Teorema de Pitágoras

Verifique se um triângulo cujos lados medem $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm é um triângulo retângulo. Para isso, verifique se a igualdade do Teorema de Pitágoras é satisfeita entre seus lados.

Encontre o comprimento do lado desconhecido ($c$) no seguinte triângulo retângulo, sabendo que a hipotenusa mede $13$ cm e um dos catetos mede $5$ cm.

Em um treino de futebol, um jogador corre em linha reta de um canto do campo até o canto oposto. Se o campo mede $80$ metros de comprimento e $60$ metros de largura, que distância o jogador percorre em sua corrida diagonal?

Queremos colocar um cabo do ponto mais alto de uma antena de telefonia de $12$ metros de altura até um ponto de ancoragem situado no chão, a $9$ metros da base da antena. Que comprimento o cabo deve ter para ficar totalmente esticado?

Para fixar uma rede de vôlei no pátio da escola, foi colocado um cabo esticador desde a parte superior de um poste até uma ancoragem no chão. O poste tem uma altura de $2,4$ metros e a distância da base do poste até a ancoragem é de $1,8$ metros. Se quisermos colocar um cabo idêntico em outro poste que é uma ampliação em escala $k = 1,5$ do primeiro, quanto medirá o novo cabo esticador?

Uma escada dupla aberta tem uma altura vertical de $2,4$ metros. Se a distância entre os pés apoiados no chão é de $1,4$ metros, quanto mede cada um dos braços da escada? Dica: Note que a altura divide a escada em dois triângulos retângulos iguais.

As telas de televisão são medidas por sua diagonal em polegadas. Se uma televisão tem uma largura de $32$ cm e uma altura de $24$ cm, quantos centímetros mede sua diagonal?

Um farol projeta uma luz que chega até um barco. O farol tem uma altura de $30$ metros e o barco se encontra a uma distância horizontal de $40$ metros da base do farol. Qual é a distância direta entre a lâmpada do farol e o barco?

Para calcular o comprimento da diagonal de uma tela retangular de televisão que mede $40\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura, a Júlia escreve no caderno dela o seguinte procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Explique detalhadamente que erro algébrico cometeu a Júlia com a raiz quadrada e por que a raiz de uma soma não pode ser separada na soma das raízes.
2. b) Sem realizar ainda o cálculo correto, raciocine geometricamente por que um resultado de $70\text{ cm}$ é impossível para essa diagonal (lembre-se da desigualdade triangular: o comprimento de qualquer lado de um triângulo deve ser menor do que a soma dos outros dois).
3. c) Corrija o procedimento da Júlia e determine a medida real da diagonal dessa tela.

Uma quadra esportiva escolar de basquete tem dimensões oficiais de $28\text{ m}$ de comprimento por $15\text{ m}$ de largura. O professor de Educação Física pede aos seus alunos que corram em linha reta desde um canto até o canto diagonalmente oposto.

1. a) Antes de fazer qualquer operação com raízes, faça uma estimativa fundamentada: justifique por que a distância diagonal percorrida deve ser obrigatoriamente maior do que $28\text{ m}$ e menor do que $43\text{ m}$. Entre quais dois números inteiros você acha que o resultado se encontrará?
2. b) Aplique o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento exato da diagonal, arredondando o resultado às centésimas de metro.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa prévia e avalie criticamente se o resultado obtido faz sentido prático em uma quadra esportiva.

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16$ cm e $12$ cm. Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e se cruzam em seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos.

Um jardim tem a forma de um triângulo isósceles. Seus dois lados iguais medem $13\text{ metros}$ e o lado diferente (a base) mede $10\text{ metros}$. Queremos construir uma maquete deste jardim que seja uma redução e cuja base na maquete seja de $20\text{ cm}$. Calcule:

• a) A altura real do jardim.

• b) A área que a maquete ocupará em $\text{cm}^2$.

Calcule a área de um hexágono regular de lado $8\text{ cm}$. Lembre-se de que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Você deverá usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o apótema do hexágono antes de calcular sua área total.

Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do triângulo usando o Teorema da Altura ($h^2 = m \cdot n$, onde $m$ e $n$ são os dois segmentos da hipotenusa).

• b) Uma vez encontrada a altura, utilize o Teorema de Pitágoras para calcular quanto medem os dois catetos do triângulo original.

Uma tela de smartphone de formato retangular tem uma altura de $12\text{ cm}$ e uma largura de $5\text{ cm}$. Um tablet é semelhante ao smartphone e seu lado menor mede $15\text{ cm}$. Calcule primeiro a diagonal do smartphone usando o Teorema de Pitágoras e, depois, utilize a razão de semelhança para encontrar a diagonal do tablet.

Um carpinteiro está projetando duas prateleiras triangulares semelhantes para os cantos de um quarto. A prateleira pequena tem dois lados (catetos) de $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. A prateleira grande tem um perímetro de $240\text{ cm}$. Quanto mede o lado mais longo (hipotenusa) da prateleira grande?

Em um parque há uma rampa de skate que vista de perfil forma um triângulo retângulo. A base da rampa mede $4\text{ metros}$ e a altura máxima é de $3\text{ metros}$. A uma distância de $1,6\text{ metros}$ da base, foi colocado um suporte vertical de reforço.

• a) Calcule o comprimento total da rampa (a parte inclinada).

• b) Usando a semelhança de triângulos, calcule a altura do suporte vertical.

Dois edifícios projetam sua sombra no mesmo horário do dia. O edifício A tem uma altura de $15\text{ metros}$ e sua sombra mede $12\text{ metros}$. O edifício B está ao lado dele e projeta uma sombra de $20\text{ metros}$.

• a) Qual é a altura do edifício B?

• b) Se unirmos o ponto mais alto de cada edifício à extremidade de sua sombra, formam-se dois triângulos retângulos. Calcule o comprimento dessas linhas imaginárias (hipotenusas) para ambos os edifícios.

Um arquiteto projetou um vitral com formato de triângulo isósceles cuja base mede $12\text{ m}$ e cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ cada um. Por motivos de iluminação, ele precisa colocar uma travessa horizontal exatamente na metade da altura do triângulo.

Calcule primeiro a altura total do vitral usando o Teorema de Pitágoras e, posteriormente, utilize a semelhança de triângulos para encontrar o comprimento da travessa horizontal.

Uma empresa de publicidade criou uma lona em formato de losango para cobrir a fachada de um edifício. As diagonais do losango medem $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. Eles querem fabricar uma réplica em escala para um escritório cuja razão de semelhança em relação à original é $k = 0,25$.

Calcule o perímetro da lona original (usando o teorema de Pitágoras para encontrar o lado) e, a partir desse dado, determine o perímetro e a área da réplica pequena sem precisar calcular os lados um a um.

Na maquete de um parquinho infantil, uma rampa reta para patinetes tem a forma de um triângulo retângulo com uma base de $12\text{ cm}$ e uma altura de $5\text{ cm}$. A rampa real construída no parque é uma ampliação semelhante à escala com razão de semelhança $k = 20$. Para determinar o comprimento do piso inclinado da rampa real (a hipotenusa), dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Calcula primeiro a hipotenusa da maquete usando o Teorema de Pitágoras e depois multiplica essa medida pela razão de semelhança $k = 20$.

• Método da Sara: Multiplica primeiro as duas dimensões da maquete pela razão $k = 20$ para determinar a base e a altura reais do parque, e depois aplica o Teorema de Pitágoras sobre esses valores maiores.

1. a) Desenvolva por completo ambos os métodos passo a passo e verifique se ambos levam ao mesmo resultado numérico em metros.
2. b) Se você tivesse de resolver este exercício em uma prova sem usar calculadora, qual dos dois métodos escolheria e por quê? Justifique a sua escolha analisando a dificuldade operatória dos cálculos envolvidos e apoiando-se nas propriedades da semelhança.

Um serviço de entregas utiliza caixas de papelão com formato de paralelepípedo reto-retângulo (prisma retangular). Uma das suas caixas maiores tem dimensões de $60\text{ cm}$ de comprimento, $45\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura. Um cliente precisa enviar um tubo rígido que mede exatamente $82\text{ cm}$.

Utilize o Teorema de Pitágoras para determinar se o tubo cabe dentro da caixa (colocando-o na diagonal, unindo dois vértices opostos do espaço interior) e justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Tem-se uma pirâmide quadrangular regular cuja base é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado. A altura da pirâmide (do centro da base ao vértice superior) é de $12\text{ cm}$.

1. Calcule a altura de uma face lateral (apótema da pirâmide) usando Pitágoras.

2. Se construirmos uma pirâmide semelhante menor com uma razão de semelhança $k = 0,5$, calcule o volume da pirâmide pequena sabendo que o volume da original é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$.