Equações do primeiro grau

Em matemática, é fundamental distinguir entre uma expressão algébrica e uma equação. Observe a seguinte lista e identifique quais são equações do primeiro grau. Para as que forem, indique qual é o seu primeiro membro e qual é a sua incógnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Verificar se um número é solução de uma equação consiste em substituir a incógnita e ver se a igualdade é satisfeita. Dado o seguinte conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indique, justificando, qual deles é a solução da equação:

$5x - (x + 4) = 8$

Resolva as seguintes equações básicas utilizando a transposição de termos (o que está somando passa subtraindo e vice-versa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

Uma balança está em equilíbrio. No prato da esquerda há $3$ caixas iguais (de peso $x$) e um peso de $2$ kg. No prato da direita há um peso de $14$ kg.

Monte a equação que representa este equilíbrio e calcule quanto pesa cada caixa.

Resolva estas equações do primeiro grau eliminando primeiro os parênteses. Lembre-se de aplicar a propriedade distributiva com cuidado:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Considere a seguinte equação de primeiro grau: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Para resolvê-la, existem dois caminhos claros:

• Caminho A: Aplicar a propriedade distributiva no primeiro membro eliminando os parênteses, reduzir os termos semelhantes e isolar a incógnita $x$.

• Caminho B: Colocar em evidência o binômio $(x - 4)$ no primeiro membro, operar os coeficientes e isolar a incógnita.

Resolva a equação seguindo ambos os procedimentos passo a passo. Em seguida, compare os dois métodos e justifique qual deles você considera mais rápido e com menor risco de cometer erros com os sinais.

Resolva a seguinte equação do primeiro grau, certificando-se de simplificar todos os termos e prestar atenção às mudanças de sinal à frente das frações:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

Resolva a seguinte equação do primeiro grau com coeficientes fracionários e termos aninhados. Preste muita atenção ao manuseio dos sinais negativos à frente das frações:

Dada a equação com um coeficiente desconhecido $k$:

Calcule o valor que $k$ deve ter para que a solução da equação seja $x = 6$. Após encontrar $k$, verifique se a igualdade é satisfeita substituindo ambos os valores na equação original.

Queremos elaborar uma equação de primeiro grau da forma $3x - k = 2(x + 1)$ para uma atividade de aula, de modo que a sua solução seja exatamente $x = 5$.

1. a) Descubra que valor numérico a constante desconhecida $k$ deve ter para que essa condição seja satisfeita.
2. b) Agora crie você uma equação de primeiro grau diferente que contenha pelo menos dois denominadores diferentes (por exemplo, com $2$ e com $3$) e cuja única solução também seja $x = 5$. Demonstre que está correta resolvendo-a passo a passo.

Analise a seguinte equação de primeiro grau, em que as letras $a$ e $b$ representam coeficientes constantes desconhecidos e $x$ é a incógnita:

1. a) Desenvolva e reduza ambos os membros para escrever a equação na forma canônica $A \cdot x = B$, expressando $A$ e $B$ em função de $a$ e $b$.
2. b) Determine que valores concretos $a$ e $b$ devem assumir para que a equação tenha infinitas soluções (seja uma identidade). Justifique a sua dedução com base na expressão $0x = 0$.
3. c) Determine que condições $a$ e $b$ devem cumprir para que a equação não tenha solução (seja uma equação impossível, $0x = B$ com $B \neq 0$).
4. d) Se fixarmos o valor $b = 5$, descubra que valor exato $a$ deve ter para que a solução única da equação seja $x = 2$, e verifique substituindo na equação original.

No desenvolvimento de videogames, às vezes são usadas equações para calcular pontuações. Um jogador tem o triplo de pontos do amigo dele. Se subtrairmos $50$ pontos do jogador, ele passa a ter exatamente $250$ pontos.

Monte uma equação onde $x$ seja a pontuação do amigo e resolva-a para determinar quantos pontos cada um tem.

Traduzir enunciados da linguagem natural para a linguagem algébrica é como aprender um novo idioma. Traduza e resolva a seguinte situação:

"Se ao dobro de um número você somar a sua metade, obtém-se 25".

(Dica: chame de $x$ o número desconhecido).

Em uma loja de tecnologia, um mouse sem fio, um teclado e um fone de ouvido custam no total $110$ reais. Sabemos que o teclado custa o triplo do mouse e que o fone de ouvido custa $10$ reais a mais que o teclado. Monte uma equação do primeiro grau e calcule o preço de cada artigo.

Determine três números inteiros pares consecutivos tais que a soma dos dois primeiros seja igual ao terceiro mais $14$ unidades.

Dois ciclistas, Ana e Marcos, participam de uma corrida beneficente. Ana parte da linha de partida a uma velocidade constante de $20$ km/h. Meia hora mais tarde, Marcos parte do mesmo ponto perseguindo-a a uma velocidade de $25$ km/h. Quanto tempo Marcos levará para alcançar Ana a partir do momento em que ele parte? A que distância do ponto de partida eles se encontrarão?

Em uma livraria de bairro, Marcos compra um romance juvenil que custa $18,50$ reais e vários mangás idênticos que custam $7,50$ reais cada um. No caixa, aplicam um cupom de desconto direto de $4$ reais sobre o valor total da compra. Marcos entrega uma nota de $50$ reais para pagar e o atendente devolve exatamente $5,50$ reais de troco.

1. a) Antes de escrever qualquer equação, arredonde os valores para números inteiros para estimar mentalmente quantos mangás ele comprou aproximadamente (seriam mais de $6$? menos de $2$?). Explique o seu raciocínio aproximado.
2. b) Formule uma equação do primeiro grau em que a incógnita $x$ seja o número de mangás adquiridos e resolva-a com exatidão.
3. c) Verifique se o valor obtido coincide com a sua estimativa prévia e reflita se uma solução não inteira faria sentido neste contexto real.

Um designer de videogames está configurando a área de colisão quadrada de um personagem. Se ele aumenta um dos lados em $4\text{ cm}$ e reduz o outro em $2\text{ cm}$, a área do retângulo resultante é $20\text{ cm}^2$ maior que a área do quadrado original. Qual é a medida do lado do quadrado original?

Dica: Embora apareçam termos em $x^2$, observe como eles se simplificam ao efetuar as operações.

Determine um número de dois algarismos sabendo que o algarismo das unidades excede em $3$ unidades o algarismo das dezenas. Se somarmos a esse número o número resultante de inverter a ordem de seus algarismos, obtemos como resultado $121$. Monte uma equação do primeiro grau com uma única incógnita para determinar o número original.

Determine o valor do lado $x$ no seguinte retângulo sabendo que seu perímetro total é de $34$ cm.

Nas equações literais, devemos ser capazes de isolar uma variável em função das demais. Isole a variável $x$ na seguinte igualdade, supondo que todos os parâmetros $a, b, c$ e $d$ sejam conhecidos e diferentes de zero, com $a \neq d$:

Expresse o resultado final como uma única fração.

Um fabricante de sucos quer criar uma nova mistura "Tropical" combinando suco de abacaxi que custa $1,20$ reais/litro com suco de manga que custa $1,80$ reais/litro. Se deseja obter $60$ litros de mistura a um preço de $1,40$ reais/litro, quantos litros de suco de abacaxi deve utilizar?

Para encher a piscina municipal de um município, são utilizadas duas tubulações, A e B. A tubulação A é capaz de encher a piscina sozinha em $10$ horas. Devido a uma falha no sistema de drenagem, há um vazamento no fundo que esvaziaria a piscina cheia em $30$ horas se as tubulações estivessem fechadas. Se abrirmos a tubulação A e a tubulação B simultaneamente, a piscina se enche em exatamente $5$ horas (com o vazamento aberto). Quanto tempo a tubulação B levaria para encher a piscina sozinha se não houvesse vazamento?

Em um laboratório de química, um estudante precisa obter $12$ litros de uma solução ácida a $25\%$. Na prateleira, ele dispõe apenas de dois frascos: um com uma solução a $10\%$ de ácido e outro com uma solução muito concentrada a $50\%$. Quantos litros ele deve misturar de cada frasco para obter a mistura exata necessária para seu experimento?

Dois drones de vigilância, Helios e Selene, partem de duas bases situadas a uma distância de $150\text{ km}$ um do outro. Ambos voam na mesma direção e sentido (Helios perseguindo Selene). Helios voa a uma velocidade constante de $90\text{ km/h}$ e Selene a $60\text{ km/h}$. Se ambos decolarem ao mesmo tempo, quanto tempo Helios levará para alcançar Selene e a que distância de sua base de origem ocorrerá o encontro?

Uma loja de tecnologia lança uma promoção de tablets e acessórios. Lucas compra um tablet e um teclado por um total de $\text{R\$}\ 325$. Ele sabe que o tablet tem um desconto de $20\%$ sobre seu preço original, enquanto o teclado, por ser um modelo antigo, tem um desconto de $50\%$. Se Lucas economizou no total $\text{R\$}\ 115$ em relação aos preços originais, qual era o preço de venda (sem desconto) do tablet e do teclado?

Na fatura mensal de eletricidade de uma casa na Espanha sob uma tarifa fixa, o valor a pagar se decompõe em: uma cota fixa por potência contratada de $15,60$ reais por mês e um custo variável por energia consumida de $0,16$ reais por cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) gasto. Além disso, a esta família se aplica um desconto mensal de $4,40$ reais a título de bônus de eficiência energética.

Se a fatura final do mês de novembro é exatamente $49,60$ reais:

1. a) Modele a situação formulando uma equação do primeiro grau que relacione todos os dados e permita calcular o consumo $x$ (em $\text{kWh}$) do mês.
2. b) Resolva a equação detalhando cada passo da transposição de termos e determine o consumo exato.
3. c) Segundo dados estatísticos do setor energético na Espanha, o consumo médio de uma família de características semelhantes é de $270\text{ kWh}$ por mês. Interprete o seu resultado indicando se o consumo desta família se situa acima ou abaixo da média nacional e calcule quantos $\text{kWh}$ de diferença isso representa.