Domínio, conjunto imagem e imagem de uma função

Determine o domínio da seguinte função polinomial:

$f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$

Determine o domínio da seguinte função racional:

$f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$

Determine o domínio da seguinte função racional com denominador do segundo grau:

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

Um aluno afirma que o domínio da função racional $f(x) = \frac{3x}{x^2+9}$ é $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$. Explique qual é o erro em seu raciocínio ao avaliar o denominador e escreva o domínio correto da função.

Ao resolver uma tarefa sobre o domínio da função racional $f(x) = \frac{x + 5}{x - 3}$, o Pedro escreve o seguinte no caderno:

«Para que a função possa ser calculada, o numerador não pode ser zero, logo $x + 5 \ne 0$, de onde $x \ne -5$. Além disso, a variável $x$ nunca pode ser um número negativo, de modo que o domínio é o intervalo $[0, +\infty) \setminus \{5\}$».

1. a) Aponte os dois erros de raciocínio conceitual cometidos pelo Pedro na justificativa dele.
2. b) Explique por que, em uma função matemática, o numerador de uma fração pode se anular e que valor numérico $f(-5)$ assume exatamente.
3. c) Corrija o exercício determinando o domínio correto de $f(x)$ e expresse-o de duas maneiras distintas: como exclusão de valores em $\mathbb{R}$ e por meio da união de intervalos.

Calcule o domínio da função com radical:

$f(x) = \sqrt{3x + 12}$

Calcule o domínio da seguinte função que contém um radical de índice ímpar:

$f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$

Em um exame, um aluno indica que o domínio da função radical $g(x) = \sqrt{12 - 3x}$ é o intervalo $[4, +\infty)$. Demonstre matematicamente por que este resultado é um erro comum ao resolver inequações e calcule o domínio correto.

Determine o domínio da seguinte função com um radical quadrático:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Determine o domínio da seguinte função logarítmica:

$f(x) = \log_2(5 - x)$

Determine o domínio da função que combina uma fração e uma raiz:

$f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$

Calcule o domínio da seguinte função logarítmica com argumento quadrático:

$f(x) = \ln(9 - x^2)$

Determine o domínio da função que inclui uma raiz no numerador e um polinômio no denominador:

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$

Para calcular o domínio da função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Estratégia 1 (Marcos): Aplica as regras separadamente. Primeiro resolve $10 - 2x \ge 0$ por ser uma raiz quadrada, depois procura quando o denominador se anula resolvendo $\sqrt{10 - 2x} = 0$ e, finalmente, exclui essa solução do conjunto anterior.

• Estratégia 2 (Sara): Reúne as duas condições em uma única inequação. Argumenta que, como o radical está no denominador, o radicando não pode ser nem negativo nem zero, e por isso propõe diretamente $10 - 2x > 0$.

1. a) Desenvolva detalhadamente os dois métodos e verifique se com ambos se obtém o mesmo domínio.
2. b) Avalie as duas estratégias: qual você considera mais direta e com menor risco de erro no uso de parênteses ou colchetes ao escrever os intervalos? Justifique sua escolha.
3. c) Se a função fosse $g(x) = \frac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 3}$, reflita e fundamente se a estratégia simplificada da Sara continuaria a servir em um único passo ou se seria obrigatório recorrer ao método de análise por partes do Marcos.

A partir da seguinte representação gráfica da função $f(x)$, determine seu domínio e sua imagem.

Observe o gráfico da função definida por partes $g(x)$. Determine seu domínio e sua imagem, prestando especial atenção à assíntota vertical e aos pontos onde os intervalos são abertos ou fechados.

Determine analiticamente a imagem da seguinte função quadrática (lembre-se de calcular as coordenadas do seu vértice):

$f(x) = -3x^2 + 12x - 5$

Analise o seguinte gráfico da função $h(x)$. Determine seu domínio, sua imagem e os pontos onde a função não está definida ou apresenta alguma descontinuidade, indicando de que tipo ela é.

Um estacionamento cobra $2$ reais por cada hora ou fração de hora que um veículo permanece estacionado, com um limite máximo de $12$ horas por dia. Escreva a função que relaciona o tempo de estacionamento $x$ (em horas) com o valor a pagar $f(x)$ e determine seu domínio e sua imagem no contexto deste problema.

O serviço público de aluguel de bicicletas elétricas de uma cidade (como o Bike Itaú em São Paulo) aplica aos usuários ocasionais uma tarifa composta por $0,50$ reais fixos de desbloqueio mais $0,15$ reais por cada minuto de trajeto. Por regulamentação de segurança viária e legislação municipal, o tempo máximo autorizado para um único trajeto ininterrupto é de 2 horas ($120$ minutos). A função que descreve o custo final em reais em função dos minutos utilizados é $C(t) = 0,50 + 0,15 \cdot t$.

1. a) Se você considerar unicamente a fórmula algébrica sem levar em conta a situação real, qual é o seu domínio matemático e por quê?
2. b) Levando em conta as restrições regulamentares do serviço, determine o domínio real e o conjunto imagem da função, expressando ambos os conjuntos na forma de intervalos.
3. c) Um usuário afirma que no aplicativo lhe cobraram $22$ reais por um único trajeto contínuo dentro da norma. Justifique, apoiando-se no conceito de conjunto imagem, por que essa cobrança não é possível.

Com um arame de $40$ cm de comprimento quer-se construir um retângulo. Se chamarmos de $x$ o comprimento da base do retângulo, determine a expressão da função área $A(x)$ e encontre seu domínio de definição levando em conta as limitações geométricas do problema.

Um pequeno foguete de brinquedo é lançado verticalmente para cima a partir do solo. A altura $h$ (em metros) que ele atinge em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = 20t - 5t^2$. Determine o domínio e o conjunto imagem desta função sabendo que o movimento termina quando o foguete atinge o solo novamente.

Uma empresa que fabrica componentes eletrônicos determinou que a receita diária ao vender $x$ componentes é dada por $I(x) = 150x - x^2$, e os custos totais de produção por $C(x) = 2000 + 10x$. Sabendo que a fábrica tem uma capacidade máxima de produção de $100$ componentes por dia, determine a função lucro $B(x)$ e seu domínio válido neste contexto econômico.

Em uma estação do INMET localizada no Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros, a $2500$ m de altitude, a temperatura externa $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) registrada durante um dia de primavera ajusta-se ao modelo $T(t) = -0,2 \cdot (t - 14)^2 + 8$, em que $t$ representa a hora do dia medida de forma contínua a partir da meia-noite ($t \in [0, 24]$).

1. a) Antes de fazer cálculos numéricos, estime de forma fundamentada a que hora do dia você esperaria registrar a temperatura mais alta e se considera provável que de madrugada a temperatura desça abaixo de $0\,^{\circ}\text{C}$.
2. b) Por meio da análise algébrica da expressão (ou calculando o vértice da parábola), determine a temperatura máxima atingida e avalie as temperaturas previstas às $00:00$ ($t = 0$) e às $24:00$ ($t = 24$).
3. c) Determine com precisão o conjunto imagem da função para esse dia completo e verifique se a sua estimativa inicial era coerente com os limites obtidos.

A partir de uma folha retangular de papelão de $40 \text{ cm} \times 25 \text{ cm}$ deseja-se construir uma caixa sem tampa. Para isso, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos quatro cantos e dobram-se as bordas para cima. Determine a expressão da função volume $V(x)$ da caixa e encontre seu domínio de definição válido.

O Ministério do Meio Ambiente registra as reservas hídricas de um reservatório do semiárido nordestino durante um período de estiagem de $90$ dias. Os técnicos estimam que o volume armazenado $V(t)$, expresso em hectômetros cúbicos ($\text{hm}^3$), segue o modelo com radical $V(t) = \sqrt{3600 - 40 \cdot t}$, em que $t$ representa o número de dias decorridos desde o início do verão ($t = 0$).

1. a) Determine o domínio puramente algébrico da função $V(t)$ resolvendo a inequação imposta pela raiz de índice par.
2. b) Explique o significado físico do valor de $t$ que anula o radicando ($V(t) = 0$). Teria sentido prático ampliar o domínio para além desse ponto? Defina qual deve ser o domínio contextualizado do modelo para o acompanhamento durante os $90$ dias da campanha de verão.
3. c) Determine o conjunto imagem da função no intervalo de tempo de $90$ dias ($t \in [0, 90]$) e interprete que informação os valores extremos do conjunto imagem fornecem aos gestores da bacia hidrográfica.

Imagine que você está programando os parâmetros de segurança em uma tela de controle para uma estufa industrial:

1. a) Escreva a fórmula algébrica de uma função racional $f(x) = \frac{1}{Q(x)}$ cujo domínio de definição seja exatamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$. Explique passo a passo como você constrói o denominador $Q(x)$ para obrigar a função a falhar unicamente nesses dois valores.
2. b) Elabore a expressão de uma função com radical quadrático $g(x) = \sqrt{P(x)}$ cujo domínio de existência comece em $6$ e se estenda a valores maiores, isto é, $[6, +\infty)$. Justifique a sua escolha resolvendo a inequação correspondente.
3. c) Seria possível inventar uma função polinomial cujo domínio fosse exatamente o intervalo $[6, +\infty)$? Justifique a sua resposta com base nas propriedades do domínio dos polinômios.

Determine o domínio da seguinte função, que requer resolver uma inequação racional dentro de uma raiz quadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Calcule os valores que o parâmetro $k$ deve assumir para que o domínio da seguinte função seja todo o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$:

$f(x) = \frac{2x - 7}{x^2 + kx + 16}$

Dadas as funções $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 5x + 4$, encontre a expressão analítica da função composta $(f \circ g)(x)$ e determine rigorosamente seu domínio.

Determine o domínio da seguinte função logarítmica cujo argumento é uma expressão racional:

$f(x) = \log_2\left(\frac{x^2 - 4}{x}\right)$

Calcule o domínio da seguinte função racional que inclui um valor absoluto em seu denominador:

$f(x) = \frac{3x + 1}{|x - 3| - 5}$