Razões e proporções

Calcule o valor da razão de cada par de quantidades e interprete o resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerejas custam $\text{R\$}\ 10,50$.

1. b) Uma ciclista de gravel percorre $95\ \text{km}$ em $4\ \text{h}$.

1. c) Uma garrafa contém $2\ \text{L}$ e um galão, $25\ \text{L}$.

Duas hastes metálicas medem $8\ \text{dm}$ e $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcule a razão entre o comprimento da primeira e o da segunda, e simplifique-a.

1. b) Calcule a razão entre a segunda e a primeira.

1. c) Como são entre si as duas razões obtidas? Isso ocorre sempre?

Um mapa rodoviário está desenhado na escala $1 : 300.000$.

1. a) Explique o significado dessa razão.

1. b) Qual distância real representam $5\ \text{cm}$ do mapa?

1. c) Duas cidades distam $21\ \text{km}$ na realidade. A que distância estão no mapa?

Uma lançadora de dardo treina com uma marca situada a $60\ \text{m}$ e leva $4,8\ \text{s}$ para percorrer essa distância na sua corrida de aproximação.

1. a) Calcule a razão entre a distância e o tempo, em $\text{m/s}$.

1. b) Expresse-a em $\text{km/h}$.

1. c) É correto calcular a razão entre $60\ \text{m}$ e $4,8\ \text{s}$ sem prestar atenção às unidades? Por que é necessário indicá-las sempre ao interpretar uma razão?

Num abrigo de animais, a razão entre o número de gatos e o número de cães acolhidos é de $4 : 7$.

1. a) Sabendo que no total há mais de $30$ animais e menos de $40$, deduza quantos gatos e quantos cães há no abrigo sem recorrer à tentativa e erro às cegas. Explique com clareza a propriedade numérica em que você se baseia para garantir isso.
2. b) Escreva a proporção matemática completa que relaciona o número de gatos e cães com a razão simplificada dada, indicando explicitamente quais são os extremos e quais são os meios.
3. c) Se amanhã forem adotados $2$ gatos e $2$ cães, verifique, por meio da regra dos produtos cruzados, se a proporção entre as duas espécies se mantém ou se altera.

Verifique, calculando o produto dos extremos e o produto dos meios, se os seguintes pares de razões formam uma proporção:

1. a) $\frac{6}{4}$ e $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ e $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ e $\frac{5}{8}$

Determine a quarta proporcional em cada caso:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Com os números $3$, $6$, $4$ e $8$, forme:

1. a) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os extremos.

1. b) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os meios.

1. c) Verifique em ambas que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Determine o valor de $x$ nestas proporções:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Determine o meio proporcional em cada caso, ou seja, o valor positivo de $x$ que satisfaz a proporção contínua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Uma aluna afirma o seguinte:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, então também vale $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque apenas mudei a ordem dos números.»

1. a) Verifique se a primeira igualdade é uma proporção verdadeira.

1. b) Verifique se a segunda igualdade também é verdadeira. Ela acertou?

1. c) A regra correta diz que em uma proporção é possível permutar os meios ou permutar os extremos. Aplique-a a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ e escreva duas proporções equivalentes verdadeiras.

Indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa, supondo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ seja uma proporção verdadeira. Justifique usando o produto dos extremos e dos meios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»