções de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sem recorrer à álgebra de ramos.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois escolherias se a equação fosse $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, e qual escolherias se te pedissem para justificar rapidamente por que razão a equação $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ não tem nenhuma solução real.

O parlamento de um distrito aprova uma reforma do escalão regional do IRS para rendimentos do trabalho $x$ (expressos em milhares de euros anuais). O imposto total $T(x)$ (também em milhares de euros) é modelado através de uma função por ramos:

Para garantir a progressividade e evitar o «salto fiscal» (que um contribuinte fique com menos dinheiro líquido ao ganhar um pouco mais de salário bruto), a lei impõe dois requisitos:

1. A função $T(x)$ deve ser contínua em todo o seu domínio, em particular em $x = 20$.

2. A partir de $20$ mil euros, a taxa marginal é de $28\,\%$ (isto é, por cada mil euros adicionais acima dos $20$, o imposto aumenta em $0,28$ mil euros, o que determina o valor do declive $a$).

1. a) Determina fundamentadamente os valores de $a$ e de $b$ para que se cumpram as duas condições legais.
2. b) Define por ramos a função do salário líquido restante, $S(x) = x - T(x)$, e calcula o salário líquido de uma pessoa que ganha $20\,000$ € anuais ($x = 20$) e o de outra que ganha $20\,500$ € anuais ($x = 20,5$). Verifica se quem tem maior salário bruto mantém efetivamente maior salário líquido.
3. c) Um deputado propôs uma fórmula alternativa sem parâmetro de correção: $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ se $0 \le x \le 20$, e $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ se $x > 20$ (aplicar os $28\,\%$ na íntegra a todo o salário assim que forem ultrapassados os $20$ mil euros). Calcula o salto $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ e explica que situação economicamente absurda sofreria um trabalhador que recebesse um aumento salarial de $20\,000$ € para $20\,100$ €.