Aproximações

Arredonde o número $\pi \approx 3,14159265...$ para os décimos, os centésimos e os milésimos.

Aproxime por excesso e por falta às milésimas a fração $\frac{17}{7}$.

Numa competição de atletismo escolar, o tempo exato de um corredor ao cruzar a linha de chegada é $10,458 \text{ s}$. O cronômetro do juiz A funciona truncando nos centésimos, enquanto o cronômetro do juiz B arredonda nos centésimos. Calcule o erro absoluto de cada cronômetro e explique qual dos dois juízes dá um tempo mais próximo do real.

Ao medir o comprimento de uma mesa de $2,5 \text{ m}$ exatos, uma fita métrica marcou um valor de $2,46 \text{ m}$. Calcule o erro absoluto e o erro relativo desta medição.

Uma balança de banheiro marca $54,2 \text{ kg}$ ao pesar uma pessoa. Se sabemos, por meio de uma balança de precisão, que o valor exato é $54,25 \text{ kg}$, determine o erro relativo expresso em porcentagem.

Em um supermercado, o preço exato pelo peso de um pedaço de queijo é $\text{R\$}\ 14,53$ e no caixa cobram-se $\text{R\$}\ 14,50$. Por outro lado, um pão custa exatamente $\text{R\$}\ 0,83$ e cobram-se $\text{R\$}\ 0,80$. Calcule o erro relativo em ambas as compras e indique em qual delas o erro afeta mais o consumidor em proporção ao que gasta.

Um arquivo de texto tem um tamanho exato de $1456783 \text{ bytes}$. O sistema operacional mostra o seu tamanho na pasta como $1,4 \text{ MB}$ (considerando para este exercício que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos pela aproximação do sistema operacional.

Indique o número de algarismos significativos das seguintes medições experimentais: $0,0045 \text{ kg}$, $30,020 \text{ s}$, $1500 \text{ m}$ (supondo que seja exata até as unidades) e $2,0 \cdot 10^5 \text{ A}$.

O Marcos está analisando os resultados de uma análise da qualidade da água da torneira do seu município e lê que a concentração de nitratos é de $0{,}040\text{ mg/l}$. Ao preparar uma apresentação para a aula, o Marcos afirma: «Este valor tem quatro algarismos significativos porque há quatro dígitos no total e, como foi medido até os milésimos, o limite de erro absoluto é de $0{,}005\text{ mg/l}$». Localize os dois erros cometidos pelo Marcos, explique detalhadamente por que o raciocínio dele está errado em cada caso e escreva os valores corrigidos tanto para o número de algarismos significativos como para o limite de erro absoluto real da medição.

O diâmetro de um glóbulo vermelho humano é de aproximadamente $7,8 \cdot 10^{-6} \text{ m}$. O software de um microscópio eletrônico aproxima esta medição e mostra na tela $0,000008 \text{ m}$. Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometido pelo software. Quantos algarismos significativos tem o valor mostrado na tela?

Expresse o número $45678,9$ com três algarismos significativos, utilizando a notação científica.

Segundo os dados do Padrón Continuo do Instituto Nacional de Estadística (INE), a cidade de Teruel conta com uma população oficial de $36\,267$ habitantes. Nos meios de comunicação observam-se duas aproximações distintas: um jornal generalista intitula «Teruel ronda os $36\,000$ habitantes», enquanto um relatório técnico municipal prefere utilizar o valor de $36\,300$ habitantes.

1. a) Identifique a que ordem de grandeza (dezenas, centenas ou milhares) cada uma das duas fontes arredondou.
2. b) Escreva o valor do relatório técnico ($36\,300$) em notação científica, de forma a expressar com clareza que tem três algarismos significativos.
3. c) Calcule o erro absoluto cometido por cada publicação em relação ao dado oficial do INE e determine qual das duas aproximações garante um limite de erro absoluto menor do que $50$ habitantes.

A constante de gravitação universal tem um valor aproximado de $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Arredonde esse valor para que tenha apenas três algarismos significativos e encontre o limite do erro relativo dessa nova aproximação.

Ao arredondar um número desconhecido para os centésimos, obteve-se $4,38$. Indique o intervalo em que se encontra o valor exato do número e determine o limite do erro absoluto.

A distância por estrada entre duas cidades é publicada como $340 \text{ km}$, indicando-se que tem dois algarismos significativos. Determine o intervalo de valores em que se encontra a distância real e calcule o limite do erro absoluto e o limite do erro relativo máximo possível.

Um termômetro digital de farmácia marca $37,5^\circ\text{C}$. O manual do fabricante garante que o erro relativo máximo do sensor é de $0,4\%$. Calcule o intervalo de temperaturas em que se encontra com segurança a temperatura real do paciente.

Na construção de uma ponte, um engenheiro mede as dimensões da seção transversal de uma viga retangular obtendo $L = 15,4 \text{ m}$ e $A = 0,85 \text{ m}$. Ambas as medições foram arredondadas na última casa decimal que mostram. Determine o intervalo em que se encontra a área real da seção da viga. Qual é o limite do erro absoluto que se assume ao calcular a área multiplicando diretamente os valores aproximados?

Pretende-se cercar uma praça circular. O topógrafo mede o raio e obtém $R = 45,2 \text{ m}$ (valor arredondado às décimas). Calcule o perímetro nominal da praça usando $\pi \approx 3,1416$ e encontre o erro absoluto máximo (cota de erro) que se pode cometer no cálculo desse perímetro devido à incerteza da medição do raio.