Relações métricas: altura e projeções

Em Gramado, um carpinteiro sabe a que distância da parede central ficam os dois beirais de um telhado. Ele quer saber a que altura fica a cumeeira, sem subir lá para medir. Há um jeito: uma única linha traçada dentro do triângulo, a altura, transforma o problema em semelhança de triângulos. Vamos descobrir como e, no final, voltar ao telhado.

Os elementos da figura

Considere o triângulo $ABC$ com ângulo reto em $A$. O lado oposto ao ângulo reto, $\overline{BC}$, é a hipotenusa. Os outros dois lados são os catetos.

Trace a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa: ela sai de $A$ e encontra $\overline{BC}$ formando ângulo reto no ponto $H$. Esse ponto divide a hipotenusa em dois pedaços, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Nesta página, a notação é esta:

$c = \overline{BC}$ é a hipotenusa;
$a = \overline{AB}$ e $b = \overline{AC}$ são os catetos;
$h = \overline{AH}$ é a altura;
$m = \overline{BH}$ é a projeção do cateto $a$ e $n = \overline{HC}$ é a projeção do cateto $b$.

Note que $m + n = c$.

Três triângulos semelhantes

A altura $\overline{AH}$ divide o triângulo $ABC$ em dois triângulos menores, $HBA$ e $HAC$. A ideia central é esta: os três triângulos são semelhantes entre si. Veja por quê, usando o caso AA (dois ângulos iguais).

Os três triângulos têm os mesmos ângulos

Chame de $\beta$ o ângulo em $B$ e de $\gamma$ o ângulo em $C$ do triângulo $ABC$. Como $\hat A = 90°$, temos $\beta + \gamma = 90°$.

$ABC$ e $HBA$. Os dois têm o ângulo $\beta$ em $B$ (é o mesmo ângulo). Além disso, $ABC$ tem ângulo reto em $A$ e $HBA$ tem ângulo reto em $H$. Dois ângulos iguais: $ABC \sim HBA$.

$ABC$ e $HAC$. Os dois têm o ângulo $\gamma$ em $C$ e um ângulo reto (em $A$ e em $H$). Logo, $ABC \sim HAC$.

$HBA$ e $HAC$. Ambos são semelhantes a $ABC$, então são semelhantes entre si. Confira: no triângulo $HBA$, os ângulos são $90°$ em $H$ e $\beta$ em $B$, então o ângulo em $A$ vale $90° - \beta = \gamma$. No triângulo $HAC$, o ângulo em $A$ vale $90° - \gamma = \beta$. Os ângulos são os mesmos, trocados de lugar.

Agora é a sua vez de usar a semelhança para deduzir uma relação.

Pratica★★☆

O objetivo deste exercício é deduzir a relação $h^2 = m \cdot n$ usando semelhança de triângulos. Considere o triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, e a…

O objetivo deste exercício é deduzir a relação $h^2 = m \cdot n$ usando semelhança de triângulos. Considere o triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, e a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa $\overline{BC}$, que determina sobre ela as projeções $m = \overline{BH}$ e $n = \overline{HC}$.

a) Mostre que os triângulos $ABH$ e $CAH$ têm os mesmos ângulos: identifique o ângulo reto de cada um e use o fato de que os ângulos agudos de $ABC$ são complementares para concluir que o ângulo em $B$ no triângulo $ABH$ é igual ao ângulo em $A$ no triângulo $CAH$.
b) Conclua, pelo caso de semelhança ângulo-ângulo, que $ABH$ e $CAH$ são semelhantes.
c) Escreva a proporção entre os lados correspondentes que envolve $h$, $m$ e $n$: $\dfrac{h}{m} = \dfrac{n}{h}$.
d) Aplique a propriedade fundamental das proporções e conclua que $h^2 = m \cdot n$.

Resolver

As relações métricas

Da semelhança saem proporções entre os lados correspondentes. Cada uma delas vira uma relação.

Somando as duas últimas, vem uma surpresa:

$$a^2 + b^2 = c \cdot m + c \cdot n = c(m + n) = c \cdot c = c^2.$$

Essa é a demonstração do Teorema de Pitágoras por semelhança. Ele é consequência das relações que acabamos de provar.

Há ainda uma quarta relação, que sai de calcular a área do triângulo de duas maneiras (catetos como base e altura, ou hipotenusa como base):

$$\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad a \cdot b = c \cdot h.$$

Pratica★☆☆

Num triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, traça-se a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa $\overline{BC}$. Sobre a hipotenusa ficam determinadas as…

Num triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, traça-se a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa $\overline{BC}$. Sobre a hipotenusa ficam determinadas as projeções $m = \overline{BH}$ e $n = \overline{HC}$ dos catetos. Valem as relações: $h^2 = m \cdot n$, $a^2 = c \cdot m$ e $b^2 = c \cdot n$, onde $h$ é a altura, $c = \overline{BC}$ é a hipotenusa e $a$, $b$ são os catetos correspondentes às projeções $m$ e $n$.

Numa escada apoiada num muro, o triângulo retângulo formado tem hipotenusa $c = 13$ m e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem $m = 4$ m e $n = 9$ m.

a) Calcule a altura $h$ relativa à hipotenusa.
b) Calcule o cateto $a$, correspondente à projeção $m$.
c) Calcule o cateto $b$ e verifique que $a^2 + b^2 = c^2$.

Resolver

Aplicação: o telhado

Voltemos ao telhado de Gramado. A cumeeira é o vértice $A$ do ângulo reto. A projeção vertical da cumeeira sobre a laje é o ponto $H$, e os beirais são $B$ e $C$. Então $\overline{BH}$ e $\overline{HC}$ são as projeções $m$ e $n$, e a altura da cumeeira é $h$.

Se $m$ e $n$ são conhecidos, a altura sai direto de $h^2 = m \cdot n$, sem precisar medir nenhum lado inclinado. E as relações $a^2 = c \cdot m$ e $b^2 = c \cdot n$ dão o comprimento de cada água do telhado, que o carpinteiro precisa para cortar as peças.

Pratica★★★

O telhado de duas águas de uma casa em Gramado tem estrutura em forma de triângulo retângulo: a cumeeira (ponto mais alto) está sobre a projeção vertical que divide a…

O telhado de duas águas de uma casa em Gramado tem estrutura em forma de triângulo retângulo: a cumeeira (ponto mais alto) está sobre a projeção vertical que divide a laje, e a tesoura do telhado forma, em cada água, um triângulo retângulo com ângulo reto na cumeeira. Numa das águas, o beiral (extremidade do telhado) está a $1{,}8$ m da projeção da cumeeira sobre a laje, medidos na horizontal, e do outro lado essa distância é de $3{,}2$ m. Use as relações métricas do triângulo retângulo ($h^2 = m \cdot n$, $a^2 = c \cdot m$).

a) Calcule a altura $h$ da cumeeira em relação à laje, usando as projeções $m = 1{,}8$ m e $n = 3{,}2$ m.
b) Calcule o comprimento da caibra (cateto) da água correspondente à projeção de $1{,}8$ m, sabendo que a hipotenusa total é $c = m + n$.
c) Deduzindo com o mesmo raciocínio do exercício de semelhança (compare o triângulo $ABC$ com o triângulo $ABH$), explique por que $a^2 = c \cdot m$, indicando quais lados correspondentes entram na proporção.
d) Verifique numericamente, com os valores obtidos, que a soma dos quadrados dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa total.

Resolver

Volte ao começo: a altura da cumeeira sai da média geométrica das duas distâncias até os beirais, $h = \sqrt{m \cdot n}$.

Vamos praticar! 3 exercícios neste tema

★☆☆ Num triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, traça-se a altura $\overline{AH}$…★★☆ O objetivo deste exercício é deduzir a relação $h^2 = m \cdot n$ usando semelhança de…★★★ O telhado de duas águas de uma casa em Gramado tem estrutura em forma de triângulo…

Resumo

A altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo $ABC$ em dois triângulos menores, e os três são semelhantes (caso AA).
A hipotenusa é $c = m + n$, onde $m$ e $n$ são as projeções dos catetos $a$ e $b$ sobre ela.
Das proporções entre lados correspondentes saem $h^2 = m \cdot n$, $a^2 = c \cdot m$ e $b^2 = c \cdot n$.
Somando as duas últimas, obtemos $a^2 + b^2 = c^2$: o Teorema de Pitágoras.
Pela área, $a \cdot b = c \cdot h$.
Cuide da correspondência dos vértices e use a projeção do cateto certo.

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