Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos iguais. Verifique se os dois triângulos a seguir são semelhantes calculando o ângulo que falta em cada um:

• O triângulo A tem dois ângulos que medem $45^\circ$ e $75^\circ$.

• O triângulo B tem dois ângulos que medem $75^\circ$ e $60^\circ$.

Lembre-se de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$.

Verifique se estes dois triângulos são semelhantes utilizando o critério dos lados proporcionais (critério LLL). Para isso, divida os lados correspondentes (o maior pelo maior, o médio pelo médio e o menor pelo menor) e veja se obtém o mesmo resultado.

• Triângulo 1: Lados de $6$ cm, $9$ cm e $12$ cm.

• Triângulo 2: Lados de $4$ cm, $6$ cm e $8$ cm.

Dois alunos do 8º ano, Júlia e Marcos, estão verificando se duas velas triangulares dos seus barcos a vela são semelhantes. A vela de Júlia tem dois ângulos que medem $65^\circ$ e $45^\circ$. A vela de Marcos tem um ângulo de $45^\circ$ e outro de $70^\circ$.

a) Calcule o terceiro ângulo de cada uma das velas.

b) Justifique, utilizando os critérios de semelhança, se as duas velas têm a mesma forma (são semelhantes).

Temos dois triângulos isósceles. O primeiro tem um ângulo diferente de $40^\circ$ e seus lados iguais medem $10\text{ cm}$ cada um. O segundo também tem um ângulo diferente de $40^\circ$, mas seus lados iguais medem $15\text{ cm}$.

a) Esses dois triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta citando o critério de semelhança aplicado.

b) Qual é a razão de semelhança entre o segundo e o primeiro?

c) Se a base do primeiro triângulo mede $6,84\text{ cm}$, quanto medirá a base do segundo?

Calcule a razão de semelhança $k$ que transforma o triângulo pequeno no triângulo grande, sabendo que são semelhantes. Uma vez encontrada a $k$, indique quanto deve medir o lado marcado com a letra $x$.

Calcule a medida dos lados de um triângulo semelhante a outro cujos lados medem $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm, se a razão de semelhança for $k = 3$. Como será o novo triângulo, maior ou menor do que o original?

A prefeitura quer instalar uma rampa de acesso para cadeiras de rodas. O projeto original é um triângulo retângulo de base $4$ metros e altura $0,8$ metros. Por norma, devem ampliar a base até os $6$ metros mantendo a mesma inclinação (ângulo).

a) Qual altura terá a nova rampa?

b) Se para a rampa original eram necessários $4,08$ metros de superfície de rolamento (hipotenusa), quantos metros serão necessários para a rampa ampliada?

Marta desenhou dois triângulos em posição de Tales. Sabendo que os segmentos horizontais são paralelos, calcule a medida do lado $x$ utilizando a proporção entre os lados correspondentes.

Utilize o Teorema de Tales para encontrar o valor de $x$ na figura a seguir, na qual as prateleiras da estante triangular são paralelas à base.

No projeto de uma estrutura metálica para um telhado, utilizam-se duas vigas paralelas para reforçar a armação principal. Sabendo que os triângulos formados estão em posição de Tales, calcule o comprimento dos segmentos assinalados como $x$ e $y$ no seguinte esquema:

(Nota: Na base, o segmento pequeno mede $4\text{ m}$ e o total $10\text{ m}$. Na vertente inclinada, o segmento pequeno mede $5\text{ m}$. Determine $x$, a base restante, e $y$, o segmento restante da vertente inclinada).

Calcule a distância entre os pontos $B$ e $D$ da seguinte figura, sabendo que os segmentos $BC$ e $DE$ são paralelos e que os pontos $A$, $B$ e $D$ estão alinhados, assim como $A$, $C$ e $E$. Os dados conhecidos são: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ e $DE = 12,5\text{ cm}$.

Para calcular a largura de um rio sem cruzá-lo, um topógrafo coloca várias estacas como mostrado na figura. Os triângulos formados, $ABC$ e $CDE$, são semelhantes porque as margens são paralelas e as linhas de visão se cruzam no ponto $C$. Se as medidas tomadas são $AB = 24$ m, $BC = 30$ m e $CD = 15$ m, determine a largura do rio ($ED$) e explique qual critério de semelhança foi aplicado.

Em um triângulo $ABC$, o lado $AB$ mede $12$ cm e o lado $AC$ mede $15$ cm. Traçamos um segmento $PQ$ paralelo ao lado $BC$, de tal forma que o ponto $P$ está em $AB$ e o ponto $Q$ está em $AC$. Se o segmento $AP$ mede a terça parte do que mede o segmento $PB$, calcule os comprimentos dos segmentos $AP$ e $AQ$. Justifique sua resposta com base no Teorema de Tales.

Uma árvore projeta uma sombra de $12$ metros. Nesse mesmo instante, um bastão de $1,5$ metros fincado verticalmente no solo projeta uma sombra de $2$ metros. Qual é a altura da árvore? Explique por que os triângulos formados pela árvore e pelo bastão com as suas sombras são semelhantes.

Num parque de Belo Horizonte, um poste vertical projeta uma sombra no chão de $4,8\text{ m}$ no mesmo instante em que o Marcos, que mede $1,60\text{ m}$ de altura, projeta uma sombra de $1,20\text{ m}$.\n\na) Antes de fazer qualquer operação escrita, observe as medidas do Marcos e da sua sombra: a sombra dele é mais comprida ou mais curta do que a sua altura real? Com base nisso, estime se a altura do poste será maior ou menor do que os seus $4,8\text{ m}$ de sombra e escreva uma estimativa fundamentada de entre quais valores aproximados deveria estar a altura real dele.\nb) Justifique por que os triângulos formados pelo poste com a sua sombra e pelo Marcos com a sua são semelhantes, citando o critério de semelhança aplicável.\nc) Formule a proporção correspondente, calcule a altura exata do poste e verifique se a sua estimativa do item a) estava correta.

Para medir a altura de uma cesta de basquete, um grupo de estudantes utiliza uma estaca de $1,5$ metros colocada verticalmente. No mesmo instante em que a sombra da estaca mede $1,2$ metros, a sombra da cesta projetada no chão mede $2,4$ metros. Calcule a altura da cesta aproveitando a semelhança dos triângulos formados pelo sol.

Daniel quer medir a profundidade de um poço circular de $1,6$ metros de diâmetro. Para isso, ele se afasta $0,8$ metros da borda até que, a partir de uma altura de $1,75$ metros (a dos seus olhos), consegue ver exatamente a borda do fundo do poço. Utilize a semelhança de triângulos para determinar a profundidade do poço.

Um grupo de estudantes do 8º ano quer medir a altura da torre de comunicação da sua cidade. Para isso, utilizam um poste vertical de $2,5$ metros de altura. Posicionam o poste de tal maneira que, em um momento determinado, a extremidade da sombra da torre e a do poste coincidem no mesmo ponto do chão. Se a distância entre a base do poste e o ponto onde terminam as sombras é de $3,2$ metros, e a distância entre a base da torre e a base do poste é de $18,4$ metros, calcule a altura da torre.

Uma câmara escura baseia-se em um orifício minúsculo pelo qual entram raios de luz em linha reta: ao se cruzarem no orifício, projetam na tela posterior uma imagem invertida e semelhante ao objeto exterior.\nUm grupo de alunos constrói uma câmara escura com uma caixa de $20\text{ cm}$ de profundidade (distância do orifício à tela posterior). Querem fotografar um aerogerador de um parque eólico no Ceará cuja altura total é de $45\text{ m}$. A tela do fundo da câmara tem uma altura útil máxima de $15\text{ cm}$.\n\na) Modele a situação descrevendo os dois triângulos que se formam em ambos os lados do orifício e demonstre por que são semelhantes, indicando quais ângulos coincidem e qual critério de semelhança se cumpre.\nb) Formule a proporção adequada e calcule a que distância mínima do aerogerador deve ser colocada a câmara para que a imagem completa caiba na tela sem ser cortada.\nc) Se, por segurança, os alunos forem obrigados a se afastar até colocar a câmara exatamente no triplo da distância calculada no item anterior, fundamente, sem voltar a resolver toda a equação, qual altura terá agora a imagem projetada e como ela se relaciona com a razão de semelhança.

Um drone está sobrevoando um parque a uma altura de $15$ metros. Sua câmera projeta um campo de visão triangular no chão. Se o drone subir até uma altura de $45$ metros:

a) Qual é a razão de semelhança entre o triângulo de visão original e o novo?

b) Se o perímetro da área que cobria no chão era de $120$ metros, qual será o perímetro da nova área?

c) Se a superfície (área) coberta originalmente era de $800\text{ m}^2$, qual será a superfície coberta na nova altura?

Duas secantes se cortam em um ponto $V$. Sobre uma delas marcam-se os pontos $A$ e $B$, e sobre a outra os pontos $C$ e $D$, de tal forma que os segmentos $AC$ e $BD$ são paralelos (configuração de Tales). Sabendo que $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm e a área do triângulo menor $VAC$ é de $27$ $cm^2$, calcule a área do quadrilátero $ABDC$ sabendo que os triângulos são semelhantes.

Uma tela de cinema ao ar livre projeta uma imagem a partir de um foco situado a $12$ metros de distância. A tela original tem uma superfície de $24$ $m^2$. Se aproximarmos a tela do projetor até colocá-la exatamente na metade da distância ($6$ metros do foco), a imagem projetada será menor, mas conservará a mesma forma. Qual será a área da imagem nesta nova posição? Justifique sua resposta utilizando a relação entre a razão de semelhança e a área.

Considere dois triângulos retângulos. O primeiro tem catetos de $3$ cm e $4$ cm. O segundo triângulo é semelhante ao primeiro e a sua hipotenusa mede $15$ cm. Calcule o perímetro e a área desse segundo triângulo. (Dica: primeiro encontre a hipotenusa do triângulo original para determinar a razão de semelhança).

Um carpinteiro está projetando uma estante reforçada com uma travessa em forma de triângulo retângulo. No triângulo da base, a altura sobre a hipotenusa divide esta em dois segmentos que medem $18$ cm e $32$ cm. O carpinteiro precisa saber o comprimento das duas ripas que formam os catetos do triângulo para comprá-las. Calcule a medida de ambos os catetos e a altura da travessa utilizando as relações de semelhança em triângulos retângulos.

Em uma pista de skate, constrói-se uma rampa de salto cuja seção lateral é um triângulo retângulo. A altura traçada sobre a hipotenusa (o chão) a divide em dois segmentos de projeções que medem $m = 1,8\text{ m}$ e $n = 3,2\text{ m}$. Deseja-se calcular o comprimento da rampa de subida, que corresponde ao cateto menor $c$ adjacente à projeção $m$.\n\nPara resolver, dois projetistas propõem métodos distintos:\n- Método 1 (Sofia): Calcular primeiro a altura $h$ com o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$) e, depois, aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo menor para encontrar $c = \sqrt{h^2 + m^2}$.\n- Método 2 (Mateus): Aplicar diretamente o teorema do cateto, derivado da semelhança de triângulos, segundo o qual $c^2 = m \cdot (m + n)$, isolando $c$ em um único passo.\n\na) Aplique passo a passo os dois métodos com os dados fornecidos e verifique que se obtém exatamente o mesmo valor numérico para o comprimento $c$.\nb) Demonstre algebricamente que a fórmula da Sofia ($c^2 = h^2 + m^2$) equivale exatamente à do Mateus ($c^2 = m \cdot (m + n)$), substituindo nela a igualdade $h^2 = m \cdot n$ e colocando o fator comum em evidência.\nc) Se as medidas de partida dessem origem a raízes quadradas não exatas e você não pudesse usar calculadora, justifique qual dos dois métodos é mais recomendável para evitar o acúmulo de erros de arredondamento.

Dois triângulos retângulos têm um ângulo agudo igual a $37^\circ$. Podemos afirmar que são semelhantes? Justifique a sua resposta usando os critérios de semelhança de triângulos.

O Hugo está estudando para a prova de Matemática e precisa determinar se dois triângulos são semelhantes. O primeiro triângulo tem lados que medem $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, e o segundo tem lados que medem $7\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$. O Hugo escreve no caderno:\n«São semelhantes porque, se subtrairmos os lados correspondentes, $7 - 4 = 3$, $9 - 6 = 3$ e $11 - 8 = 3$; como a diferença é sempre a mesma ($3\text{ cm}$), os dois triângulos crescem no mesmo ritmo e têm a mesma forma».\n\na) Localize o erro conceitual que o Hugo comete e explique com suas palavras por que uma diferença constante entre os lados não garante que duas figuras sejam semelhantes.\nb) Verifique matematicamente, calculando as razões dos lados correspondentes, se os triângulos do Hugo são ou não semelhantes.\nc) Escreva as medidas que o segundo triângulo deveria ter se o lado homólogo ao de $4\text{ cm}$ medisse realmente $7\text{ cm}$ para que ambos fossem semelhantes.

O Código Técnico de la Edificación (CTE) na Espanha regulamenta que as rampas de acesso para pessoas com mobilidade reduzida não devem superar uma inclinação máxima nem vencer desníveis superiores a $1,20\text{ m}$ de altura sem intercalar um patamar horizontal. Num posto de saúde de Campinas foi construída uma rampa reta. Ao inspecioná-la, o engenheiro verifica que nos primeiros $3\text{ m}$ de avanço horizontal a rampa subiu $0,18\text{ m}$ de altura em relação ao chão.\n\na) Modele a situação por meio de triângulos retângulos e explique por que razão qualquer ponto ao longo da rampa forma com o chão um triângulo semelhante ao que abrange a rampa em sua totalidade.\nb) Se a distância horizontal total desde o início da rampa até a porta de entrada for de $18\text{ m}$, calcule a altura total vencida pela rampa.\nc) Com os dados obtidos e a regulamentação indicada, determine se a rampa pode ser contínua ou se é obrigatório incluir um patamar horizontal intermediário. Justifique a sua conclusão.

Uma oficina de artesanato fabrica molduras triangulares de madeira. Eles têm uma moldura padrão de referência cujos lados medem $5\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. A oficina recebe a encomenda de desenhar duas novas molduras triangulares, a moldura $A$ e a moldura $B$, que devem cumprir a condição de ter dois lados medindo exatamente $15\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.\n\na) Determine qual deve ser a medida exata do terceiro lado da moldura $A$ para que seja semelhante à moldura padrão. Indique que critério de semelhança você aplicou e qual é a razão de semelhança $k$ que as relaciona.\nb) Proponha uma medida inteira possível para o terceiro lado da moldura $B$ de modo que forme um triângulo geometricamente válido (lembre-se de que a soma de dois lados quaisquer deve ser sempre maior do que o terceiro), mas que NÃO seja semelhante à moldura padrão.\nc) Demonstre detalhadamente por que a moldura $B$ que você propôs não é semelhante à moldura padrão, comparando as razões entre os seus lados.

Um arquiteto apresenta uma maquete de um centro cultural com formato de pirâmide de base triangular. A razão de semelhança entre a maquete e o edifício real é de $1:150$. Se o volume da maquete é de $0,8$ $dm^3$, qual será o volume do edifício real expresso em metros cúbicos ($m^3$)? Lembre-se de aplicar corretamente a relação entre a razão de semelhança e o volume.