Números inteiros

Avalie a seguinte expressão combinada respeitando a hierarquia das operações:

$5 - [ 3 - ( -4 + 7 ) \cdot 2 ] + (-8) : 4$

O Lucas tentou resolver no quadro a seguinte operação combinada: $15 - (7 - 12) + (-3)^2$. O desenvolvimento dele foi:

$15 - (7 - 12) + (-3)^2 = 15 - 7 - 12 - 9 = 8 - 12 - 9 = -13$

No entanto, o professor indicou a ele que o resultado está incorreto porque cometeu dois erros conceituais graves sobre as regras dos números inteiros.

1. a) Identifique os dois erros cometidos pelo Lucas e explique de forma fundamentada por que contradizem as regras dos sinais na frente de um parêntese e o cálculo de potências de base negativa.
2. b) Resolva a operação corretamente, passo a passo.

Resolva a seguinte operação combinada prestando atenção especial aos colchetes e às potências de base negativa:

$12 - [(-2)^3 + 5 \cdot (-3)] : (-1) + (-4)^2$

Para calcular o valor da expressão $-3 \cdot [4 - (-5 + 9) \cdot 2 - 7]$, dois alunos do 4.º ano do ESO propõem estratégias diferentes:

• Estratégia da Marina: Opera primeiro de dentro para fora; isto é, resolve o parêntese interior $(-5 + 9)$, efetua a multiplicação por $2$, opera as adições e subtrações dentro dos parênteses retos e, finalmente, multiplica o resultado obtido por $-3$.

• Estratégia do Sérgio: Aplica a propriedade distributiva eliminando diretamente os parênteses retos, multiplicando cada um dos termos interiores por $-3$ antes de resolver o interior.

1. a) Resolve a operação seguindo com rigor a estratégia da Marina.
2. b) Resolve a operação seguindo a estratégia do Sérgio, prestando especial atenção ao sinal de cada produto.
3. c) Justifica qual das duas estratégias é mais conveniente e menos propensa a cometer erros de sinais neste caso concreto, fundamentando a tua escolha em função da prioridade das operações.

Calcule o valor numérico da seguinte expressão que contém módulos:

$|-15 + 8| - |3 - 9| + |-2|$

Determine o sinal e calcule o valor exato das seguintes potências de números inteiros:

• $(-2)^4$

• $(-3)^3$

• $-5^2$

• $(-1)^{15}$

Um freezer industrial está a uma temperatura de $-18$ °C. Se por uma falha elétrica a temperatura subir $5$ °C e, após o conserto, os motores conseguirem baixá-la $12$ °C, qual será a temperatura final do freezer?

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou na estação meteorológica de Monte Verde (Serra da Mantiqueira, Minas Gerais) uma temperatura de $-6$ °C às 07:00 h. Ao longo do dia, registraram-se as seguintes variações térmicas consecutivas: ao meio-dia a temperatura subiu $9$ °C, no meio da tarde desceu $4$ °C devido a uma massa de ar úmido, ao anoitecer caiu bruscamente $7$ °C e, durante a noite, o vento a fez baixar outros $2$ °C adicionais.

1. a) Escreva uma única expressão aritmética com números inteiros que represente todas as alterações de temperatura ocorridas na estação.
2. b) Calcule a temperatura final indicada pelo termômetro no final da noite.
3. c) Se a estação de inverno ativa o alerta de geada severa quando a temperatura desce abaixo de $-8$ °C, esse alerta chegou a ser ativado no final da noite? Justifique a sua resposta comparando os números inteiros correspondentes.

O saldo de uma conta bancária no início do mês é de $-150$ reais. Ao longo da semana são realizados os seguintes movimentos: um depósito em dinheiro de $400$ reais, o pagamento de uma conta de luz de $85$ reais, uma transferência emitida de $230$ reais e a cobrança de uma taxa de manutenção de $12$ reais. Equacione a operação combinada e determine o saldo final da conta.

Um drone submarino realiza uma exploração oceânica. Inicia sua imersão descendo $45$ m a partir da superfície. Em seguida, desce mais $120$ m para investigar uma fenda. Após coletar amostras, sobe $85$ m e para para fotografar um coral. Por fim, desce mais $30$ m para voltar ao fundo. A que profundidade se encontra em relação ao nível do mar?

Em um torneio de basquete, a classificação é decidida pelo "basket average" (diferença entre pontos marcados e pontos sofridos). Nos primeiros quatro jogos, os resultados de uma equipe foram: $75-82$, $90-85$, $68-77$ e $85-80$. Expresse o saldo de cada jogo com um número inteiro e calcule o saldo total da equipe ao finalizar a quarta rodada.

Uma família de Porto Alegre consulta os movimentos bancários da sua conta-corrente durante o último mês. O saldo inicial era de $+380$ reais. Ao longo do mês registram-se os seguintes movimentos: a entrada de um salário de $+1420$ reais, o pagamento do aluguel de $-690$ reais, uma conta de energia elétrica de $-185$ reais, uma despesa acumulada em alimentação de $-310$ reais, a restituição de um imposto de renda de $+195$ reais e o conserto urgente de um aquecedor por $-820$ reais.

1. a) Antes de calcular o resultado exato, faça uma estimativa arredondando cada quantia à centena mais próxima. Determine, a partir da sua estimativa, se a família terminará o mês com saldo positivo ou com saldo negativo.
2. b) Escreva a soma de números inteiros com os valores exatos e calcule o saldo final da conta.
3. c) Compare o saldo exato obtido com a sua estimativa prévia e avalie se estimar antes de calcular foi útil e acertado para antecipar a situação financeira da família.

A cidade de Roma foi fundada tradicionalmente no ano $753$ a.C. e o Império Romano do Ocidente caiu no ano $476$ d.C. Levando em consideração que no calendário histórico gregoriano não existe o ano $0$ (passa-se diretamente do $1$ a.C. para o $1$ d.C.), monte uma operação com números inteiros para calcular quantos anos se passaram exatamente entre ambos os eventos históricos.

Um programa de computador modifica um contador $C$ (cujo valor inicial é $C = 0$) por meio de um laço de repetição que se repete $100$ vezes (iterações numeradas de $1$ a $100$). Nas iterações pares, o programa soma $5$ ao contador; nas iterações ímpares, subtrai $8$. Monte uma expressão com números inteiros que modele o processo e calcule qual será o valor exato do contador $C$ ao finalizar as $100$ iterações.

Crie uma expressão aritmética combinada que cumpra simultaneamente todos os seguintes requisitos:

1. Deve utilizar exatamente quatro números inteiros distintos, dos quais pelo menos dois devem ser estritamente negativos.

2. Deve conter obrigatoriamente uma potência de base negativa com expoente par, da forma $(-a)^2$, e um valor absoluto $|b - c|$ onde a subtração interior dê um resultado negativo antes de aplicar as barras de valor absoluto.

3. Deve incluir pelo menos uma multiplicação e uma subtração que fiquem fora do valor absoluto e do parêntese da potência.

4. Ao resolver a expressão respeitando a prioridade das operações, o resultado final deve ser exatamente $-16$.

Escreva a expressão completa que você criou e demonstre, resolvendo-a passo a passo, que ela cumpre cada uma das condições exigidas.

Num projeto interdisciplinar de História e Matemática, investigam-se três marcos arqueológicos fundamentais da Península Ibérica:

1. O fim do cerco celtibérico de Numância (Sória) ocorreu no ano $133$ a.C.

2. A fundação oficial da colônia romana de Caesaraugusta (atual Saragoça) aconteceu no ano $14$ a.C.

3. A inauguração do aqueduto de Segóvia durante o período imperial situa-se no ano $112$ d.C.

Considerando que, na datação histórica convencional, não existe o ano $0$ (do ano $1$ a.C. passa-se diretamente para o ano $1$ d.C.):

1. a) Modele por meio de números inteiros e calcule quantos anos se passaram entre a queda de Numância e a fundação de Caesaraugusta.
2. b) Modele e calcule quantos anos se passaram entre a fundação de Caesaraugusta e a inauguração do aqueduto de Segóvia, justificando matematicamente por que é necessário subtrair $1$ ao calcular a distância temporal entre datas a.C. e d.C.
3. c) Um folheto turístico afirma que entre a queda de Numância e a inauguração do aqueduto de Segóvia se passaram exatamente $133 + 112 = 245$ anos. Explique por que esse cálculo está incorreto, formule a operação matemática adequada e determine o número exato de anos decorridos.