Divisão proporcional

Divida o número $4500$ de forma diretamente proporcional a $2$, $3$ e $4$.

Para repartir um incentivo de $950$ reais entre três empregados de uma loja do comércio local de forma inversamente proporcional aos dias em que faltaram ao trabalho neste trimestre ($2$, $4$ e $5$ dias), o Mateus propõe a seguinte solução: «Como a repartição é inversa, atribuímos os dias ao contrário: o que faltou $5$ dias recebe $2$ partes, o que faltou $4$ dias recebe $4$ partes e o que faltou $2$ dias recebe $5$ partes. Somamos $2 + 4 + 5 = 11$ partes e dividimos $950$ por $11$».

1. a) Localize o erro conceitual do Mateus. Explique por que "inverter a lista de números" não representa uma proporcionalidade inversa, prestando atenção à relação que deveria existir entre o empregado que faltou $2$ dias e o que faltou $4$ dias.
2. b) Faça a partilha correta calculando a constante de proporcionalidade por meio das frações inversas correspondentes e verifique se a soma das três atribuições é exatamente $950$ reais.

Demonstre matematicamente que dividir uma quantidade $S$ de forma diretamente proporcional aos números $a$, $b$ e $c$ é equivalente a dividi-la de forma inversamente proporcional aos números $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ e $\frac{1}{c}$.

Efetue a divisão de $620$ de forma diretamente proporcional às frações $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{5}$.

Deseja-se dividir $9300$ reais em partes inversamente proporcionais aos números decimais $0,4$, $0,5$ e $0,8$. Calcule a quantidade que corresponde a cada parte.

Divida o número $3420$ em partes diretamente proporcionais a $1,2$, $0,8$ e $2,5$, e inversamente proporcionais a $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$ e $\frac{5}{2}$.

Um avô decide dividir $8600$ reais entre seus três netos de forma diretamente proporcional às suas notas médias ($7,5$, $8,0$ e $6,0$) e inversamente proporcional às suas idades ($15$, $16$ e $12$ anos). Quanto corresponde a cada um?

Três agricultores alugam um trator por $1300$ reais. O primeiro o usa durante $3$ dias à razão de $4$ horas diárias; o segundo, $5$ dias a $6$ horas diárias; e o terceiro, $4$ dias a $5$ horas diárias. Quanto cada agricultor deve pagar pelo aluguel?

Três sócios, A, B e C, aportam capital para um negócio. O sócio A aporta o dobro do capital de B, e B aporta o triplo de C. O negócio dura $2$ anos, mas A retira o seu capital aos $8$ meses e B o retira aos $18$ meses (C o mantém por $24$ meses). Se o lucro total é de $68000$ reais, como ele deve ser repartido de forma diretamente proporcional ao capital aportado e ao tempo de permanência?

Ao dividir uma certa quantidade de forma diretamente proporcional aos números $5$, $7$ e $9$, a segunda parte corresponde a $840$. Calcule a quantidade total dividida e o valor das outras duas partes.

Ao dividir uma quantidade $C$ de forma inversamente proporcional a $2$, $5$ e $8$, observa-se que a soma da maior e da menor das partes obtidas é $2500$. Calcule a quantidade total $C$ e o valor de cada uma das três partes.

Um capital de $30000$ reais é dividido em três partes diretamente proporcionais a $x$, $x+2$ e $x+4$. Se a maior das partes obtidas for $12000$ reais, escreva uma equação para determinar o valor de $x$ e calcule as outras duas partes.