Operações com números racionais

Realize a seguinte operação combinada com frações, respeitando a hierarquia das operações, e expresse o resultado como uma fração irredutível:

$ \frac{3}{4} - \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{5}{3} $

O Marcos quer calcular o custo por hora de um consumo elétrico e se depara com a operação combinada $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3}$. Para resolvê-la, afirma: «Como as duas primeiras frações têm o mesmo denominador, somo primeiro e obtenho $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$; depois multiplico por $\frac{2}{3}$ e o resultado é $\frac{8}{15}$». a) Explique de forma fundamentada o erro conceitual que o Marcos comete e qual regra da prioridade das operações ele violou. b) Calcule o resultado correto, expressando-o como fração irredutível.

Uma receita de confeitaria requer $\frac{3}{4}$ de quilograma de farinha para elaborar um bolo inteiro. Se dispormos apenas dos ingredientes para fazer a metade da receita, que quantidade de farinha precisaremos? Expresse o resultado em forma de fração irredutível.

De acordo com uma pesquisa sobre mobilidade do Instituto Nacional de Estatística (INE) numa área metropolitana espanhola, $\frac{5}{12}$ dos trabalhadores se deslocam para o seu emprego em transporte público e $\frac{3}{8}$ fazem isso em veículo motorizado privado. O restante da população ativa trabalhadora se desloca a pé ou de bicicleta. a) Formule a operação com frações e determine a fração irredutível do total de trabalhadores que utiliza meios ativos e sustentáveis (a pé ou de bicicleta). b) Se nessa área metropolitana residirem $24\,000$ pessoas trabalhadoras, calcule quantas delas se deslocam a pé ou de bicicleta.

Resolva a seguinte fração complexa, simplificando o numerador e o denominador antes de realizar a divisão principal:

$ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}} $

Para simplificar a fração composta $\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}{\frac{5}{8}}$, dois alunos do 4.º ano do Ensino Secundário Obrigatório propõem estratégias distintas: a Sara prefere realizar primeiro a subtração do numerador calculando o m.m.c. dos denominadores $4$ e $6$, e depois dividir por $\frac{5}{8}$ multiplicando pela fração inversa. O Sérgio, por outro lado, propõe multiplicar o numerador global e o denominador global por $24$ (o m.m.c. de $4$, $6$ e $8$) para eliminar todas as frações intermédias de uma só vez no primeiro passo. a) Desenvolve por escrito ambos os métodos passo a passo e verifica que se chega à mesma fração irredutível. b) Analisa e argumenta qual dos dois métodos consideras mais seguro e eficiente para evitar erros com frações neste tipo de expressões.

Encontre o valor da incógnita $x$ que torna verdadeira a seguinte igualdade:

$ \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} $

Um ciclista completa $\frac{1}{3}$ de uma etapa na primeira hora. Na segunda hora, percorre $\frac{2}{5}$ da distância que faltava. Se após essas duas horas ainda lhe faltarem 30 km para chegar à linha de chegada, qual é o comprimento total da etapa?

Uma empresa de tecnologia destina $\frac{3}{8}$ do seu orçamento anual ao pagamento de salários, $\frac{1}{5}$ a campanhas de marketing e $\frac{1}{4}$ do orçamento restante a pesquisa e desenvolvimento (P&D). Que fração do orçamento total fica disponível para outras despesas operacionais?

Uma liga metálica utilizada na engenharia aeroespacial é composta por $\frac{3}{7}$ de cobre, $\frac{2}{5}$ de zinco, e o restante é estanho. Se a massa total de uma peça fabricada com essa liga for de 140 kg, quantos quilogramas exatos de estanho conterá?

Uma torneira é capaz de encher uma piscina em 4 horas, enquanto uma segunda torneira pode enchê-la em 6 horas. Se ambas as torneiras forem abertas ao mesmo tempo, que fração da piscina terá sido cheia ao fim de 1 hora? Quanto tempo total (em horas e minutos) levarão para encher a piscina por completo?

Um reservatório de uma bacia hidrográfica do sul da Espanha tem uma capacidade máxima de $450\text{ hm}^3$ e, no início do outono, está cheio até $\frac{2}{5}$ da sua capacidade total. Durante uma tempestade com chuvas, recebe um volume equivalente a $\frac{1}{3}$ da capacidade total do reservatório, mas, ao mesmo tempo, deve-se descarregar por segurança uma quantidade igual a $\frac{1}{10}$ da água que tinha armazenada no início. a) Antes de calcular o volume exato em $\text{hm}^3$, faça uma estimativa fundamentada comparando as frações: o reservatório superará a metade da sua capacidade total após a tempestade? Justifique a sua resposta. b) Calcule a fração irredutível exata da capacidade total que fica retida e obtenha o volume final em $\text{hm}^3$ para verificar a validade da sua estimativa.

A secretaria de Juventude de um município distribui o seu orçamento anual da seguinte forma: destina $\frac{1}{4}$ do total à manutenção das instalações esportivas; do dinheiro restante, destina $\frac{2}{5}$ a cursos e oficinas de formação profissional; e a quantia final que fica sem destino, que chega a exatamente $45\,000$ reais, é reservada para um fundo de bolsas de transporte. a) Modele a situação formulando uma única equação do primeiro grau em que a incógnita $x$ seja o orçamento total inicial, expressando as frações em função de $x$. b) Resolva a equação para descobrir o orçamento total da secretaria. c) Verifique o resultado calculando as parcelas monetárias de cada uma das três finalidades e confirmando que a soma delas coincide com o total.

Num dia de elevada produção renovável na Espanha, o operador do sistema elétrico (Red Eléctrica) registra que a energia eólica cobre $\frac{3}{8}$ da demanda nacional, a solar fotovoltaica gera uma quantidade equivalente a $\frac{1}{3}$ do fornecido pela eólica, e a energia hidrelétrica fornece $\frac{1}{4}$ do restante da demanda que ainda faltava cobrir. As usinas não renováveis cobrem os $240\text{ GWh}$ restantes necessários para abastecer o consumo total. a) Determine, mediante operações com frações, que fração irredutível da demanda total diária representou a produção não renovável. b) Calcule a demanda elétrica total do dia em $\text{GWh}$ e quantos $\text{GWh}$ a energia solar gerou especificamente. c) Se no ano seguinte a contribuição solar aumentasse mais metade (isto é, um fator de $\frac{3}{2}$) em relação à sua cota atual e as demais renováveis mantivessem as suas frações idênticas, demonstre, mediante o cálculo com frações, se a soma de todas as energias renováveis atingiria ou não os $\frac{3}{4}$ da demanda total do país.

Calcule a soma exata da seguinte série de frações. (Dica: Observe o padrão e decomponha cada fração como a subtração de duas frações mais simples, por exemplo $\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$):

$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10} $