Média, mediana e moda

Em um experimento de botânica, foi medido o número de folhas de $8$ plantas de uma mesma espécie após duas semanas de crescimento. Os resultados obtidos são: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcule a média aritmética, a mediana e a moda destes dados.

Dadas as seguintes duas séries de dados referentes ao número de livros lidos em um ano por dois grupos de jovens:

• Série A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Série B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Determine a mediana de cada uma das séries e explique a diferença no procedimento de cálculo quando há um número par ou ímpar de dados.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as seguintes temperaturas máximas diárias ($^\circ\text{C}$) durante uma semana de julho na estação do aeroporto de Cuiabá:

$$39,\quad 41,\quad 42,\quad 40,\quad 44,\quad 41,\quad 41$$

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo por escrito, estime à primeira vista entre quais dois valores inteiros estará a temperatura média semanal e qual você acha que será o valor da mediana. Escreva a sua estimativa e fundamente a intuição visual ou a eliminação rápida que você utilizou.
2. b) Calcule com precisão a média aritmética, a mediana e a moda deste conjunto de registros.
3. c) Verifique: a sua estimativa inicial coincidiu com os resultados calculados? Se durante o fim de semana o registro mais quente ($44\,^\circ\text{C}$) tivesse atingido um valor recorde de $47\,^\circ\text{C}$, a mediana teria variado? E a média? Justifique a resposta sem necessidade de recalcular toda a soma.

As idades dos participantes de uma oficina de robótica estão resumidas na seguinte tabela de frequências:

• $14$ anos: $5$ pessoas

• $15$ anos: $8$ pessoas

• $16$ anos: $4$ pessoas

• $17$ anos: $3$ pessoas

Determine a idade média, a idade mediana e a moda.

Perguntou-se a $20$ pessoas qual era a sua cor favorita para o design da interface de um novo aplicativo para celular. Os resultados são:

• Azul: $8$ pessoas

• Verde: $5$ pessoas

• Vermelho: $4$ pessoas

• Amarelo: $3$ pessoas

Indique qual é a moda. Faz sentido calcular a média ou a mediana neste caso? Justifique a sua resposta.

O seguinte gráfico de barras mostra o número de irmãos que os alunos de uma turma têm.

A partir do gráfico, construa a tabela de frequências e calcule a moda e a média aritmética.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Na disciplina de Matemática Aplicada do 4.º ano do ESO, os critérios de avaliação de um período letivo fixam os seguintes pesos: o trabalho diário e os trabalhos de casa contam $20\,\%$, os testes escritos $50\,\%$, e o projeto trimestral $30\,\%$. O Lucas obteve uma classificação de $8$ nos trabalhos, um $4$ nos testes escritos e um $6$ no projeto. Para calcular a sua nota final, o Lucas faz a seguinte operação:

$$\bar{x} = \frac{8 + 4 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

E afirma convicto: «Passei a avaliação com um 6 de nota média!».

1. a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual comete o Lucas ao aplicar a média aritmética simples em vez da média ponderada.
2. b) Realiza o cálculo correto da classificação final do Lucas e indica se ele realmente passa a avaliação (lembra-te de que a nota mínima de aprovação é $5$).

A nota final da disciplina de Física é calculada por meio de uma média ponderada. As aulas práticas de laboratório valem $20\%$, os trabalhos de pesquisa valem $30\%$ e a prova final vale $50\%$.

Se uma aluna tem $8$ nas práticas, $6$ nos trabalhos e $7,5$ na prova final, calcule sua nota média final.

Uma empresa de logística tem dois galpões industriais. No galpão de São Paulo trabalham $45$ operários com um salário médio de $1800 \text{ \text{R\$}\ }$. No galpão de Belo Horizonte trabalham $30$ operários com um salário médio de $2100 \text{ \text{R\$}\ }$.

Calcule o salário médio de todos os operários da empresa em seu conjunto.

Um estudante do 10º ano realizou cinco provas de matemática ao longo do trimestre. Suas notas nas quatro primeiras são: $6, 7, 5$ e $8$.

Se ele quer que sua nota média exata seja $7$, qual nota deve obter na quinta prova?

Ao calcular a média das notas de $25$ alunos, o professor obteve $6,4$. Posteriormente, revisando as provas, percebeu que tinha anotado por erro $3$ a um aluno cuja nota real era $8$.

Calcule a nova média correta sem necessidade de conhecer todas as notas individuais.

Em uma sapataria foi registrado o número de pares vendidos segundo o tamanho durante um fim de semana. O tamanho médio vendido foi $39,5$. Conhecendo os seguintes dados, determine o número de pares vendidos do tamanho $40$ (representado por $f$).

• Tamanho $38$: $4$ pares

• Tamanho $39$: $8$ pares

• Tamanho $40$: $f$ pares

• Tamanho $41$: $5$ pares

Em um estudo sobre o consumo de água em uma comunidade, foi registrado o gasto mensal em metros cúbicos ($m^3$) de várias residências, agrupado nos seguintes intervalos:

• $[0, 10)$: $12$ residências

• $[10, 20)$: $25$ residências

• $[20, 30)$: $18$ residências

• $[30, 40)$: $5$ residências

Calcule o consumo médio de água e indique qual é a classe modal.

O seguinte histograma representa o tempo (em minutos) que um grupo de pessoas dedica por dia para praticar esporte.

Calcule o tempo médio dedicado ao esporte a partir das marcas de classe extraídas do gráfico.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um centro médico foi registrado o nível de colesterol de $50$ pacientes. A média aritmética da distribuição é $194 \text{ mg/dL}$. Na tabela foram apagadas acidentalmente duas frequências, $f_1$ e $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacientes

• $[180, 200)$: $f_1$ pacientes

• $[200, 220)$: $f_2$ pacientes

• $[220, 240)$: $8$ pacientes

Elabore e resolva um sistema de equações para encontrar as frequências absolutas $f_1$ e $f_2$.

A partir dos dados da Pesquisa de Orçamentos Familiares do Instituto Nacional de Estatística (INE), analisou-se o gasto mensal em transportes públicos (passes, metrô e ônibus) de uma amostra de $100$ jovens entre os $18$ e os $24$ anos em uma área metropolitana espanhola:

• Intervalo $[0, 10)\text{R\$}\ $: $15$ jovens.

• Intervalo $[10, 20)\text{R\$}\ $: $25$ jovens.

• Intervalo $[20, 30)\text{R\$}\ $: $40$ jovens.

• Intervalo $[30, 50)\text{R\$}\ $: $20$ jovens.

1. a) Identifique o ponto médio de cada intervalo e calcule o gasto médio mensal estimado por jovem.
2. b) Determine de forma fundamentada qual é a classe modal, tendo em conta que nem todos os intervalos têm a mesma amplitude. Por que razão, em distribuições com intervalos de amplitudes diferentes, não basta olhar apenas para qual intervalo tem a frequência absoluta mais alta?
3. c) Se a administração dos transportes implementar um desconto geral de $50\,\%$ em todas as tarifas a partir do mês seguinte, qual será o novo gasto médio mensal estimado desse grupo de jovens? Justifique sua resposta aplicando as propriedades da média, sem reconstruir a tabela de frequências.

Uma plataforma cívica de estudo sobre o acesso à moradia para aluguel coleta dados de $40$ jovens de uma cidade que moram em casas alugadas. Os dados são inicialmente agrupados nas seguintes faixas de despesa mensal:

• Faixa A $[400, 600)\text{R\$}\ $: $12$ pessoas.

• Faixa B $[600, 800)\text{R\$}\ $: $16$ pessoas.

• Faixa C $[800, 1\,000)\text{R\$}\ $: $8$ pessoas.

• Faixa D $[1\,000, 1\,400)\text{R\$}\ $: $4$ pessoas.

1. a) Calcule o aluguel médio mensal estimado para esta amostra usando os pontos médios dos intervalos e determine qual é a classe modal analisando a densidade de frequência das faixas.
2. b) Ao rever os contratos originais das $4$ pessoas da faixa D, verifica-se que seus aluguéis reais exatos são: $1\,050$ reais, $1\,100$ reais, $1\,150$ reais e $1\,300$ reais. Calcule a média real exata desses quatro aluguéis e compare-a com o ponto médio que você atribuiu a esse intervalo. O gasto médio foi superestimado ou subestimado ao usar o ponto médio do intervalo? Explique que limitação conceitual os pontos médios de classe têm ao estimar parâmetros em distribuições agrupadas.
3. c) A prefeitura concede um auxílio direto de $100$ reais mensais a todas as pessoas do estudo que paguem $700$ reais ou mais de aluguel. Sabe-se que têm acesso ao auxílio exatamente metade das pessoas da faixa B ($8$ jovens) e todas as das faixas C e D ($12$ jovens). Qual será o novo aluguel médio mensal líquido pago pela amostra de $40$ jovens? Deduza e calcule o resultado refletindo sobre o montante total subsidiado e o conceito de média como repartição equitativa, sem refazer os cálculos intervalo a intervalo.

Mediu-se a massa em quilogramas de um grupo de $40$ pacotes em uma agência dos correios, obtendo-se a seguinte distribuição:

• $[0, 5)$: $6$ pacotes

• $[5, 10)$: $14$ pacotes

• $[10, 15)$: $12$ pacotes

• $[15, 20)$: $8$ pacotes

Encontre o intervalo onde se situa a mediana e estime seu valor exato utilizando a fórmula de interpolação linear.

O seguinte polígono de frequências acumuladas (ogiva) mostra a distribuição das marcas obtidas por um grupo de $100$ atletas na prova de salto em distância.

A partir do gráfico, estime o valor da mediana. Se os dados fossem agrupados em uma tabela de frequências com os intervalos do eixo horizontal, qual seria a classe modal? Justifique suas respostas com base nas inclinações do gráfico.

A média das alturas de um time de basquete de $10$ jogadores é de $192 \text{ cm}$.

Se todos os jogadores decidirem usar um modelo de tênis especiais que aumentam sua altura em $4 \text{ cm}$, qual será a nova altura média do time? A moda mudará se existia uma altura mais frequente?

Seja uma variável estatística $X$ com média $\bar{x} = 15$. Define-se uma nova variável $Y$ por meio da transformação linear $y_i = 3x_i - 4$.

Demonstre algebricamente, aplicando as propriedades do somatório e da média aritmética, que a média da nova variável é $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, e calcule seu valor numérico.

Em um teste de controle de qualidade, mede-se o tempo em segundos que um computador leva para inicializar. Obtêm-se os seguintes tempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcule a média e a mediana. Qual das duas medidas representa melhor a tendência central destes dados? Justifique sua resposta.

Em uma pequena empresa de tecnologia, os salários mensais de seus $7$ funcionários são:

$1200 \text{ \text{R\$}\ }, 1250 \text{ \text{R\$}\ }, 1300 \text{ \text{R\$}\ }, 1200 \text{ \text{R\$}\ }, 1400 \text{ \text{R\$}\ }, 1350 \text{ \text{R\$}\ }, 8500 \text{ \text{R\$}\ }$.

Calcule a média e a mediana. Escreva um breve texto explicando aos futuros funcionários qual das duas medidas representa de forma mais realista o salário habitual que vão receber e por quê.

Em uma empresa de logística de encomendas trabalham $25$ funcionários. Para a negociação do acordo coletivo de trabalho da empresa, a administração e a comissão de trabalhadores analisam a relação de salários brutos mensais:

• $18$ operadores de armazém recebem $1\,200$ reais cada um.

• $4$ administrativos recebem $1\,600$ reais cada um.

• $2$ chefes de turno recebem $2\,800$ reais cada um.

• $1$ diretora de operações recebe $9\,500$ reais.

1. a) Calcule a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição salarial da empresa.
2. b) No boletim da empresa, a administração afirma: «O salário médio dos nossos colaboradores ultrapassa os $1\,700$ reais, pelo que os salários estão muito acima da média do setor». Pelo contrário, o sindicato declara: «Esse valor distorce a realidade; o salário que melhor representa o trabalhador comum da empresa é de $1\,200$ reais». Analise qual medida de tendência central apoia cada uma das duas posições. Justifique de forma crítica qual das duas medidas (média ou mediana) é mais adequada para descrever o salário do trabalhador representativo, explicando o impacto do salário da diretora como valor discrepante (outlier).
3. c) Se a diretora aumentar o seu salário para $12\,000$ reais e os demais salários permanecerem congelados, indique de forma fundamentada como variarão a média e a mediana. Que propriedade fundamental da mediana fica demonstrada com esse fato?

Numa pequena cooperativa de calçados em Campina Grande trabalham $5$ pessoas. Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre os seus salários brutos mensais:

• A mediana dos salários é exatamente de $1\,300$ reais.

• O salário médio dos cinco trabalhadores é de $1\,450$ reais.

• A distribuição é unimodal (há uma única moda) e o seu valor é de $1\,150$ reais.

• O artesão com maior experiência, que é quem recebe mais do quadro de pessoal, recebe $2\,100$ reais.

1. a) Deduza de forma fundamentada, passo a passo, o salário mensal exato de cada um dos $5$ empregados da cooperativa.
2. b) Se no mês seguinte entrar uma sexta pessoa com um contrato de estágio e um salário de $950$ reais, qual passará a ser a nova mediana salarial da cooperativa? A moda será afetada? Justifique a sua resposta sem fazer cálculos desnecessários.

Considere um conjunto de cinco números inteiros positivos ordenados do menor para o maior: $a, b, c, d, e$.

Sabe-se que eles cumprem simultaneamente as seguintes condições:

• A moda é $4$.

• A mediana é $5$.

• A média aritmética é $6$.

• A amplitude (diferença entre o maior e o menor) é $7$.

Determine o valor exato dos cinco números, justificando passo a passo sua resposta.

A média de um conjunto de $n$ dados é $\bar{x}$. Se adicionarmos um novo dado de valor $D$, a nova média aumenta em $2$ unidades. Se, em vez de $D$, adicionarmos um dado de valor $D - 15$, a nova média diminui em $1$ unidade em relação à média original $\bar{x}$.

Elabore as equações correspondentes e calcule o número de dados original $n$.

Um investidor compra ações de uma empresa durante três meses consecutivos. No primeiro mês, compra $n$ ações a um preço médio de $12 \text{ \text{R\$}\ }$. No segundo mês, compra o dobro de ações do primeiro mês a um preço médio de $15 \text{ \text{R\$}\ }$. No terceiro mês, compra $50$ ações a $10 \text{ \text{R\$}\ }$.

Se o preço médio global de todas as ações compradas nos três meses é de $13 \text{ \text{R\$}\ }$, quantas ações ele comprou no primeiro mês?

Na avaliação de uma disciplina, a nota final é calculada com três componentes:

• Prova parcial (peso $30\%$)

• Trabalho de pesquisa (peso $20\%$)

• Prova final (peso $50\%$)

Um estudante tem $4,5$ na parcial e $6$ no trabalho. A nota da prova final deve ser um número inteiro ou com apenas uma casa decimal. Qual é a nota mínima que ele deve tirar na prova final para que sua média ponderada seja de pelo menos $5,0$? Se a nota máxima é $10$, é possível que alcance uma média de $8,0$?

Uma liga metálica é composta por dois metais $A$ e $B$. A densidade do metal $A$ é de $3 \text{ g/cm}^3$ e a do metal $B$ é de $8 \text{ g/cm}^3$.

Se a densidade média da liga resultante é de $6 \text{ g/cm}^3$, qual porcentagem do volume total da liga corresponde ao metal $B$? (Leve em consideração que a densidade média de uma liga se comporta como a média ponderada das densidades de seus componentes em relação às suas frações de volume).