Exercícios: Teorema de Pitágoras

Em um treino de futebol, um jogador corre em linha reta de um canto do campo até o canto oposto. Se o campo mede $80$ metros de comprimento e $60$ metros de largura, que distância o jogador percorre em sua corrida diagonal?

Uma escada dupla aberta tem uma altura vertical de $2,4$ metros. Se a distância entre os pés apoiados no chão é de $1,4$ metros, quanto mede cada um dos braços da escada? Dica: Note que a altura divide a escada em dois triângulos retângulos iguais.

Verifique se um triângulo cujos lados medem $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm é um triângulo retângulo. Para isso, verifique se a igualdade do Teorema de Pitágoras é satisfeita entre seus lados.

Queremos colocar um cabo do ponto mais alto de uma antena de telefonia de $12$ metros de altura até um ponto de ancoragem situado no chão, a $9$ metros da base da antena. Que comprimento o cabo deve ter para ficar totalmente esticado?

Encontre o comprimento do lado desconhecido ($c$) no seguinte triângulo retângulo, sabendo que a hipotenusa mede $13$ cm e um dos catetos mede $5$ cm.

As telas de televisão são medidas por sua diagonal em polegadas. Se uma televisão tem uma largura de $32$ cm e uma altura de $24$ cm, quantos centímetros mede sua diagonal?

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16$ cm e $12$ cm. Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e se cruzam em seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos.

Um farol projeta uma luz que chega até um barco. O farol tem uma altura de $30$ metros e o barco se encontra a uma distância horizontal de $40$ metros da base do farol. Qual é a distância direta entre a lâmpada do farol e o barco?

Para calcular o comprimento da diagonal de uma tela retangular de televisão que mede $40\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura, a Júlia escreve no caderno dela o seguinte procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Explique detalhadamente que erro algébrico cometeu a Júlia com a raiz quadrada e por que a raiz de uma soma não pode ser separada na soma das raízes.
2. b) Sem realizar ainda o cálculo correto, raciocine geometricamente por que um resultado de $70\text{ cm}$ é impossível para essa diagonal (lembre-se da desigualdade triangular: o comprimento de qualquer lado de um triângulo deve ser menor do que a soma dos outros dois).
3. c) Corrija o procedimento da Júlia e determine a medida real da diagonal dessa tela.

Uma quadra esportiva escolar de basquete tem dimensões oficiais de $28\text{ m}$ de comprimento por $15\text{ m}$ de largura. O professor de Educação Física pede aos seus alunos que corram em linha reta desde um canto até o canto diagonalmente oposto.

1. a) Antes de fazer qualquer operação com raízes, faça uma estimativa fundamentada: justifique por que a distância diagonal percorrida deve ser obrigatoriamente maior do que $28\text{ m}$ e menor do que $43\text{ m}$. Entre quais dois números inteiros você acha que o resultado se encontrará?
2. b) Aplique o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento exato da diagonal, arredondando o resultado às centésimas de metro.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa prévia e avalie criticamente se o resultado obtido faz sentido prático em uma quadra esportiva.

Para fixar uma rede de vôlei no pátio da escola, foi colocado um cabo esticador desde a parte superior de um poste até uma ancoragem no chão. O poste tem uma altura de $2,4$ metros e a distância da base do poste até a ancoragem é de $1,8$ metros. Se quisermos colocar um cabo idêntico em outro poste que é uma ampliação em escala $k = 1,5$ do primeiro, quanto medirá o novo cabo esticador?

Uma tela de smartphone de formato retangular tem uma altura de $12\text{ cm}$ e uma largura de $5\text{ cm}$. Um tablet é semelhante ao smartphone e seu lado menor mede $15\text{ cm}$. Calcule primeiro a diagonal do smartphone usando o Teorema de Pitágoras e, depois, utilize a razão de semelhança para encontrar a diagonal do tablet.

Um carpinteiro está projetando duas prateleiras triangulares semelhantes para os cantos de um quarto. A prateleira pequena tem dois lados (catetos) de $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. A prateleira grande tem um perímetro de $240\text{ cm}$. Quanto mede o lado mais longo (hipotenusa) da prateleira grande?

Em um parque há uma rampa de skate que vista de perfil forma um triângulo retângulo. A base da rampa mede $4\text{ metros}$ e a altura máxima é de $3\text{ metros}$. A uma distância de $1,6\text{ metros}$ da base, foi colocado um suporte vertical de reforço.

• a) Calcule o comprimento total da rampa (a parte inclinada).

• b) Usando a semelhança de triângulos, calcule a altura do suporte vertical.

Um jardim tem a forma de um triângulo isósceles. Seus dois lados iguais medem $13\text{ metros}$ e o lado diferente (a base) mede $10\text{ metros}$. Queremos construir uma maquete deste jardim que seja uma redução e cuja base na maquete seja de $20\text{ cm}$. Calcule:

• a) A altura real do jardim.

• b) A área que a maquete ocupará em $\text{cm}^2$.

Dois edifícios projetam sua sombra no mesmo horário do dia. O edifício A tem uma altura de $15\text{ metros}$ e sua sombra mede $12\text{ metros}$. O edifício B está ao lado dele e projeta uma sombra de $20\text{ metros}$.

• a) Qual é a altura do edifício B?

• b) Se unirmos o ponto mais alto de cada edifício à extremidade de sua sombra, formam-se dois triângulos retângulos. Calcule o comprimento dessas linhas imaginárias (hipotenusas) para ambos os edifícios.

Calcule a área de um hexágono regular de lado $8\text{ cm}$. Lembre-se de que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Você deverá usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o apótema do hexágono antes de calcular sua área total.

Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do triângulo usando o Teorema da Altura ($h^2 = m \cdot n$, onde $m$ e $n$ são os dois segmentos da hipotenusa).

• b) Uma vez encontrada a altura, utilize o Teorema de Pitágoras para calcular quanto medem os dois catetos do triângulo original.

Uma oficina de carpintaria precisa desenhar uma peça de união que tenha a forma de um triângulo retângulo e cuja hipotenusa meça exatamente $\sqrt{65}\text{ dm}$.

1. a) Encontre dois pares distintos de números inteiros positivos $(a, b)$ que possam ser os comprimentos dos catetos em decímetros. Demonstre algebricamente, por meio do Teorema de Pitágoras, que ambos os pares resultam exatamente na hipotenusa pretendida.
2. b) Se a oficina decidisse que a peça deveria ser, além de retângulo, um triângulo isósceles (com ambos os catetos iguais), mantendo a hipotenusa de $\sqrt{65}\text{ dm}$, formule uma equação e deduza quanto deveria medir exatamente cada um dos catetos. Eles podem medir um número inteiro de decímetros neste segundo caso? Justifique sua resposta.

Durante as tarefas de vigilância de incêndios na Serra da Mantiqueira, um posto de vigia florestal do plano INFOMA encontra-se situado a uma altitude de $1900\text{ m}$. O vigilante detecta uma coluna de fumaça cuja posição no mapa cartográfico se localiza a $1200\text{ m}$ para leste e $900\text{ m}$ para norte da torre, mas numa depressão situada a uma cota mais baixa, a $1100\text{ m}$ de altitude.

1. a) Modele a situação no plano horizontal e calcule a distância em linha reta sobre o mapa (distância horizontal) que separa o posto de vigia da coluna de fumaça.
2. b) Modele a situação em três dimensões, levando em conta a diferença de altitude entre a torre e o fogo. Calcule a distância real e direta que um drone de reconhecimento percorreria em linha reta no espaço desde o posto de vigia até o foco de incêndio.

Um serviço de entregas utiliza caixas de papelão com formato de paralelepípedo reto-retângulo (prisma retangular). Uma das suas caixas maiores tem dimensões de $60\text{ cm}$ de comprimento, $45\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura. Um cliente precisa enviar um tubo rígido que mede exatamente $82\text{ cm}$.

Utilize o Teorema de Pitágoras para determinar se o tubo cabe dentro da caixa (colocando-o na diagonal, unindo dois vértices opostos do espaço interior) e justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Um arquiteto projetou um vitral com formato de triângulo isósceles cuja base mede $12\text{ m}$ e cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ cada um. Por motivos de iluminação, ele precisa colocar uma travessa horizontal exatamente na metade da altura do triângulo.

Calcule primeiro a altura total do vitral usando o Teorema de Pitágoras e, posteriormente, utilize a semelhança de triângulos para encontrar o comprimento da travessa horizontal.

Uma empresa de publicidade criou uma lona em formato de losango para cobrir a fachada de um edifício. As diagonais do losango medem $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. Eles querem fabricar uma réplica em escala para um escritório cuja razão de semelhança em relação à original é $k = 0,25$.

Calcule o perímetro da lona original (usando o teorema de Pitágoras para encontrar o lado) e, a partir desse dado, determine o perímetro e a área da réplica pequena sem precisar calcular os lados um a um.

Um drone está sobrevoando um terreno plano a uma altura de $120\text{ m}$. Em determinado momento, a sua câmera detecta a parte superior de uma torre de controle. Os sensores indicam que a distância em linha reta (diagonal) do drone até o topo da torre é de $150\text{ m}$. Sabendo que a sombra da torre nesse mesmo instante mede $18\text{ m}$, calcule:

1. A distância horizontal no solo do drone até a vertical da torre.

2. A altura da torre de controle utilizando a semelhança entre a torre e a sua sombra, sabendo que os raios solares incidem com um ângulo que faz com que um poste de $2\text{ m}$ projete uma sombra de $1,2\text{ m}$.

Um jardim tem a forma de um hexágono regular de $8\text{ m}$ de lado. Pretende-se instalar um sistema de irrigação circular que cubra exatamente até os pontos médios de cada lado (ou seja, o círculo inscrito no hexágono).

1. Calcule o raio desse círculo (apótema do hexágono) utilizando o Teorema de Pitágoras.

2. Se uma planta do jardim foi feita na escala $1:200$, qual será a área do hexágono na planta em $\text{cm}^2$?

Dois edifícios verticais estão separados por uma distância de $16\text{ m}$. O edifício A mede $24\text{ m}$ de altura e o edifício B mede $36\text{ m}$. Pretende-se esticar um cabo de fibra óptica que vá do topo do edifício A até o topo do edifício B.

1. Qual é o comprimento mínimo que o cabo deve ter?

2. Se um técnico se posicionar no cabo a uma distância horizontal de $4\text{ m}$ do edifício A, a que altura do solo ele estará nesse ponto? (Utilize semelhança de triângulos).

Tem-se uma pirâmide quadrangular regular cuja base é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado. A altura da pirâmide (do centro da base ao vértice superior) é de $12\text{ cm}$.

1. Calcule a altura de uma face lateral (apótema da pirâmide) usando Pitágoras.

2. Se construirmos uma pirâmide semelhante menor com uma razão de semelhança $k = 0,5$, calcule o volume da pirâmide pequena sabendo que o volume da original é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$.

Em um parque, um balanço é formado por dois postes metálicos que se cruzam formando um "X". As bases dos postes estão separadas por $3\text{ m}$ no chão. Os postes medem $5\text{ m}$ cada um, estão inclinados simetricamente (formam o mesmo ângulo com o chão) e se cruzam exatamente a uma altura de $2\text{ m}$ em relação ao chão.

Calcule a distância entre as extremidades superiores dos postes utilizando as propriedades da semelhança (triângulos em posição de Tales) e o Teorema de Pitágoras para encontrar as distâncias auxiliares necessárias.

Na maquete de um parquinho infantil, uma rampa reta para patinetes tem a forma de um triângulo retângulo com uma base de $12\text{ cm}$ e uma altura de $5\text{ cm}$. A rampa real construída no parque é uma ampliação semelhante à escala com razão de semelhança $k = 20$. Para determinar o comprimento do piso inclinado da rampa real (a hipotenusa), dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Calcula primeiro a hipotenusa da maquete usando o Teorema de Pitágoras e depois multiplica essa medida pela razão de semelhança $k = 20$.

• Método da Sara: Multiplica primeiro as duas dimensões da maquete pela razão $k = 20$ para determinar a base e a altura reais do parque, e depois aplica o Teorema de Pitágoras sobre esses valores maiores.

1. a) Desenvolva por completo ambos os métodos passo a passo e verifique se ambos levam ao mesmo resultado numérico em metros.
2. b) Se você tivesse de resolver este exercício em uma prova sem usar calculadora, qual dos dois métodos escolheria e por quê? Justifique a sua escolha analisando a dificuldade operatória dos cálculos envolvidos e apoiando-se nas propriedades da semelhança.

Os bombeiros de São Paulo dispõem de uma escada de salvamento com um comprimento fixo de $6,5\text{ m}$. Para acessar uma varanda, apoiam a extremidade superior na fachada vertical de um edifício e a base sobre uma calçada horizontal, a uma distância de $2,5\text{ m}$ da parede.

1. a) Modele a situação com um triângulo retângulo e calcule a que altura da fachada chega a extremidade superior da escada nessa posição inicial.
2. b) Para desobstruir uma ciclovia, os bombeiros aproximam a base da escada $0,9\text{ m}$ em direção à parede (ficando a $1,6\text{ m}$ dela). A extremidade superior subirá pela parede exatamente os mesmos $0,9\text{ m}$ que a base se deslocou para dentro? Formule uma hipótese justificada antes de calcular e, em seguida, calcule a nova altura alcançada para testar a sua hipótese.
3. c) Compare a variação horizontal da base com a variação vertical da altura e explique por que, devido à relação quadrática do Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$), o deslocamento horizontal e o vertical não mantêm uma proporção constante e, em geral, não são iguais.