Juros compostos e variação percentual

Escreva o fator de variação que corresponde a cada uma destas variações percentuais:

1. a) Um aumento de $25\ \%$.

1. b) Uma diminuição de $15\ \%$.

1. c) Um aumento de $3\ \%$.

1. d) Uma diminuição de $60\ \%$.

1. e) Um aumento de $130\ \%$.

Qual aumento ou diminuição percentual corresponde a cada um destes índices de variação?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Aplique o índice de variação correspondente para calcular o valor final:

1. a) Um ingresso de festival que custa $\text{R\$}\ 80$ aumenta $15\ \%$.

1. b) Um tênis de $\text{R\$}\ 64$ tem um desconto de $25\ \%$.

1. c) O aluguel de $\text{R\$}\ 950$ por mês de um local aumenta $4\ \%$.

As porcentagens podem ser maiores que $100\ \%$:

1. a) A população de um bairro novo aumentou $150\ \%$ em dez anos. Qual é o índice de variação? Se havia $1.200$ moradores, quantos há agora?

1. b) A reserva de pontos de um clube triplicou. A que aumento percentual isso equivale?

1. c) É o mesmo «aumentar $200\ \%$» que «dobrar»? Justifique a resposta com um exemplo.

As porcentagens também podem ser menores que $1\ \%$:

1. a) Uma instituição cobra uma comissão de $0,3\ \%$ por cada transferência urgente. Quanto ela cobra por uma transferência de $\text{R\$}\ 4.500$?

1. b) Em uma piscina olímpica de $2.500.000\ \text{L}$ de água, $0,02\ \%$ corresponde à água que é renovada diariamente para adição de cloro e equilíbrio químico. Quantos litros são?

1. c) Expresse $0,5\ \%$ como fator de variação e como fração.

Após aplicar um desconto de $25\ \%$, um casaco custa $\text{R\$}\ 54$.

1. a) Qual é o fator de variação do desconto?

1. b) Calcule o preço inicial dividindo pelo fator de variação.

1. c) Verifique o resultado aplicando o desconto ao preço inicial obtido.

A fatura bimestral da água de uma família subiu $5\ \%$ devido a uma sobretaxa extraordinária por seca, atingindo um valor final de $\text{R\$}\ 42$.

1. a) Antes de efetuar operações complexas, faça uma estimativa mental: o preço antes da subida era de aproximadamente $\text{R\$}\ 40$, $\text{R\$}\ 35$ ou menos? Justifique a sua resposta calculando mentalmente quanto representaria um aumento de $5\ \%$ sobre $\text{R\$}\ 40$.
2. b) Escreva o fator multiplicativo de variação associado ao aumento e calcule o preço original exato dividindo o valor final por esse fator.
3. c) Verifique se o resultado exato valida a sua estimativa. Se dos $\text{R\$}\ 42$ finais você subtraísse diretamente os $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$), obteria o preço original? Realize a verificação numérica e fundamente por que razão não coincidem.

Numa loja de roupas em período de liquidação, um casaco custa inicialmente $\text{R\$}\ 90$. Na primeira semana é aplicado a ele um desconto de $20\ \%$, e na segunda semana é aplicado um desconto adicional de $15\ \%$ sobre o preço que já tinha sido reduzido.

O Marcos calcula o preço final somando ambas as porcentagens: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$, de modo que aplica um único fator multiplicativo de variação de $1 - 0,35 = 0,65$ e afirma que o casaco custa $90 \cdot 0,65 = \text{R\$}\ 58,50$.

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual do Marcos. Sobre que quantia o segundo desconto deve ser aplicado na realidade?
2. b) Escreva os fatores multiplicativos de variação de cada redução e calcule, por meio de fatores encadeados, o preço final correto do casaco.
3. c) Sem se concentrar apenas no número obtido, explique por que o preço real resulta mais caro do que aquele que o Marcos calculou.

Uma loja aumenta o preço de seus produtos em $20\ \%$ e, um mês depois, dá um desconto de $20\ \%$.

1. a) Um fone de ouvido custava inicialmente $\text{R\$}\ 50$. Quanto custa após o aumento? E após o desconto?

1. b) Calcule o índice de variação total multiplicando os índices de cada variação.

1. c) Os preços voltaram ao valor inicial? Qual foi a variação percentual total?

As ações de uma empresa de tecnologia subiram $40\ \%$ no primeiro ano, caíram $30\ \%$ no segundo e subiram $10\ \%$ no terceiro.

1. a) Calcule o índice de variação de cada ano e o índice de variação total dos três anos.

1. b) Se um lote de ações valia $\text{R\$}\ 2.500$ no início, quanto vale ao final do terceiro ano?

1. c) Qual foi a variação percentual total? Por que não coincide com a soma das três porcentagens?

O preço da passagem de transporte de uma cidade caiu $20\ \%$ com um subsídio público.

1. a) Se a passagem individual custava $\text{R\$}\ 1,55$, quanto custa agora?

1. b) Se o subsídio for retirado e o preço voltar ao inicial, qual porcentagem o preço atual deve aumentar para recuperar o original?

1. c) Raciocine, usando índices de variação, por que a resposta não é $20\ \%$, e enuncie a regra geral: após uma queda de $r\ \%$, qual aumento percentual devolve o preço ao inicial?

O preço do prato do dia em um bairro acompanhou a inflação: subiu $6\ \%$ em 2023, $3,5\ \%$ em 2024 e $2\ \%$ em 2025. Em 2022, o prato do dia custava $\text{R\$}\ 11$.

1. a) Calcule o preço do prato do dia no final de cada ano usando índices de variação.

1. b) Qual foi a porcentagem total de aumento do prato do dia nos três anos?

1. c) O salário dos trabalhadores do bairro subiu apenas $9\ \%$ nesse período. Eles ganharam ou perderam poder de compra para pagar o prato do dia? Justifique comparando os índices de variação.

Durante um período de dois anos consecutivos, a inflação na Espanha de acordo com o IPC registrou uma alta de $6\ \%$ no primeiro ano e de $4\ \%$ no segundo ano. Nesse mesmo período, o acordo coletivo da categoria de Irene fixou um reajuste salarial de $5\ \%$ no primeiro ano e de outros $5\ \%$ no segundo ano. A Irene afirma: «Como $5 + 5 = 10\ \%$ e a inflação também soma $6 + 4 = 10\ \%$, o meu poder de compra não se alterou em nada».

1. a) Detecte o erro da Irene. Calcule o fator multiplicativo de variação acumulado dos preços (inflação) e o fator multiplicativo de variação acumulado do salário da Irene após os dois anos.
2. b) O fator multiplicativo de variação do poder de compra define-se como o quociente entre o fator salarial acumulado e o fator de preços acumulado: $I_p = \frac{I_{\text{salário}}}{I_{\text{preços}}}$. Calcule esse valor com quatro casas decimais e deduza a porcentagem exata de poder de compra que a Irene realmente ganhou ou perdeu.
3. c) Se o salário da Irene era de $\text{R\$}\ 1.500$ no início do biênio, calcule o seu salário final após os dois anos. Em seguida, calcule que porcentagem de aumento único se deveria aplicar a esse salário final para recuperar exatamente o poder de compra que ela tinha no início.

Um investidor deposita $\text{R\$}\ 2.000$ em uma aplicação a $4\ \%$ ao ano de juros compostos, ou seja, a cada ano os juros são somados ao capital e também geram juros.

1. a) Em quanto se transforma o capital ao final do primeiro ano?

1. b) E ao final do segundo ano?

1. c) Por que o aumento do segundo ano é maior do que o do primeiro, se a porcentagem é a mesma?

Os avós depositam $\text{R\$}\ 3.000$ em uma conta de poupança a $5\ \%$ ao ano de juros compostos para sua neta.

1. a) Escreva a expressão que dá o capital final ao fim de $4$ anos usando uma potência.

1. b) Calcule o capital final com a calculadora.

1. c) Quantos reais correspondem a juros?

Compare duas formas de investir $\text{R\$}\ 1.000$ durante $3$ anos a $6\ \%$ ao ano, como mostrado na figura:

• Juros simples: a cada ano são gerados os mesmos juros sobre o capital inicial.

• Juros compostos: a cada ano os juros são somados ao capital.

1. a) Calcule o capital final com juros simples.

1. b) Calcule o capital final com juros compostos.

1. c) Qual é a diferença? De onde vem essa diferença?

Um banco oferece uma aplicação de $\text{R\$}\ 1.200$ a $6\ \%$ ao ano com pagamento de juros mensal (juros compostos mensais).

1. a) Qual porcentagem de juros é aplicada a cada mês?

1. b) Escreva a expressão do capital final ao fim de $2$ anos, considerando que há $24$ períodos mensais.

1. c) Calcule o capital final e compare-o com o que seria obtido com pagamento de juros anual: $1.200 \cdot 1,06^2$. Qual é maior?

Uma caderneta de poupança para jovens oferece um juro composto de $3\ \%$ ao ano. Uma pessoa deposita $\text{R\$}\ 1.500$ e decide não mexer no dinheiro durante $4$ anos. Dois estudantes propõem dois caminhos distintos para calcular o capital acumulado no final do período:

• A Ana propõe o método passo a passo: calcular $3\ \%$ de $\text{R\$}\ 1.500$ e somá-lo; ao resultado obtido, calcular novamente $3\ \%$ e somá-lo, repetindo o processo quatro vezes consecutivas.

• A Júlia propõe o método global: formular a expressão do juro composto utilizando o fator multiplicativo de variação: $C_f = 1.500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Demonstre algebricamente que ambos os métodos dão o mesmo resultado colocando o fator comum em evidência nos dois primeiros anos do método da Ana.
2. b) Compare ambos os caminhos: quais são as vantagens e desvantagens de cada um? Se o prazo fosse de $20$ anos, qual você escolheria e por quê?
3. c) Calcule o capital final acumulado e os juros totais recebidos após os $4$ anos utilizando o método que você considerar mais eficiente.

Segundo os dados dos registros do Instituto Nacional de Estatística (INE), um município rural de Zamora contava com $1.200$ habitantes em 1º de janeiro de 2020. Devido ao despovoamento, o seu número de habitantes diminui a um ritmo constante estimado de $4\ \%$ ao ano.

1. a) Escreva a expressão algébrica que modela a população $P(t)$ em função dos anos decorridos $t$ desde 2020, indicando com clareza o fator multiplicativo de variação anual utilizado.
2. b) Utilize o modelo para estimar a população que o município terá em 1º de janeiro de 2024 (arredonde o resultado para o número inteiro de pessoas mais próximo).
3. c) Que porcentagem total de população a localidade terá perdido nesses $4$ anos? Compare essa porcentagem global com a multiplicação direta $4\ \text{anos} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ e fundamente matematicamente por que razão a perda real acumulada é inferior a $16\ \%$.

Dois bancos oferecem um depósito a um ano para $\text{R\$}\ 5.000$:

• Banco A: $4,9\ \%$ anual com pagamento de juros semestral (metade da porcentagem em cada semestre, ou seja, $2,45\ \%$, com juro composto).

• Banco B: $5\ \%$ anual com um único pagamento de juros no final do ano.

1. a) Calcule o capital final no banco A, considerando que se aplica $2,45\ \%$ em cada semestre.

1. b) Calcule o capital final no banco B.

1. c) A TAE (Taxa Anual Equivalente) é a porcentagem anual real que rende um depósito considerando a frequência dos pagamentos. Qual é a TAE de cada oferta? Qual banco é melhor?

Tarefa de decisão. Ana economizou $\text{R\$}\ 900$ trabalhando nos fins de semana e quer guardá-los durante $3$ anos para comprar um computador ao terminar o ensino médio. Compare três opções, como mostrado na figura:

• Opção 1: conta jovem a $2\ \%$ ao ano de juros simples.

• Opção 2: depósito a prazo a $1,8\ \%$ ao ano de juros compostos.

• Opção 3: título público a $2,5\ \%$ ao ano de juros compostos, mas com uma penalização de $\text{R\$}\ 15$ se for retirado antes dos $3$ anos.

1. a) Calcule o capital final de cada opção.

1. b) Quantos reais de diferença existem entre a melhor e a pior opção?

1. c) Ana acha que talvez precise do dinheiro antes dos $3$ anos para um curso de férias. Isso muda a sua recomendação? Justifique a sua decisão.

Uma cooperativa agrícola solicitou um empréstimo de $\text{R\$}\ 8.000$ a ser quitado de uma só vez ao fim de $3$ anos, em um sistema de juro composto anual, para renovar seu equipamento. Ao terminar o prazo de $3$ anos, a cooperativa quita a dívida pagando um total de $\text{R\$}\ 9.528,13$ (capital inicial mais juros acumulados).

1. a) Modele a equação de juro composto na qual a única incógnita seja o fator multiplicativo de variação anual $I_v$.
2. b) Isole $I_v$ utilizando a raiz cúbica e determine a taxa de juro anual nominal $r\ \%$ que a instituição financeira aplicou (arredonde $r$ para o número inteiro).
3. c) Se no contrato tivesse sido estipulada a liquidação dos juros mensalmente em vez de anualmente, com essa mesma taxa $r\ \%$, escreva a expressão completa que permitiria calcular o montante total a devolver após os $36$ meses. Justifique se, com capitalização mensal, a cooperativa pagaria mais ou menos dinheiro do que com a anual.

Desafio do tema. Imagine que você organiza o financiamento de uma cooperativa escolar e deve apresentar um plano econômico realista em uma planilha ou documento digital.

1. Dados reais e variação: Consulta no site do INE o dado oficial de inflação (IPC) homóloga atual. Aplica esta variação percentual para atualizar um orçamento base de $1500$ reais.

2. Modelação direta e inversa: Expressa a função direta do custo de transporte em função da distância ($y = 0,18x$). Depois, com o GeoGebra ou uma folha de cálculo, representa a função de proporcionalidade inversa do custo por associado ao alugar um stand de $360$ reais de acordo com o número de participantes ($y = 360/x$).

3. Divisão e juros: Divide $450$ reais de lucros de forma diretamente proporcional às horas dedicadas por três membros ($10$, $15$ e $25$ horas). Em seguida, compara numa tabela o capital final obtido ao depositar um fundo de $1000$ reais durante $3$ anos a $2,5$ % de juro simples face a juro composto.

4. Proposta final: Redige um relatório justificando que fórmula de poupança é mais conveniente e anexa as tuas tabelas e gráficos.

Será valorizado:

• Precisão matemática nos cálculos de porcentagens, divisões proporcionais e juros.

• Correção técnica na modelagem e na representação gráfica da proporcionalidade inversa.

• Rigor ao integrar o dado real do IBGE e coerência nas conclusões do relatório.