Equações do segundo grau

Para cada uma das seguintes equações do segundo grau, identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$ e indique se é uma equação completa ou incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Verifique, sem resolver a equação, se os valores de $x$ propostos são solução da igualdade $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + c = 0$. Lembre-se de que, se o resultado da raiz quadrada não for um número real, você deve indicá-lo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + bx = 0$ colocando o fator comum em evidência:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas utilizando o método mais rápido (fatoração por fator comum ou isolamento direto da raiz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

A Ana precisa resolver na aula a equação incompleta $3x^2 - 12x = 0$. O desenvolvimento dela no quadro foi o seguinte:

1º) Como o $x$ se repete em ambos os termos, divida os dois membros por $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, de onde escreve $3x - 12 = 0$.

2º) Isole a incógnita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

A Ana conclui que a equação tem uma única solução: $x = 4$. Localize e explique detalhadamente o erro conceitual que ela cometeu, argumente por que não é matematicamente válido dividir por uma incógnita sem tomar precauções e resolva corretamente a equação encontrando todas as suas soluções.

Dada a equação do segundo grau $x^2 + kx + 12 = 0$, calcule o valor do coeficiente $k$ sabendo que uma das soluções da equação é $x = 3$. Uma vez encontrado $k$, encontre a outra solução da equação.

Construa, em cada caso, uma equação do segundo grau que cumpra as condições requeridas (com todos os termos agrupados no primeiro membro e igualada a zero):

1. a) Uma equação incompleta sem termo linear ($b = 0$) cujo coeficiente quadrático seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 3$ e $x = -3$.
2. b) Uma equação incompleta sem termo independente ($c = 0$) cujo coeficiente quadrático seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 0$ e $x = -5$.

Verifique em ambos os casos a validade das suas equações resolvendo-as pelo método específico adequado para cada tipo de equação incompleta.

Aplique a fórmula de Bhaskara $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para encontrar as soluções das seguintes equações completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Resolva a seguinte equação do segundo grau simplificando primeiro as expressões algébricas por meio do desenvolvimento dos produtos notáveis:

Lembre-se de que, para aplicar a fórmula de Bhaskara, primeiro você deve reduzir a equação à forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Observe a seguinte equação do segundo grau: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Descreva duas estratégias algébricas distintas para resolvê-la: a primeira, desenvolvendo o produto notável, reduzindo à forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ e aplicando a fórmula de Bhaskara; a segunda, isolando a potência quadrática $(2x - 1)^2$ e aplicando a raiz quadrada a ambos os membros da igualdade.
2. b) Resolva a equação utilizando a estratégia que você considerar mais direta e com menor risco de erro operatório, justificando a sua escolha com argumentos matemáticos.

Resolva a seguinte equação efetuando previamente as operações para simplificar os membros e utilizando os produtos notáveis onde for necessário:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Calcule o valor do discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada equação e indique se ela tem duas soluções, uma solução dupla ou nenhuma solução real (não é necessário calcular as soluções):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Estude o discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) das seguintes equações e determine, sem resolvê-las, quantas soluções reais cada uma possui. Justifique sua resposta em cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Qual valor o termo independente da equação a) deveria assumir para que ela não tivesse solução real?

Dada a equação do segundo grau $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determine quais valores o parâmetro $k$ deve assumir para que a equação tenha uma única solução real (solução dupla).

Considere a família de equações do segundo grau $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, onde $k$ é um número real constante.

1. a) Analise o que acontece se $k = 1$. Justifique se a equação resultante continua sendo do segundo grau e determine a sua solução nesse caso particular.
2. b) Supondo que $k \neq 1$, calcule a expressão do discriminante $\Delta$ em função de $k$. A partir dela, deduza de forma fundamentada para que valores de $k$ a equação terá duas soluções reais distintas, para que valor terá uma única solução real dupla e para quais não terá nenhuma solução real.
3. c) Escolha um valor concreto de $k$ que não tenha solução real de acordo com o seu estudo prévio, substitua-o na equação original e tente resolvê-la por meio da fórmula de Bhaskara para verificar que obstáculo aritmético surge.

As equações biquadradas podem ser resolvidas fazendo uma mudança de variável $t = x^2$. Utilize essa técnica para encontrar as quatro soluções reais da seguinte equação:

A área da base quadrada de uma caixa de armazenamento de jogos eletrônicos é de $144\text{ cm}^2$. Calcule quanto mede o lado da base formulando uma equação do segundo grau.

Se ao quadrado de um número inteiro somarmos o seu triplo, obtemos como resultado zero. De quais números poderia se tratar? Formule a equação e encontre as possíveis soluções.

Um programador de jogos eletrônicos está projetando uma interface para um novo aplicativo. Ele precisa criar um botão retangular cuja base seja $5\text{ cm}$ mais longa que sua altura. Se a área total que o botão deve ocupar na tela é de $84\text{ cm}^2$, quais devem ser as dimensões (base e altura) do botão?

Formule uma equação do segundo grau e resolva-a.

O produto de dois números naturais consecutivos é igual à sua soma aumentada em $19$ unidades. De quais números estamos falando?

Queremos colocar uma moldura de madeira de largura constante $x$ ao redor de uma fotografia retangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Se sabemos que a área total (foto mais moldura) deve ser de $300\text{ cm}^2$, qual deve ser a largura $x$ da moldura?

A Prefeitura de São Paulo projeta um terreno retangular destinado a hortas urbanas comunitárias. As especificações técnicas determinam que o comprimento do terreno deve medir $6\text{ m}$ a mais do que a sua largura e que a área cultivável total tem de ser de $160\text{ m}^2$.

1. a) Atribua a incógnita $x$ à largura do terreno, escreva a expressão algébrica da sua área e formule a equação do segundo grau na sua forma canônica $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Resolva a equação para determinar as dimensões (comprimento e largura) da horta. Explique detalhadamente qual interpretação geométrica cada uma das duas soluções matemáticas obtidas tem e por que razão você descarta ou conserva cada uma delas.

Uma empresa de paisagismo quer cercar uma piscina retangular de $8 \text{ m}$ de comprimento por $6 \text{ m}$ de largura com uma borda de grama artificial de largura uniforme $x$. Se a área total do recinto (piscina mais borda de grama) deve ser exatamente de $80 \text{ m}^2$, calcule quanto deve medir a largura $x$ da borda.

Um drone de vigilância decola e segue uma trajetória cuja altura em metros com relação ao tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcule em quais instantes de tempo o drone se encontra exatamente a $53 \text{ metros}$ de altura.

Duas impressoras 3D trabalhando juntas levam $2$ horas para concluir uma maquete complexa. Se trabalhassem separadamente, a impressora mais antiga levaria $3$ horas a mais que a impressora nova. Quanto tempo cada uma levaria para fazer a maquete sozinha? (Dica: lembre-se de que o trabalho realizado em uma hora é o inverso do tempo total).

Calcule as dimensões de um triângulo retângulo sabendo que seus lados são três números inteiros consecutivos.

Resolva a seguinte equação. Para isso, busque o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar as incógnitas dos mesmos e verifique se as soluções obtidas não anulam nenhum denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Dispõe-se de um cabo de $40 \text{ cm}$ de comprimento que é cortado em dois pedaços para formar dois quadrados diferentes. Se a soma das áreas dos dois quadrados é de $58 \text{ cm}^2$, quanto mede o lado de cada um desses quadrados?

Durante as festas juninas de uma cidade do interior, lança-se verticalmente um foguete pirotécnico. A altura $h$ (em metros) acima do solo após decorridos $t$ segundos é descrita pela fórmula $h = -5t^2 + 40t$. O detonador do dispositivo está programado para explodir em plena fase de subida ao atingir exatamente $60\text{ m}$ de altura.

1. a) Antes de operar formalmente, estime se o foguete demorará mais ou menos de $3\text{ segundos}$ para atingir essa altura. Para apoiar a sua estimativa, avalie mentalmente ou por meio de cálculos simples a altura do foguete aos $t = 1\text{ s}$ e aos $t = 2\text{ s}$.
2. b) Formule a equação quadrática $h = 60$, reduza-a à sua forma geral e resolva-a por meio da fórmula de Bhaskara. Justifique o significado físico dos dois valores de $t$ obtidos, verifique se a sua estimativa prévia foi acertada e indique em que segundo exato ocorre a explosão programada.