Eventos dependentes
Você tira duas balas de um pacote sem devolver a primeira. Ou então imagine uma médica interpretando o resultado de um teste. Nos dois casos, o que já aconteceu muda as chances do que vem depois: são eventos dependentes. Para trabalhar com eles, precisamos de uma ferramenta nova: a probabilidade condicional.
Probabilidade condicional
Na prática, saber que $A$ ocorreu reduz o espaço amostral: só interessam os casos de $A$.
Em uma turma de $30$ estudantes, $18$ são meninas. Sabe-se que $12$ meninas e $5$ meninos estudam francês. Se um estudante desta turma for selecionado ao acaso e for…
Em uma turma de $30$ estudantes, $18$ são meninas. Sabe-se que $12$ meninas e $5$ meninos estudam francês. Se um estudante desta turma for selecionado ao acaso e for menina, calcule a probabilidade de que estude francês.
Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,25$. Verifique matematicamente se os eventos $A$ e $B$…
Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,25$. Verifique matematicamente se os eventos $A$ e $B$ são dependentes ou independentes.
Em uma pesquisa realizada com $200$ pessoas sobre a preferência entre chá e café, foram obtidos os seguintes dados: $120$ preferem café, das quais $70$ são mulheres. Se…
Em uma pesquisa realizada com $200$ pessoas sobre a preferência entre chá e café, foram obtidos os seguintes dados: $120$ preferem café, das quais $70$ são mulheres. Se no total há $110$ mulheres na pesquisa, calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso preferir chá, sabendo que é homem.
Regra do produto para eventos dependentes
Quando retiramos objetos sem reposição, a composição do grupo muda a cada extração: os eventos são dependentes.
Em uma caixa há $8$ lâmpadas LED, das quais $3$ estão queimadas. Se forem retiradas duas lâmpadas ao acaso, uma após a outra e sem reposição, calcule a probabilidade de…
Em uma caixa há $8$ lâmpadas LED, das quais $3$ estão queimadas. Se forem retiradas duas lâmpadas ao acaso, uma após a outra e sem reposição, calcule a probabilidade de ambas funcionarem corretamente.
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de…
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de mercadorias. Após reverem a documentação no arquivo central, verifica-se que exatamente $3$ delas circulam com o licenciamento anual vencido. Se os agentes selecionarem ao acaso $2$ vans desse grupo, uma após a outra e sem repetir:
- a) Modele a situação identificando os eventos de cada etapa e indique por que razão a probabilidade da segunda van depende do que ocorreu com a primeira.
- b) Calcule a probabilidade de ambas as vans selecionadas estarem com o licenciamento completamente em dia. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de…
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de mercadorias. Após reverem a documentação no arquivo central, verifica-se que exatamente $3$ delas circulam com o licenciamento anual vencido. Se os agentes selecionarem ao acaso $2$ vans desse grupo, uma após a outra e sem repetir:
- a) Modele a situação identificando os eventos de cada etapa e indique por que razão a probabilidade da segunda van depende do que ocorreu com a primeira.
- b) Calcule a probabilidade de ambas as vans selecionadas estarem com o licenciamento completamente em dia. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de…
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de mercadorias. Após reverem a documentação no arquivo central, verifica-se que exatamente $3$ delas circulam com o licenciamento anual vencido. Se os agentes selecionarem ao acaso $2$ vans desse grupo, uma após a outra e sem repetir:
- a) Modele a situação identificando os eventos de cada etapa e indique por que razão a probabilidade da segunda van depende do que ocorreu com a primeira.
- b) Calcule a probabilidade de ambas as vans selecionadas estarem com o licenciamento completamente em dia. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de…
Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de mercadorias. Após reverem a documentação no arquivo central, verifica-se que exatamente $3$ delas circulam com o licenciamento anual vencido. Se os agentes selecionarem ao acaso $2$ vans desse grupo, uma após a outra e sem repetir:
- a) Modele a situação identificando os eventos de cada etapa e indique por que razão a probabilidade da segunda van depende do que ocorreu com a primeira.
- b) Calcule a probabilidade de ambas as vans selecionadas estarem com o licenciamento completamente em dia. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.
Em uma gaveta, há $5$ meias pretas e $3$ meias azuis, todas misturadas. Se forem retiradas duas meias no escuro, uma após a outra, calcule a probabilidade de as duas…
Em uma gaveta, há $5$ meias pretas e $3$ meias azuis, todas misturadas. Se forem retiradas duas meias no escuro, uma após a outra, calcule a probabilidade de as duas serem azuis.
Um lote de $50$ telefones celulares contém $4$ unidades com defeitos de fabricação. Um inspetor de qualidade seleciona ao acaso $3$ telefones do lote, um a um e sem…
Um lote de $50$ telefones celulares contém $4$ unidades com defeitos de fabricação. Um inspetor de qualidade seleciona ao acaso $3$ telefones do lote, um a um e sem reposição. Calcule a probabilidade de nenhum dos telefones selecionados ser defeituoso.
Diagramas de árvore com eventos dependentes
O diagrama de árvore organiza bem várias etapas dependentes: cada ramo traz a probabilidade condicional ao que já ocorreu, e cada caminho completo é calculado multiplicando seus ramos.
O diagrama de árvore a seguir mostra as probabilidades de um jogador de basquete acertar ($E$) ou errar ($F$) o seu primeiro e segundo lances livres. Observe as…
O diagrama de árvore a seguir mostra as probabilidades de um jogador de basquete acertar ($E$) ou errar ($F$) o seu primeiro e segundo lances livres. Observe as probabilidades condicionais e calcule a probabilidade de o jogador errar o primeiro lance e acertar o segundo.
Em um abrigo de animais, há cães e gatos. A probabilidade de escolher um cão ao acaso é $0,6$. Se sabemos que o animal escolhido é um cão, a probabilidade de ele ter…
Em um abrigo de animais, há cães e gatos. A probabilidade de escolher um cão ao acaso é $0,6$. Se sabemos que o animal escolhido é um cão, a probabilidade de ele ter coleira é $0,8$. Qual é a probabilidade de escolher ao acaso um animal que seja cão e também tenha coleira?
Em um jogo de tabuleiro, um baú contém $6$ moedas de ouro e $4$ moedas de prata. Um jogador extrai duas moedas sem olhar, uma após a outra e sem reposição. Com base no…
Em um jogo de tabuleiro, um baú contém $6$ moedas de ouro e $4$ moedas de prata. Um jogador extrai duas moedas sem olhar, uma após a outra e sem reposição. Com base no esquema do diagrama de árvore, calcule a probabilidade de as duas moedas extraídas serem de materiais diferentes.
Um estudante tem um chaveiro com $5$ chaves muito parecidas, das quais apenas uma abre a porta de sua casa. Se ele chega de noite e testa as chaves ao acaso, descartando…
Um estudante tem um chaveiro com $5$ chaves muito parecidas, das quais apenas uma abre a porta de sua casa. Se ele chega de noite e testa as chaves ao acaso, descartando as que não funcionam, qual é a probabilidade de conseguir abrir a porta exatamente na terceira tentativa?
Probabilidade total
Quando um resultado pode ser alcançado por vários caminhos distintos que cobrem todas as possibilidades (por exemplo, sair da urna A ou da urna B, ou vir de um grupo ou de outro), somamos a probabilidade de cada caminho.
Em um hospital, $40\%$ dos pacientes estão internados por doenças respiratórias. Deles, $15\%$ são fumantes. Entre os pacientes internados por outras causas, $20\%$ são…
Em um hospital, $40\%$ dos pacientes estão internados por doenças respiratórias. Deles, $15\%$ são fumantes. Entre os pacientes internados por outras causas, $20\%$ são fumantes. Se um paciente for escolhido ao acaso e for fumante, qual é a probabilidade de estar internado por uma doença respiratória?
Temos duas urnas e um dado honesto de seis faces. Lançamos o dado: se sair um número menor que $3$, retiramos uma bola da urna $A$; caso contrário, retiramos uma bola da…
Temos duas urnas e um dado honesto de seis faces. Lançamos o dado: se sair um número menor que $3$, retiramos uma bola da urna $A$; caso contrário, retiramos uma bola da urna $B$. Observe a composição das urnas na imagem e calcule a probabilidade de a bola retirada ser vermelha.
A probabilidade de chover em uma cidade em um determinado dia depende do tempo que fez no dia anterior. Se hoje chove, a probabilidade de chover amanhã é $0,7$. Se hoje…
A probabilidade de chover em uma cidade em um determinado dia depende do tempo que fez no dia anterior. Se hoje chove, a probabilidade de chover amanhã é $0,7$. Se hoje não chove, a probabilidade de chover amanhã é $0,2$. Sabendo que hoje é segunda-feira e está chovendo, calcule a probabilidade de na quarta-feira não chover.
Da consequência de volta à causa
Uma pergunta comum na saúde é a inversa: se o teste deu positivo, qual é a chance real de a pessoa estar doente? Precisamos "virar" a condicional, usando a probabilidade total no denominador.
Um teste de diagnóstico para uma doença tem uma confiabilidade de $95\%$ para detectar os doentes e de $90\%$ para dar negativo em pessoas saudáveis. Sabe-se que $2\%$…
Um teste de diagnóstico para uma doença tem uma confiabilidade de $95\%$ para detectar os doentes e de $90\%$ para dar negativo em pessoas saudáveis. Sabe-se que $2\%$ da população padece dessa doença. Se uma pessoa se submete ao teste e o resultado é positivo, calcule a probabilidade de ela estar realmente doente.
Em uma empresa de tecnologia, $60\%$ dos funcionários são programadores, $30\%$ são designers e $10\%$ são gerentes. $80\%$ dos programadores, $40\%$ dos designers e…
Em uma empresa de tecnologia, $60\%$ dos funcionários são programadores, $30\%$ são designers e $10\%$ são gerentes. $80\%$ dos programadores, $40\%$ dos designers e $90\%$ dos gerentes falam inglês fluente. Um funcionário é selecionado ao acaso e descobre-se que ele não fala inglês fluente. Calcule a probabilidade de esse funcionário ser designer.
Uma urna contém $x$ bolas brancas e $5$ bolas pretas. Se duas bolas forem retiradas ao acaso e sem reposição, a probabilidade de ambas serem brancas é $\frac{1}{6}$.…
Uma urna contém $x$ bolas brancas e $5$ bolas pretas. Se duas bolas forem retiradas ao acaso e sem reposição, a probabilidade de ambas serem brancas é $\frac{1}{6}$. Escreva a equação correspondente e determine o número inicial de bolas brancas que há na urna.
Voltando ao início: ao tirar duas cartas sem reposição de um baralho de $40$ cartas (sem 8, 9 e coringas), a probabilidade de sair dois reis é $\dfrac{4}{40} \cdot \dfrac{3}{39} = \dfrac{1}{130}$: a primeira retirada modifica as cartas restantes e condiciona a segunda.