Ângulo central e ângulo inscrito
Numa praça circular, o palco fica de um lado e o público se espalha pela borda. Quem está mais à esquerda e quem está mais à direita enxergam o palco sob o mesmo ângulo? Neste apartado você vai descobrir por quê, e não só que isso acontece: vai demonstrar.
Arco, ângulo central e ângulo inscrito
Dois pontos $A$ e $B$ sobre uma circunferência de centro $O$ dividem a circunferência em dois arcos. Para falar de um deles, escolhemos o arco que fica "dentro" do ângulo que estamos olhando.
Os dois ângulos da figura "enxergam" o mesmo arco $AB$, aquele de baixo. Será que existe uma relação entre eles? Experimente.
O inscrito é a metade do central
Medir em muitas figuras dá confiança, mas não prova nada: pode haver uma figura em que falhe. Para demonstrar, usamos o que já sabemos: a soma dos ângulos de um triângulo é $180^\circ$ e o ângulo externo é a soma dos dois internos não adjacentes.
Demonstração no caso em que o centro $O$ está sobre um dos lados, por exemplo $\overline{CB}$ é um diâmetro.
Se o centro $O$ está dentro do ângulo inscrito, traçamos o diâmetro que passa por $C$ e aplicamos o caso acima duas vezes, somando os resultados. Se $O$ está fora, subtraímos. O resultado vale sempre.
Numa circunferência de centro $O$, os pontos $A$, $B$ e $C$ estão sobre a circunferência, com $C$ no arco maior determinado por $A$ e $B$. O ângulo central $A\hat{O}B$ e…
Numa circunferência de centro $O$, os pontos $A$, $B$ e $C$ estão sobre a circunferência, com $C$ no arco maior determinado por $A$ e $B$. O ângulo central $A\hat{O}B$ e o ângulo inscrito $A\hat{C}B$ subentendem o mesmo arco $AB$. A turma de Beatriz mediu os dois ângulos em várias figuras e quer verificar a conjectura de que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central.
- a) Numa figura, o ângulo central mede $80^\circ$. Se a conjectura é verdadeira, quanto deve medir o ângulo inscrito?
- b) Noutra figura, o ângulo central mede $130^\circ$ e o ângulo inscrito medido foi $65^\circ$. A medida confirma a conjectura? Justifique.
- c) Numa terceira figura, o ângulo inscrito mede $42^\circ$. Quanto deve medir o ângulo central correspondente?
- d) Um aluno mediu ângulo central $100^\circ$ e ângulo inscrito $60^\circ$. Explique por que essa medição está certamente errada.
Ângulo inscrito na semicircunferência
Um caso especial muito útil: o arco é uma meia circunferência.
Usando a propriedade de que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central que subentende o mesmo arco, deduza um resultado clássico: todo ângulo inscrito numa…
Usando a propriedade de que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central que subentende o mesmo arco, deduza um resultado clássico: todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
- a) Seja $\overline{AB}$ um diâmetro de uma circunferência de centro $O$. Quanto mede o ângulo central $A\hat{O}B$? Justifique.
- b) Seja $C$ um ponto qualquer da circunferência, distinto de $A$ e de $B$. Aplique a relação entre ângulo inscrito e ângulo central para concluir quanto mede o ângulo $A\hat{C}B$.
- c) Conclua que o triângulo $ABC$ é retângulo e indique qual lado é a hipotenusa.
- d) Aplique o resultado: um carpinteiro quer verificar se um arco de madeira é uma semicircunferência perfeita. Ele escolhe um ponto do arco e mede o ângulo sob o qual se veem as duas extremidades. Se o arco é uma semicircunferência, quanto deve medir esse ângulo? Justifique.
Ângulos inscritos no mesmo arco
Voltemos à praça. O palco é a corda $\overline{AB}$ e os espectadores $P$ e $Q$ estão no mesmo arco maior.
Numa praça circular de Pelotas, o palco ocupa uma corda $\overline{AB}$ da circunferência que delimita a área do público. Dois espectadores estão nos pontos $P$ e $Q$,…
Numa praça circular de Pelotas, o palco ocupa uma corda $\overline{AB}$ da circunferência que delimita a área do público. Dois espectadores estão nos pontos $P$ e $Q$, ambos sobre o mesmo arco (o arco maior determinado por $A$ e $B$). O organizador afirma que os dois veem o palco sob o mesmo ângulo. Demonstre essa afirmação.
- a) Escreva, em função do ângulo central $A\hat{O}B$, a medida do ângulo inscrito $A\hat{P}B$, justificando com a relação entre ângulo inscrito e ângulo central sobre o mesmo arco.
- b) Faça o mesmo para o ângulo inscrito $A\hat{Q}B$.
- c) Conclua que $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$ e enuncie o resultado geral: ângulos inscritos que subentendem o mesmo arco são...
- d) Se o ângulo central do palco é $A\hat{O}B = 70^\circ$, sob que ângulo cada espectador vê o palco?
Vale a pena verificar tudo isso num software de geometria dinâmica, como o GeoGebra: arraste o ponto $C$ sobre a circunferência e observe que $A\hat{C}B$ não muda.
Resumo
Volte ao começo: dois espectadores no mesmo arco da praça enxergam o palco sob o mesmo ângulo, pois ambos medem a metade do ângulo central de $\overline{AB}$.