Sistemas de equações do 1º grau

Observe a representação gráfica das duas retas que formam um sistema de equações. Determine, sem realizar cálculos algébricos, qual é a solução do sistema e classifique-o em Compatível Determinado, Compatível Indeterminado ou Incompatível.

Copie e complete no seu caderno a seguinte tabela de valores para as duas equações do sistema. Depois, indique qual é a solução comum observando os resultados:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Dois amigos, Ana e Marcos, estão acumulando pontos em seu jogo eletrônico favorito para desbloquear uma nova recompensa. As missões de sigilo são representadas pela incógnita $x$ e as missões de assalto pela incógnita $y$. O sistema de equações que descreve os objetivos que devem cumprir hoje é o seguinte:

Verifique numericamente se o par de valores $(x = 3, y = 2)$ é a solução do sistema. À vista do gráfico a seguir, indique se os amigos conseguiram encontrar o ponto exato em que se cumprem ambas as condições (missões totais e pontos acumulados).

Observe a seguinte representação gráfica de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas e responda às questões propostas:

1. a) Indique as coordenadas do ponto de interseção $P$ de ambas as retas.
2. b) O que representa esse ponto em relação ao sistema de equações?
3. c) Classifique o sistema segundo o número de soluções que apresenta.
4. d) O ponto $P$ é solução do seguinte sistema?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explique brevemente por que é ou por que não é, verificando ambas as igualdades.

Resolva pelo método da substituição o seguinte sistema, aproveitando que uma das incógnitas já está isolada na primeira equação:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

O Carlos tenta resolver o seguinte sistema de equações no caderno dele:

Para isso, escreve os seguintes passos:

1. Isolo $x$ na primeira equação: $x = 8 - 2y$.

2. Substituo essa expressão na primeira equação: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Desenvolvo e obtenho: $8 = 8$.

4. Conclusão: Como $8 = 8$ é sempre verdade, o sistema é possível e indeterminado e tem infinitas soluções.

1. a) Explique qual é o erro conceitual que o Carlos cometeu no passo 2 e esclareça por que a conclusão final dele é falsa.
2. b) Corrija o exercício substituindo na equação adequada e calcule a solução real $(x, y)$ do sistema.

Resolva pelo método da comparação o seguinte sistema de equações. Observe que a incógnita $x$ já está isolada em ambas as expressões:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Resolva pelo método da adição o seguinte sistema. Observe que os coeficientes da incógnita $y$ são iguais, mas com sinais contrários, portanto é possível somar as equações diretamente:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Observe os seguintes dois sistemas de equações lineares sem resolvê-los ainda:

Sistema A: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Para o Sistema A, justifique por que o método de substituição é o caminho mais direto em relação ao de adição.
2. b) Para o Sistema B, justifique por que o método de adição é a opção mais conveniente à primeira vista.
3. c) Escolha um dos dois sistemas e resolva-o passo a passo aplicando o método que você justificou.

Em uma loja de produtos a granel, queremos preparar uma mistura especial de $20\ kg$ de frutos secos que custe $\text{R\$}\ 8,50/kg$. Para isso, utilizaremos castanhas-de-caju que custam $\text{R\$}\ 10/kg$ e amendoins que custam $\text{R\$}\ 6/kg$.

Aplique o método da adição para descobrir quantos quilogramas de castanhas-de-caju e quantos de amendoins devemos misturar.

Crie um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. A única solução dele deve ser o par ordenado $(x, y) = (3, -2)$.

2. Nenhum dos coeficientes das incógnitas nem dos termos independentes pode ser igual a $0$, $1$ nem $-1$.

3. Os coeficientes da incógnita $y$ em ambas as equações devem ser números inteiros opostos (por exemplo, $4$ e $-4$), de modo que o sistema fique preparado para eliminá-la somando diretamente as duas equações pelo método da adição.

Escreva o sistema que você construiu e verifique formalmente que $(3, -2)$ satisfaz as duas igualdades.

Observe a seguinte representação gráfica de duas funções lineares que formam um sistema de equações.

1. a) Identifique as equações de ambas as retas a partir de seus pontos de interseção e seu coeficiente angular.
2. b) Determine graficamente a solução do sistema.
3. c) Classifique o sistema segundo o seu número de soluções (SCD, SCI ou SI).

Observe a representação gráfica das retas $r$ e $s$ que formam um sistema de equações.

1. a) Identifique as equações de ambas as retas a partir de seus pontos de interseção com os eixos.
2. b) Determine, analiticamente e por meio do gráfico, se o sistema é compatível determinado, indeterminado ou incompatível.
3. c) Encontre o ponto de interseção $(x, y)$.

Duas empresas de entrega urgente aplicam as seguintes tarifas para a entrega de encomendas:

• Empresa Veloz: cobra uma tarifa fixa de $12,00$ reais mais $0,80$ reais por cada quilômetro percorrido.

• Empresa Rápida: cobra uma tarifa fixa de $k$ reais mais um preço por quilômetro de $m$ reais/km.

Designamos por $x$ os quilômetros de distância do trajeto e por $y$ o custo final em reais.

1. a) Escreva a equação que modela o custo da Empresa Veloz.
2. b) Determine, justificando, que valores devem ter os parâmetros $k$ e $m$ para que o sistema formado pelas duas tarifas seja:

• Impossível (as duas retas são paralelas e nunca coincidem no preço para nenhuma quilometragem). Explique a consequência para o cliente.

• Possível e indeterminado (ambas as tarifas resultam idênticas em qualquer distância).

1. c) Se a Empresa Rápida fixar $k = 18,00$ reais e $m = 0,50$ reais/km, formule o sistema de equações, determine o ponto de interseção e interprete a partir de quantos quilômetros contratados a Empresa Rápida se torna mais econômica que a Empresa Veloz.

Traduza para a linguagem algébrica a seguinte situação e formule um sistema de duas equações com duas incógnitas, indicando claramente o que cada variável representa:

"Em uma cafeteria, um grupo de amigos pagou $\text{R\$}\ 11$ por $2$ refrigerantes e $3$ pacotes de batatas. Outro grupo pagou $\text{R\$}\ 13$ por $4$ refrigerantes e $1$ pacote de batatas".

Em uma loja de jogos eletrônicos são vendidos controles e jogos usados. Marcos comprou um controle e um jogo por $\text{R\$}\ 50$. Se o preço do jogo é o triplo do preço do controle, quanto custa cada artigo?

Formule um sistema de equações e resolva-o pelo método que preferir.

Na organização de um evento de eSports, foi vendido um total de 250 ingressos. Existem dois tipos de ingressos: os "Gamer", que custam $\text{R\$}\ 15$, e os "Pro", que custam $\text{R\$}\ 25$. Se a arrecadação total foi de $\text{R\$}\ 4\ 700$, formule um sistema de equações e calcule quantos ingressos de cada tipo foram vendidos utilizando o método da substituição.

Está sendo projetada uma nova área de jogos retangular no pátio da escola. O arquiteto estabeleceu que o perímetro total deve ser de $56$ metros. Além disso, para que haja espaço suficiente para as cestas de basquete, o comprimento da área deve ser $4$ metros menor que o triplo da largura.

Calcule as dimensões da área de jogos formulando um sistema de equações e resolvendo-o pelo método da comparação.

Dois conhecidos streamers estão comparando seus anos de experiência na plataforma. A soma de suas idades atuais é de $44$ anos. Daqui a $10$ anos, a idade do mais velho será exatamente o dobro da idade que o mais novo tem atualmente.

Formule um sistema de equações lineares e descubra a idade atual de cada um.

Um número de dois algarismos tem uma propriedade curiosa: o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades. Se subtrairmos $27$ desse número, obtemos o número resultante da inversão da ordem de seus algarismos.

Traduza o enunciado para um sistema de equações (lembre-se de expressar o número na forma polinomial: $10x + y$) e encontre de qual número se trata.

Em um posto de turismo são colocados à venda dois tipos de passes de transporte urbano: o passe 'Básico' a $8,50$ reais e o passe 'Plus' a $15,00$ reais. No fechamento do caixa foi vendido um total de $50$ passes e a receita total foi de $542,00$ reais.

1. a) Identifique com precisão as incógnitas e formule o sistema de duas equações lineares que representa a situação.
2. b) Resolva o sistema pelo método algébrico que você considerar mais adequado para determinar quantos passes de cada tipo foram vendidos.
3. c) Se, por um erro de sistema, a receita registrada tivesse sido de $540,00$ reais, demonstre algebricamente por que esse valor não seria possível na realidade com esses preços e esse número de passes.

Uma empresa de entregas por motoboys utiliza drones e vans para as suas entregas. Sabemos que o dobro do número de drones excede em 2 unidades o triplo do número de vans. Além disso, se comprassem mais 2 drones e perdessem uma van, teriam o triplo de drones em relação a vans. Apresente um sistema de equações lineares e descubra quantos veículos de cada tipo a empresa tem.

Encontre um número de dois algarismos sabendo que a soma dos seus algarismos é $12$ e que, se a ordem desses algarismos for invertida, o número resultante é $18$ unidades maior que o número original.

Nota: Lembre-se de que um número de algarismos $xy$ é escrito algebricamente como $10x + y$.

Em um laboratório de química, deseja-se misturar duas soluções salinas. A primeira tem uma concentração de $15\%$ de sal e a segunda de $40\%$. Se é necessário obter exatamente $20$ litros de uma mistura com uma concentração de $30\%$, quantos litros de cada solução devem ser utilizados? Formule e resolva o sistema de equações.

Uma cooperativa agrícola envasa galões de $5$ litros misturando dois tipos de azeite e óleo: azeite extravirgem (AOVE), com um custo de produção de $9,00$ reais por litro, e óleo de girassol, com um custo de $2,00$ reais por litro. Pretende-se que o custo médio resultante do litro de mistura em cada galão seja exatamente de $4,80$ reais (o que implica um custo total de $24,00$ reais por galão).

1. a) Antes de calcular qualquer coisa, estime de forma fundamentada se no galão haverá mais de $2,5$ litros de AOVE ou mais de $2,5$ litros de girassol. Para isso, compare a proximidade do preço médio ($4,80$ reais) aos preços de cada um dos componentes.
2. b) Formule e resolva o sistema de equações lineares para calcular com exatidão quantos litros de AOVE e quantos de girassol cada galão contém. O resultado confirma a sua estimativa anterior?
3. c) Se a cooperativa quisesse obter uma mistura de $5$ litros cujo custo final fosse de $48,00$ reais usando exclusivamente esses dois tipos de produto, analise algebricamente o que aconteceria ao resolver o sistema e explique qual é o significado físico desse resultado na prática.

Dois ciclistas, Paula e Sérgio, percorrem uma pista circular de $400$ metros. Se correm em sentidos opostos, cruzam-se a cada $20$ segundos. Se correm no mesmo sentido, Paula (que é mais rápida) ultrapassa Sérgio a cada $100$ segundos.

Sabendo que a distância percorrida é igual à velocidade multiplicada pelo tempo ($e = v \cdot t$), formule um sistema de equações para calcular a velocidade de cada ciclista em metros por segundo.

Dois ciclistas, Ioana e Boris, participam de uma corrida de longa distância. Boris parte da linha de partida a uma velocidade constante de $24\text{ km/h}$. Meia hora mais tarde, Ioana parte em sua perseguição a uma velocidade de $32\text{ km/h}$.

1. a) Quanto tempo Ioana levará para alcançar Boris?
2. b) A que distância da linha de partida ocorrerá o encontro?

Sugestão: Utilize o sistema de equações baseado na fórmula $e = v \cdot t$.

Encontre as dimensões de uma moldura retangular de madeira sabendo que seu perímetro é de $60\text{ cm}$ e que sua área é de $216\text{ cm}^2$. Para resolvê-lo, você deverá formular um sistema em que uma das equações seja do segundo grau ou resolvê-lo por meio de uma equação do segundo grau usando a relação entre a soma e o produto das raízes.

Resolva a seguinte equação do primeiro grau, prestando atenção especial à simplificação das frações e ao sinal negativo antes dos parênteses:

Estude o discriminante da seguinte equação do segundo grau e determine para qual valor do parâmetro $k$ a equação tem uma única solução real (solução dupla). Uma vez encontrado $k$, resolva a equação: