Funções contínuas. Descontinuidades

Uma função definida por partes é dada pela seguinte expressão:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcule o valor da função em $x=1$ e os limites laterais quando $x$ tende a 1. A função é contínua nesse ponto? Se não for, classifique a descontinuidade.

Observe o seguinte gráfico da função $f(x)$ e determine em que pontos do seu domínio ela apresenta alguma descontinuidade. Classifique cada uma delas indicando se é uma descontinuidade removível, de salto finito ou de salto infinito.

Observe o gráfico da função $g(x)$ e responda às seguintes questões:

1. Determine o domínio da função.

2. Identifique os pontos de descontinuidade e classifique-os.

3. Escreva o valor dos limites laterais em $x = -1$ e em $x = 3$.

Dada a função racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indique seu domínio de definição e o ponto em que apresenta uma descontinuidade. De que tipo de descontinuidade se trata? Justifique sua resposta estudando o comportamento da função ao redor desse ponto.

Encontre os pontos de descontinuidade da função $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ e indique de que tipo é cada um, analisando se o numerador se anula ou não nesses pontos.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determine seu domínio de definição. Estude analiticamente o tipo de descontinuidade que ela apresenta em $x=1$ e em $x=-1$ calculando os limites laterais correspondentes.

Em um estacionamento de bicicletas de uma cidade, a tarifa é de 2 reais pela primeira hora ou fração, e 1,50 reais por cada hora ou fração adicional. Se representarmos a função que relaciona o tempo de estacionamento contínuo (em horas) com o preço a pagar (em reais), que tipo de descontinuidade o gráfico apresentará nos valores inteiros do tempo ($t=1, 2, 3\dots$)?

Estude a continuidade em $x=0$ da seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Classifique a descontinuidade existente nesse ponto.

Os Correios aplicam diferentes tarifas para o envio nacional de cartas e cartões-postais ordinários em função do peso $x$ (em gramas) do envelope: para pesos de até $20\text{ g}$, a franquia custa $\text{R\$}\ 0,85$; para pesos de mais de $20\text{ g}$ e até $50\text{ g}$, custa $\text{R\$}\ 0,95$; e para pesos de mais de $50\text{ g}$ e até $100\text{ g}$, custa $\text{R\$}\ 1,40$.

1. a) Escreva a função por ramos $P(x)$ que determina o preço do envio para qualquer peso no intervalo $(0, 100]$.
2. b) Estude analiticamente a continuidade da função em $x = 20\text{ g}$. Para isso, calcule $P(20)$, o limite à esquerda $\lim_{x \to 20^-} P(x)$ e o limite à direita $\lim_{x \to 20^+} P(x)$.
3. c) Classifique o tipo de descontinuidade que a função apresenta em $x = 20\text{ g}$ e explique que repercussão prática isso tem para duas pessoas que postam cartas cujos conteúdos pesam exatamente $20\text{ g}$ e $20,1\text{ g}$.

Uma empresa de energia elétrica oferece uma tarifa para pequenas e médias empresas: pagam-se 15 reais fixos mais 0,12 reais por cada kWh consumido, até um máximo de 100 kWh. Se o consumo ultrapassar 100 kWh, a tarifa muda e cobram-se 0,10 reais por TODOS os kWh consumidos (eliminando o custo fixo de 15 reais).

Escreva a função definida por partes que determina o custo total em função dos kWh consumidos. A função é contínua em um consumo exato de 100 kWh? Se não for, indique o tipo de descontinuidade e o "salto" no preço.

Calcule o valor que o parâmetro $k$ deve ter para que a seguinte função seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Determine o valor de $a$ para que a função $f(x) = \frac{x^2+ax-10}{x-2}$ tenha uma descontinuidade removível em $x=2$. Qual seria o valor do limite da função quando $x$ tende a 2 nesse caso concreto?

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja contínua em todo o conjunto dos números reais:

$f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x < -1 \\ x^2 + b & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

O Lucas precisa analisar a continuidade da função $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ no ponto $x = 3$. Na sua prova ele escreve: «Como o denominador se anula em $x = 3$, não se pode dividir por zero; portanto, a função tem obrigatoriamente uma assíntota vertical nesse ponto e apresenta uma descontinuidade de salto infinito».\n\nIdentifique o erro conceitual que o Lucas comete, explique que verificação prévia ele omitiu no numerador, calcule o limite da função quando $x$ tende a $3$ fatorando a expressão e classifique corretamente o tipo de descontinuidade que $f(x)$ apresenta em $x = 3$.

Considere a função definida por $f(x) = \frac{|x+3|}{x+3}$.

Reescreva a função como uma função definida por partes (sem usar o valor absoluto). Em seguida, estude sua continuidade em $x=-3$ e classifique a descontinuidade.

Estude a continuidade da função $f(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ no ponto $x=0$. Para isso, multiplique numerador e denominador pela expressão conjugada do numerador, calcule o limite quando $x$ tende a 0 e classifique a descontinuidade resultante.