Números naturais

Calcule o resultado da seguinte expressão combinada com números naturais, respeitando a hierarquia das operações:

$15 - 3 \cdot (4 + 2) + 2^3 \cdot 5$

Em uma divisão inteira de números naturais, o divisor é $14$, o quociente é $23$ e o resto é $5$. Calcule o valor do dividendo.

Uma escola de Sevilla organiza uma visita de estudo de final de curso ao Parque Nacional de Doñana para $146$ estudantes do 4.º ano do ESO e professores acompanhantes. Para a deslocação, contratam miniautocarros de uma empresa andaluza que dispõem de $24$ lugares cada um.

1. a) Modela esta situação através da relação fundamental da divisão inteira ($D = d \cdot c + r$), identificando que grandeza real do problema representa o dividendo ($D$), o divisor ($d$), o quociente ($c$) e o resto ($r$).
2. b) Realiza a divisão inteira e interpreta quantos miniautocarros viajarão completamente cheios e quantos passageiros ocuparão o miniautocarro que não vai completo.
3. c) Raciocina quantos miniautocarros no total a escola deve contratar para que ninguém fique sem viajar e calcula quantos lugares livres restarão no último veículo.

O cometa Halley orbita ao redor do Sol e é visível a partir da Terra aproximadamente a cada $76$ anos. Sua última aparição registrada foi no ano $1986$. Será visível no ano $3050$? Em caso negativo, qual será o ano mais próximo de $3050$ em que poderá ser observado?

Em uma divisão inteira entre números naturais, o divisor é $d = 18$ e sabe-se que o resto obtido é exatamente o triplo do quociente ($r = 3 \cdot c$). O quociente é um número natural não nulo ($c \ge 1$).

1. a) Levando em conta a condição obrigatória da divisão inteira que exige que $0 \le r < d$, determine de forma fundamentada todos os possíveis valores que o quociente $c$ pode assumir.
2. b) Para cada um dos valores válidos de $c$, reconstrua e calcule o dividendo $D$ correspondente utilizando a relação $D = d \cdot c + r$.
3. c) Um colega de turma afirma que, se o dividendo fosse $D = 126$, o resto seria $r = 18$. Explique por que essa afirmação é matematicamente impossível em uma divisão inteira, de acordo com as propriedades do resto.

Na Espanha, a letra de controle do Documento Nacional de Identidad (DNI) é obtida por meio de um algoritmo matemático oficial do Ministério do Interior: toma-se o número natural de 8 algarismos do DNI ($D$) e divide-se por $23$. O resto dessa divisão inteira ($r$) determina a letra atribuída de acordo com uma tabela fixa de 23 caracteres oficiais (onde $0$ corresponde a T, $1$ a R, ..., e $22$ a E).

1. a) Com base na relação fundamental da divisão inteira ($D = 23 \cdot c + r$), justifique matematicamente por que razão a tabela oficial deve ter exatamente 23 letras distintas e por que motivo é impossível que a um DNI corresponda um resto igual ou superior a 23.
2. b) Duas irmãs gêmeas de Zaragoza têm números de DNI consecutivos: o da Sofia é $D$ e o da Elena é $D + 1$. Se o DNI da Sofia der um resto $r = 14$, deduza qual será o resto do DNI da Elena e raciocine se ambas terão a mesma letra ou letras distintas.
3. c) Suponha que o número de DNI de outra pessoa produz exatamente um resto $r = 22$. Se considerarmos a pessoa com o número imediatamente seguinte ($D + 1$), deduza qual será o seu resto e explique detalhadamente o que acontece com o quociente $c$. Relacione essa alteração com o conceito de «formar um novo grupo completo» explicado nas anotações.

Simplifique a seguinte expressão utilizando as propriedades das potências e expresse o resultado como uma única potência:

$2^4 \cdot 5^4 \cdot 10^2$

Numa aula do 4.º ano do ESO, a Lucía tenta calcular rapidamente o resultado da operação $2^4 \cdot 5^4$ para saber quantas combinações tem um cadeado. Escreve no seu caderno:

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^{4+4} = 10^8 = 100\,000\,000$.

A Lucía argumenta: «Como é uma multiplicação de potências, temos de multiplicar as bases e devemos sempre somar os expoentes».

1. a) Encontra e explica com clareza o erro conceptual de raciocínio cometido pela Lucía, indicando que duas propriedades distintas das potências ela misturou incorretamente.
2. b) Corrige o cálculo aplicando a propriedade adequada para potências com o mesmo expoente ($a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$) e encontra o resultado final exato sem necessidade de calcular $2^4$ nem $5^4$ separadamente.

Utilize a decomposição em fatores primos e as propriedades das potências para simplificar ao máximo a seguinte expressão, dando o resultado como um número natural:

$\frac{18^3 \cdot 12^4}{24^2 \cdot 9^4}$

Observe o comportamento das potências de $7$ ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, ...). Utilize o padrão seguido pelos algarismos das unidades para determinar qual será o último algarismo do número $7^{2025}$.

Para calcular o valor numérico da expressão $\frac{6^5 \cdot 5^5}{15^4 \cdot 2^4}$, três estudantes do 4.º ano do ESO propõem estratégias distintas:

• O Aitor propõe calcular o valor desenvolvido de cada potência ($6^5 = 7776$, $5^5 = 3125$, etc.), multiplicar os numeradores e os denominadores e, finalmente, dividir os dois números resultantes.

• A Bea propõe decompor as bases em fatores primos ($6 = 2 \cdot 3$ e $15 = 3 \cdot 5$), aplicar as propriedades das potências com a mesma base para agrupar os fatores $2$, $3$ e $5$, e simplificar subtraindo expoentes.

• O Carlos propõe observar que no numerador ambas as potências partilham o expoente $5$ e no denominador ambas partilham o expoente $4$, de modo que agrupa as bases: $(6 \cdot 5)^5$ no numerador e $(15 \cdot 2)^4$ no denominador.

1. a) Desenvolve passo a passo a resolução completa seguindo o método da Bea e seguindo o método do Carlos até obteres o resultado final natural.
2. b) Compara os três métodos argumentando vantagens e desvantagens de cada um no que diz respeito ao tempo, à dificuldade de cálculo manual e à probabilidade de cometer erros.
3. c) Justifica qual é o método mais eficiente para este caso concreto e raciocina por que razão o método do Aitor se tornaria totalmente inviável se os expoentes fossem $50$ e $40$ em vez de $5$ e $4$.

Calcule o valor exato da seguinte operação com raízes de números naturais:

$\sqrt{144} + \sqrt[3]{125} - \sqrt[4]{16}$

Um agricultor quer plantar $1000$ macieiras formando uma grade perfeita (um quadrado com o mesmo número de árvores em cada linha e em cada coluna). Quantas árvores formarão o lado do maior quadrado possível? Quantas macieiras sobrarão sem plantar?

Uma cooperativa agrícola de Santa Cruz do Rio Pardo (São Paulo) prepara caixas quadradas de laranjas selecionadas para exportação. Cada camada da caixa contém uma grade de $n \times n$ frutos formando um quadrado perfeito. O encarregado dispõe de um lote de $500$ laranjas recém-colhidas e quer formar a maior camada quadrada possível. Antes de fazer contas, estima "a olho" que o lado da grade terá entre $30$ e $35$ laranjas.

1. a) Estime de forma fundamentada entre quais dezenas inteiras consecutivas deve se situar o número de laranjas por lado, sabendo que $20^2 = 400$ e $30^2 = 900$. A partir disso, avalie se a previsão do encarregado é razoável ou se está superestimada.
2. b) Verifique, calculando os quadrados dos números naturais pertinentes, qual é o maior quadrado perfeito menor ou igual a $500$, deduzindo quantas laranjas por lado a caixa terá.
3. c) Calcule quantas laranjas sobram do lote de $500$ e quantas faltariam para completar o próximo quadrado perfeito. Verifique que a soma dessas duas quantidades coincide com a diferença teórica entre dois quadrados consecutivos ($2n + 1$).

Um mosaico quadrado é formado por azulejos quadrados de $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$. O artista decide ampliar o mosaico adicionando mais uma linha e uma coluna de azulejos nas bordas para formar um quadrado maior. Se para essa ampliação foram necessários $41$ azulejos novos, quantos azulejos formavam o mosaico original?

Em um restaurante é oferecido um menu composto por $3$ primeiros pratos, $4$ segundos pratos e $2$ sobremesas diferentes. Quantas combinações diferentes de menu (primeiro prato, segundo e sobremesa) podem ser escolhidas?