Funções lineares. Coeficiente angular

Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(1, 4)$ e $B(3, 10)$.

Observe o gráfico a seguir e determine o coeficiente angular da reta representada.

O Marcos precisa calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(2, 3)$ e $B(6, 11)$. Na sua prova ele escreve o seguinte procedimento:

Portanto, conclui que, para cada unidade que a reta sobe verticalmente, avança $0,5$ unidades na horizontal.

1. a) Aponte com precisão qual erro conceitual o Marcos cometeu na aplicação da fórmula do coeficiente angular.
2. b) Explique por que a interpretação verbal posterior dele também está errada, segundo o conceito de coeficiente angular como taxa de variação.
3. c) Corrija o cálculo obtendo o valor correto de $m$ e justifique se a função é crescente ou decrescente a partir do seu sinal.

Dada a função linear $y = -3x + 5$, indique qual é o seu coeficiente angular e o seu coeficiente linear. Trata-se de uma função crescente ou decrescente?

Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular $m = \frac{1}{2}$ e corta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -4)$.

Uma relação linear entre duas variáveis é dada pela seguinte tabela de valores:

Calcule o coeficiente angular dessa função.

Dadas as seguintes retas: $y = 2x$, $y = 0,5x$, $y = -x$, $y = -4x$. Ordene-as de menor a maior inclinação (valor absoluto do seu coeficiente angular) e classifique-as em crescentes e decrescentes.

A reta que passa pelos pontos $P(2, 5)$ e $Q(4, y)$ tem um coeficiente angular $m = 3$. Calcule o valor da coordenada desconhecida $y$.

Observe as duas retas representadas no gráfico. Calcule o coeficiente angular de cada uma delas e indique qual representa uma maior taxa de crescimento.

Encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta que passa pelos pontos $A(k, 3)$ e $B(2k - 1, 7)$ tenha um coeficiente angular $m = -2$.

Duas grandezas $x$ e $y$ mantêm uma relação linear. Sabendo que quando $x$ aumenta $5$ unidades, $y$ diminui $3$ unidades, e que a reta passa pelo ponto $(10, -2)$, escreva a equação explícita da função linear que as relaciona.

Determine o coeficiente angular da reta cuja equação geral é $4x - 5y + 20 = 0$. Em seguida, escreva a sua equação na forma explícita.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(-2,5; 3,2)$ e $B(1,5; -4,8)$.

Dadas as retas $r: ax + 3y - 6 = 0$ e $s: 2x - by + 4 = 0$, determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ sabendo que a reta $r$ tem um coeficiente angular $m = 2$ e que ambas as retas são estritamente paralelas.

Escreva a equação de uma reta paralela a $y = -\frac{3}{4}x + 2$ que passe pelo ponto $(-8, 5)$.

Verifique analiticamente se os pontos $A(-2, 5)$, $B(1, -1)$ e $C(5, -9)$ estão alinhados calculando e comparando os coeficientes angulares dos segmentos que os unem.

Para verificar se três parcelas agrícolas cujos acessos estão situados num mapa cadastral nos pontos $A(-2, -5)$, $B(2, 1)$ e $C(6, 7)$ ficam perfeitamente alinhadas ao longo de um canal de irrigação retilíneo, dois técnicos propõem métodos distintos:

• Método da Laura: Calcula o coeficiente angular do segmento entre $A$ e $B$, depois o coeficiente angular do segmento entre $B$ e $C$, e verifica se ambos coincidem.

• Método do Carlos: Determina a equação reduzida da reta que une $A$ e $B$ ($y = mx + n$) e depois verifica se as coordenadas de $C$ satisfazem essa igualdade.

1. a) Resolva o problema aplicando passo a passo o método da Laura e determine se os pontos estão alinhados.
2. b) Resolva o mesmo problema aplicando o método do Carlos para confirmar o resultado.
3. c) Analise ambos os procedimentos: qual dos dois métodos é mais eficiente e conveniente se um topógrafo precisasse verificar o alinhamento de uma série de dez parcelas consecutivas? Justifique a sua escolha avaliando a carga de cálculo de cada opção.

Uma torneira enche um reservatório a uma taxa de $3$ litros por minuto. Se inicialmente havia $10$ litros no reservatório, qual é o coeficiente angular da função que relaciona o volume de água com o tempo decorrido?

No serviço de táxi de uma capital brasileira regulada por tarifas urbanas oficiais, a bandeirada custa $2,40$ reais (quantia fixa obrigatória por iniciar o trajeto) e o preço por cada quilômetro percorrido é de $1,25$ reais.

1. a) Escreva a equação da função afim $y = mx + n$ que relaciona o custo final da viagem ($y$, em reais) em função dos quilômetros percorridos ($x$).
2. b) Identifique o valor do coeficiente angular $m$ e redija uma frase explicando que significado físico e econômico tem esse número no contexto da viagem.
3. c) Um usuário afirma: «Se por um percurso de $4$ km paguei $7,40$ reais, por percorrer o dobro ($8$ km) pagarei exatamente o dobro, $14,80$ reais». Use o coeficiente angular e o coeficiente linear para justificar matematicamente por que razão esta afirmação é falsa.

Um avião desce a uma velocidade constante para pousar. Aos $10$ minutos de iniciar a manobra, ele se encontra a $8000$ metros de altitude, e aos $25$ minutos está a $3500$ metros. Calcule o coeficiente angular da função que relaciona a altitude com o tempo e interprete o seu significado neste contexto.

Uma empresa de aluguel de bicicletas cobra uma tarifa fixa inicial mais um preço por hora de uso. Se alugar uma bicicleta durante $2$ horas custa $14$ reais e alugá-la durante $5$ horas custa $26$ reais, encontre o coeficiente angular da função de custo e explique o que esse valor representa no contexto do problema.

Segundo registros meteorológicos do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) numa zona montanhosa do país, a uma altitude de $500$ m acima do nível do mar registra-se uma temperatura de $19$ ºC, enquanto numa estação situada a $2000$ m a temperatura desce até $10$ ºC.

1. a) Antes de fazer cálculos formais, estime de forma fundamentada o sinal do coeficiente angular e preveja se a temperatura cairá mais ou menos de $1$ ºC a cada $100$ m de subida.
2. b) Supondo uma variação linear, calcule o coeficiente angular $m$ da função que expressa a temperatura ($y$, em ºC) em função da altitude ($x$, em metros).
3. c) Verifique se a sua estimativa prévia estava correta, expresse o coeficiente angular como variação a cada $100$ m e interprete o que significaria fisicamente na atmosfera se o coeficiente angular fosse $m = 0$.

Deseja-se desenhar no plano cartesiano uma reta $r$ cujo coeficiente angular fixo seja $m = -1,5$, mas vários dos seus elementos de partida são desconhecidos.

1. a) Sabendo que a reta $r$ deve passar obrigatoriamente pelo ponto $A(2, 4)$, faça o procedimento inverso para determinar o seu coeficiente linear $n$ e escreva a sua equação reduzida $y = mx + n$.
2. b) Formule e resolva uma equação baseada na definição de coeficiente angular para encontrar a coordenada horizontal desconhecida de um ponto $B(x_B, -2)$ que pertença a essa reta.
3. c) Escreva a equação geral de outra reta $s$ que seja paralela a $r$ e cujo coeficiente linear seja o triplo do de $r$, justificando como você utiliza a condição de paralelismo.

Uma mola se estica proporcionalmente à força aplicada (Lei de Hooke). Ao pendurar um peso de $2$ kg, o comprimento total da mola é de $15$ cm. Ao pendurar um peso de $5$ kg, seu comprimento total é de $21$ cm. Calcule o coeficiente angular da função que relaciona o comprimento com o peso, escreva sua equação geral e indique qual é o comprimento da mola em repouso (sem peso).

No gráfico a seguir é mostrada a viagem de um trem de carga que faz um trajeto de ida, realiza uma parada e volta ao seu ponto de origem. Calcule o coeficiente angular em cada um dos três trechos e interprete o resultado como velocidade (em km/h).

O valor de uma máquina industrial se deprecia linearmente com o tempo. Ela foi comprada nova por um valor de $45000$ reais e, após $6$ anos, foi avaliada em $18000$ reais. Calcule o coeficiente angular da função valor-tempo, determine em que ano a máquina perderá teoricamente todo o seu valor e escreva a representação analítica da função.

Um reservatório industrial contém $1200$ litros de água e começa a esvaziar em um ritmo constante. Se o coeficiente angular da função que relaciona o volume de água restante (em litros) com o tempo decorrido (em horas) é $m = -40$, encontre quanto tempo levará para o reservatório ficar exatamente com um quarto de sua capacidade máxima inicial.

De acordo com os relatórios da Direção-Geral da Água do Ministério para a Transição Ecológica e o Desafio Demográfico (MITECO), no início do verão (semana $0$) um reservatório de uma bacia hidrográfica do sul da península acumulava $360$ hm³ de água. Após $15$ semanas consecutivas de calor e sem chuva, o volume desceu de forma constante até os $210$ hm³ devido ao consumo e à evaporação.

1. a) Modele a evolução da reserva de água ($y$, em hm³) em função das semanas decorridas ($x$) por meio de uma função afim. Calcule o coeficiente angular $m$ e interprete o seu sinal e as suas unidades em termos de taxa de variação semanal.
2. b) O protocolo de seca declara a fase de emergência quando o reservatório desce abaixo dos $100$ hm³. Determine, justificando, em que semana essa fase seria atingida se as condições não se alterassem.
3. c) Na mesma bacia, um segundo reservatório vizinho tinha na semana $0$ um volume de $270$ hm³. Sabendo que a reta que descreve o seu esvaziamento é paralela à do primeiro reservatório, explique que significado prático tem esse paralelismo em relação ao seu ritmo de perda de água e justifique, sem necessidade de calcular a equação completa do segundo reservatório, qual dos dois entrará primeiro em fase de emergência.

Demonstre algebricamente que a Taxa de Variação Média (T.V.M.) da função linear $f(x) = mx + n$ em qualquer intervalo genérico $[a, b]$ é sempre constante e igual ao seu coeficiente angular $m$.

Uma reta com coeficiente angular $m = -\frac{2}{3}$ forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo no primeiro quadrante. Se a área desse triângulo é de $27$ unidades quadradas, encontre a equação explícita da reta.