Raízes e potências de expoente racional

Escreva os seguintes radicais como potências de expoente fracionário: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.

Escreva em forma de radical as seguintes potências de expoente fracionário: $m^{2/3}$, $5^{1/4}$, $y^{-3/2}$.

Num exame do 4.º ano do ESO, o Marcos tem de expressar vários radicais como potências. Ao chegar à expressão $\sqrt[3]{7^2}$, escreve na sua folha:

Quando o professor lhe pergunta por que razão resolveu assim, o Marcos argumenta: «O 3 é o primeiro número que se lê ao dizer raiz cúbica, por isso tem de ficar no numerador da fração do expoente».

1. a) Explica de forma fundamentada qual é o erro conceptual do Marcos, relembrando que relação existe entre o índice de uma raiz e o expoente fracionário ao elevar a expressão a esse índice.
2. b) Corrige a igualdade do Marcos escrevendo a potência de expoente fracionário que corresponde de facto a $\sqrt[3]{7^2}$.
3. c) Aplica a regra correta para calcular o valor numérico exato de $\sqrt[3]{64^2}$, calculando primeiro a raiz do radicando e elevando depois o resultado.

Calcule o valor numérico exato das seguintes potências de expoente racional sem utilizar a calculadora: $27^{1/3}$, $16^{3/4}$, $25^{-1/2}$.

Calcule a potência da raiz passando a expressão para expoente fracionário e aplicando as propriedades das potências: $(\sqrt[5]{2})^3$.

Um reservatório em forma de cubo contém exatamente $120$ litros de água quando está completamente cheio. Escreva o comprimento de sua aresta interna em decímetros utilizando uma potência de expoente fracionário.

Simplifique os seguintes radicais escrevendo-os primeiro como potência de expoente fracionário e reduzindo a fração obtida: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$, $\sqrt[12]{a^8}$.

Reduza ao mesmo índice e ordene do menor para o maior os seguintes números, convertendo previamente cada radical em potência de expoente racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$.

Dois estudantes do 4.º ano do ESO, a Lucía e o David, têm de simplificar e obter o valor exato da seguinte operação entre radicais:

• A Lucía decide trabalhar diretamente com radicais: procura o mínimo múltiplo comum dos índices para os reduzir a um índice comum ($6$) e opera dentro de uma única raiz.

• O David decide transformar tudo em potências: decompõe o radicando em fatores primos ($16 = 2^4$), expressa cada raiz como uma potência de base $2$ com expoente fracionário e soma os expoentes.

1. a) Resolve a operação passo a passo seguindo o método de radicais da Lucía até obteres o valor numérico final.
2. b) Resolve a operação passo a passo seguindo o método de expoentes fracionários do David até obteres o mesmo valor numérico.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual dos dois métodos consideras mais direto ou menos propenso a cometer erros quando os radicandos são potências de uma mesma base? Justifica a tua resposta.

Efetue a seguinte multiplicação escrevendo previamente os radicais como potências de expoente fracionário. Dê o resultado final na forma de radical: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$.

Efetue a seguinte divisão escrevendo os termos na forma de potência de expoente racional e simplifique o resultado: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a}}$.

Escreva a seguinte operação como uma única potência de expoente racional: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} : x^{1/4}$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica efetuando as operações com expoentes fracionários e escreva o resultado final sem expoentes negativos nem fracionários: $\left( \frac{x^{-1/2} \cdot y^{2/3}}{x^{1/3} \cdot y^{-1/6}} \right)^6$.

Efetue a seguinte operação combinada convertendo previamente todos os radicais em potências de expoente racional de base $3$. Simplifique o resultado e escreva-o na forma de radical: $\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$.

Efetue as operações e simplifique ao máximo a seguinte expressão, utilizando as propriedades das potências de expoente racional: $\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a}}$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica efetuando as operações de dentro para fora e usando potências de expoente racional. Escreva o resultado como uma única potência de base $x$: $\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^{-1}}}}$.

Demonstre que a propriedade dos radicais $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ é verdadeira utilizando exclusivamente a definição de raiz como potência de expoente racional e as propriedades das potências.

Uma equipe de programação educativa está concebendo um simulador matemático. O sistema deve transformar qualquer número real positivo $x$ no resultado exato $x^{5/6}$. No entanto, o processador gráfico só permite encadear duas raízes consecutivas com potências internas, respeitando a estrutura:

onde os parâmetros $a, b, c, d$ devem ser números inteiros positivos, com índices de raiz válidos ($a \ge 2$ e $c \ge 2$).

1. a) Expresse a estrutura completa como uma única potência de base $x$ e deduza a equação que os parâmetros $a, b, c, d$ devem satisfazer para que o resultado coincida exatamente com $x^{5/6}$.
2. b) Encontre duas combinações de valores numéricos inteiros completamente distintas para $(a, b, c, d)$ que cumpram todas as condições impostas pelo processador.
3. c) Um programador iniciante afirma que, se forem trocados os dois índices das raízes ($a$ por $c$) e os dois expoentes ($b$ por $d$), o resultado final do algoritmo mudará. Demonstre formalmente, utilizando as propriedades das potências de expoente racional e do produto, se o programador tem razão ou está enganado.

Simplifique a seguinte expressão algébrica colocando em evidência o fator comum de menor expoente (utilizando potências de expoente racional): $x^{5/2} - x^{3/2}$. Em seguida, determine o valor numérico da expressão simplificada para $x = 4$.

Racionalize a expressão $\frac{2a}{\sqrt[5]{a^2}}$ interpretando a fração como um quociente de potências de expoente racional. Mostre todos os passos utilizando as propriedades dos expoentes e expresse o resultado final na forma de radical.

Resolva a seguinte equação exponencial. Para isso, expresse previamente ambos os membros da equação como potências de base $5$ com expoente racional: $\sqrt[3]{5^{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{5^{x+2}}}$.

No Parque Nacional de Doñana, a equipe veterinária que realiza o monitoramento do lince-ibérico utiliza a lei alométrica de Kleiber para estimar a taxa metabólica basal $B$ (a energia mínima diária em repouso de que o animal necessita para viver, medida em quilocalorias por dia) em função de sua massa corporal $M$ (em quilogramas):

1. a) Expresse a fórmula de $B$ substituindo a potência de expoente fracionário por sua expressão equivalente na forma de radical.
2. b) Para calcular a energia basal de um lince jovem de $M = 16\text{ kg}$, um voluntário propõe calcular primeiro $16^3 = 4096$ e depois tentar extrair a raiz quarta $\sqrt[4]{4096}$, enquanto uma técnica veterinária propõe calcular primeiro $\sqrt[4]{16}$ e depois elevar esse valor ao cubo. Calcule o valor final de $B$ seguindo o procedimento da técnica e justifique por que o método dela é muito mais conveniente para fazer o cálculo à mão, sem calculadora.

Nos programas de especialização do Centro de Alto Rendimento (CAR) esportivo de Madri, aplica-se um modelo biomecânico de escala para estimar o índice de força relativa $F$ de um halterofilista júnior em função da sua massa corporal $M$ (em quilogramas):

Durante a sua fase de formação, o atleta passa de uma massa inicial de $27\text{ kg}$ para $64\text{ kg}$ após várias temporadas de treino.

1. a) Estime e raciocine antes de operar: a massa corporal do atleta multiplicou-se por mais de dois ($64/27 \approx 2,37$). Considerando que o expoente fracionário é menor do que $1$ ($2/3 < 1$), você espera que a força relativa $F$ dele duplique, aumente para mais do dobro ou aumente para menos do dobro? Justifique a sua dedução.
2. b) Transforme a fórmula para a forma radical e calcule com exatidão o valor de $F$ para $M = 27\text{ kg}$ e para $M = 64\text{ kg}$, detalhando cada passo.
3. c) Verifique se a sua estimativa do item a) estava correta calculando o quociente entre ambas as forças ($F_{64}/F_{27}$) e explique brevemente por que razão os esportes de força se dividem em categorias de peso tão rigorosas.

A superfície corporal $S$ e o volume $V$ de um mamífero estão relacionados de forma aproximada pela lei alométrica $S = k \cdot V^{2/3}$, onde $k$ é uma constante. Se um elefante tem um volume $1\,000$ vezes maior do que o de um cão de porte médio, quantas vezes maior será a superfície corporal do elefante em relação à do cão? Justifique sua resposta passo a passo usando as propriedades das potências.

O período $T$ (em segundos) de um pêndulo simples de comprimento $L$ (em metros) é dado pela fórmula $T = 2\pi \cdot \left(\frac{L}{g}\right)^{1/2}$, onde $g$ é a aceleração da gravidade. Se quisermos que o período de oscilação seja multiplicado por $3$, por qual fator deve ser multiplicado o comprimento do pêndulo? Justifique sua resposta utilizando as propriedades das potências.

A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital $T$ de um planeta é proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita $R$. Escreva $T$ em função de $R$ e da constante de proporcionalidade $k$, utilizando expoentes fracionários. Se o raio da órbita de Júpiter é aproximadamente $5,2$ vezes o raio da órbita da Terra, quantos anos terrestres Júpiter leva para dar uma volta completa ao redor do Sol?

Na teoria da relatividade especial, o fator de Lorentz é definido pela expressão $\gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$, onde $v$ é a velocidade da nave e $c$ a velocidade da luz. Expresse essa fórmula utilizando a notação de radicais e frações. Em seguida, calcule o valor exato de $\gamma$ na forma de fração simplificada se uma nave viaja a uma velocidade $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

Em uma cultura de laboratório, a massa de um fungo é modelada pela expressão $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, onde $t$ é o tempo decorrido em dias. Se a massa inicial é de $15$ gramas, calcule a massa do fungo após $6$ dias e escreva-a na forma de radical para o instante $t = 4$ dias.

Em economia, se um capital cresce a uma taxa de juros compostos anual $r$, o capital final após $t$ anos é calculado com a fórmula $C = C_0 (1+r)^t$. Calcule o capital final se forem investidos $2\,000$ reais a $5$ % de juros anuais durante $18$ meses (escreva o tempo como uma fração de ano e deixe a operação indicada com expoente racional).

O Instituto Español de Oceanografía (IEO) monitora o crescimento do mexilhão nas plataformas de cultivo da ria de Arousa (Galiza). Para estimar a massa comercial de carne $M$ (em gramas) a partir do comprimento total da concha $L$ (em centímetros), os biólogos utilizam o modelo alométrico:

1. a) Converta o expoente decimal $2,5$ em uma fração irredutível e escreva a fórmula completa utilizando um único radical simplificado.
2. b) Um produtor afirma que, se um mexilhão adulto medir quatro vezes o comprimento de uma cria ($L_{\text{adulto}} = 4 \cdot L_{\text{cria}}$), a sua massa também será quatro vezes maior. Demonstre algebricamente, aplicando as propriedades das potências de expoente racional, por qual fator exato a massa se multiplica ao quadruplicar o comprimento da concha.
3. c) Calcule a massa exata prevista pelo modelo para um exemplar pequeno de $L = 4\text{ cm}$ e para um grande de $L = 9\text{ cm}$, mostrando os passos intermediários com raízes e potências inteiras antes de operar com o fator $0,25$. A partir dos resultados e da relação entre medidas lineares (1D) e volumes (3D), justifique de forma fundamentada por que nos seres vivos a massa aumenta a um ritmo muito superior ao do seu comprimento.