Frações algébricas

Simplifique a fração algébrica $\frac{12x^4y}{4x^2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{3x + 6}{3}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + 2x}{x^2}$.

Uma aluna afirma que $\frac{x + 5}{5} = x + 1$, porque "o $5$ de cima e o de baixo se cancelam". Avalie se a sua afirmação é verdadeira ou falsa verificando-a com um valor concreto de $x$, explique o erro e escreva a simplificação correta.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2}$ fatorando previamente o numerador e o denominador.

Um aluno simplifica assim: "$\frac{x^2 + 4}{x + 2} = x + 2$, porque o numerador é o quadrado do denominador". Explique o erro conceitual cometido (a que é igual na realidade $(x + 2)^2$?), verifique-o substituindo $x = 3$ e raciocine se a fração pode ser simplificada de alguma forma.

Verifique se as frações algébricas $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ e $\frac{1}{x + 1}$ são equivalentes. Justifique sua resposta.

O Marcos, estudante do 4.º ano do ESO, deve simplificar a fração algébrica $\dfrac{2x + 6}{x^2 - 9}$ para um exercício de aula. No seu caderno faz o seguinte:

«Corto o $+6$ com o $-9$ dividindo ambos por $3$, e simplifico o $x$ do numerador com o $x^2$ do denominador. Fica $\dfrac{2 + 2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$. Portanto, o único valor proibido da expressão é $x = 3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu: um no procedimento algébrico de simplificar e outro relativo ao domínio da fração.
2. b) Realiza a simplificação de forma matematicamente correta e determina todos os valores que devem ser excluídos do domínio original.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Calcule e simplifique $\frac{2x}{3} \cdot \frac{6}{x^2}$.

Calcule e simplifique $\frac{x}{x + 1} : \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 4}{x + 3} : \frac{x - 2}{x^2 + 3x}$.

Efetue e simplifique $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$.

Efetue e simplifique $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{2}{x^2 + 2x}$.

Um grupo de estudantes de uma escola de Ensino Médio de Belo Horizonte organiza uma viagem cultural de ônibus para visitar o Museu Inhotim, em Brumadinho. A empresa de transporte cobra uma tarifa fixa de $360$ reais pelo aluguel do veículo, e a entrada no museu custa $4$ reais por estudante.

1. a) Escreva a fração algébrica $C(x)$ que representa o custo médio por estudante em função do número $x$ de participantes na viagem.
2. b) Faz sentido calcular $C(0)$? Justifique sua resposta do ponto de vista da álgebra e do ponto de vista prático. Se o ônibus dispõe de $55$ lugares e a escola exige um mínimo de $15$ participantes para autorizar a saída, indique qual é o domínio realista desta expressão.
3. c) Decomponha a fração na soma de uma quantidade fixa mais outra que depende de $x$. A partir dessa decomposição, deduza o que acontece com o custo médio por estudante se o número de participantes $x$ for muito grande.

Uma torneira leva $x$ minutos para encher um reservatório e outra torneira leva $5$ minutos a menos para encher o mesmo reservatório. a) Expresse, em função de $x$, a fração do reservatório que as duas torneiras enchem juntas em um minuto, simplificando a expressão. b) Que fração do reservatório elas enchem em um minuto se a primeira torneira leva $20$ minutos?

Um trem urbano da Companhia Paulista de Trens Metropolitanos realiza um trajeto de ida e volta de $60\text{ km}$ por sentido ($120\text{ km}$ no total). Na ida circula a uma velocidade média constante de $x\text{ km/h}$. Na viagem de volta, devido a obras de manutenção na infraestrutura, de acordo com dados da concessionária, deve reduzir a sua velocidade média em $15\text{ km/h}$, circulando a $(x - 15)\text{ km/h}$.

1. a) Sabendo que o tempo se calcula dividindo a distância pela velocidade, escreva a soma de frações algébricas que modela o tempo total gasto (em horas) e some-as para obter uma única fração algébrica reduzida $T(x)$.
2. b) Estime e verifique: imagine que habitualmente o trem circula a $x = 75\text{ km/h}$.

• Antes de substituir na sua fórmula reduzida, faça uma estimativa fundamentada: se na ida demora $60/75 = 0,8\text{ horas}$ ($48\text{ minutos}$) e na volta vai a $60\text{ km/h}$, o tempo total de ida e volta será maior, menor ou igual a $1,7\text{ horas}$? Justifique por que não se pode calcular simplesmente o tempo supondo uma velocidade média global de $(75 + 60)/2 = 67,5\text{ km/h}$.

• Substitua $x = 75$ na sua fração algébrica $T(x)$, obtenha o resultado exato em horas e minutos, e verifique se a sua estimativa prévia foi acertada.

Um ciclista percorre $60$ km a uma velocidade média de $v$ km/h e retorna pelo mesmo caminho a $v + 10$ km/h. a) Expresse o tempo total da viagem em função de $v$, como uma única fração algébrica simplificada. b) Se a viagem completa durou $5$ horas, monte a equação que permitiria determinar $v$ (não é necessário resolvê-la) e indique de que tipo ela é.

Uma loja de frutas secas mistura $x$ kg de nozes a $\text{R\$}\ 9$ o quilo com $y$ kg de uvas-passas a $\text{R\$}\ 5$ o quilo. a) Expresse o preço de um quilograma de mistura em função de $x$ e $y$. b) Quanto vale esse preço se for misturado o dobro de nozes em relação às uvas-passas? c) Que relação deve haver entre $x$ e $y$ para que o quilograma de mistura custe exatamente $\text{R\$}\ 7$?

Construa uma fração algébrica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Os seus únicos valores proibidos (aqueles para os quais a fração original não existe) são exatamente $x = 3$ e $x = -2$.

2. Ao simplificá-la cancelando os fatores comuns, obtém-se a fração irredutível $\dfrac{5}{x + 2}$.

3. O numerador original $P(x)$ é um polinômio de grau $1$ cujo termo independente é $-15$.

1. a) Escreva os polinômios $P(x)$ e $Q(x)$ na sua forma desenvolvida (como somas e subtrações de monômios, não fatorados).
2. b) Justifique de forma fundamentada se a fração que você construiu $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ e a fração reduzida $\dfrac{5}{x + 2}$ são exatamente equivalentes para todo valor real de $x$, indicando o que acontece em particular se avaliarmos ambas em $x = 3$.

Simplifique a fração complexa $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$.

Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos polinômios $x^2 - 9$ e $x^2 + 6x + 9$.

Resolva a equação $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 4}$. Antes de começar, indique quais valores $x$ não pode assumir e explique por que é necessário descartá-los.

1. a) Verifique que $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. b) Use essa identidade para calcular, sem fazer todas as somas uma a uma, o valor de $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$. c) Quanto vale a soma análoga com $n$ parcelas?

Para calcular e simplificar a seguinte operação combinada com frações algébricas:

$E(x) = \left( \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} \right) \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$

dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• Método da Júlia: Opera primeiro o interior dos parênteses procurando o denominador comum, reduz o numerador obtido e, por último, realiza o produto fatorando a segunda fração.

• Método do Bruno: Aplica a propriedade distributiva multiplicando diretamente a fração $\dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$ por cada um dos dois termos dos parênteses, simplificando cada multiplicação antes de subtrair.

1. a) Resolva a operação seguindo passo a passo o método da Júlia.
2. b) Resolva a operação seguindo passo a passo o método do Bruno.
3. c) Compare ambos os caminhos: analise qual dos dois evita manipular polinômios de grau superior e minimiza o risco de cometer erros com os sinais. Justifique qual você considera mais vantajoso.
4. d) Embora o resultado final simplificado seja uma constante numérica, indique o domínio de definição da expressão inicial e explique por que essas restrições devem ser mantidas.

Segundo modelos de gestão ambiental utilizados na Espanha, o custo municipal anual $C_1$ (em milhares de reais) para coletar e processar $p\,\%$ dos resíduos plásticos de uma região estima-se por meio da fração algébrica:

$C_1(p) = \dfrac{120p}{100 - p}$, com $0 \le p < 100$.

O município avalia modernizar as instalações com um sistema semiautomatizado financiado por fundos europeus, cujo custo anual estimado seria:

$C_2(p) = 30 + \dfrac{60p}{100 - p}$ (milhares de reais).

1. a) Expresse $C_2(p)$ como uma única fração algébrica reduzida com denominador comum.
2. b) Modele a função de economia $A(p) = C_1(p) - C_2(p)$ como uma única fração algébrica irredutível.
3. c) Analise o domínio destas expressões no contexto real: por que não é possível avaliar nenhuma das duas fórmulas em $p = 100$? Que significado físico tem o fato de o denominador tender a $0$ à medida que a porcentagem de reciclagem $p$ se aproxima de $100\,\%$?
4. d) Estude o sinal do numerador de $A(p)$ para determinar a partir de que porcentagem de reciclagem $p$ a estação automatizada se torna mais econômica em comparação com a tradicional. Se a Lei federal de Resíduos fixa como meta regional atingir pelo menos $60\,\%$ de reciclagem, fundamente qual opção tecnológica o município deve escolher.

Desafio do tema. Otimize a embalagem de um envio postal sustentável.

1. Coleta de dados: Meça um objeto cotidiano de casa e consulte no site dos Correios as tarifas e medidas padrão permitidas. Modele uma caixa com base quadrada de lado $(x+3)\text{ cm}$ e altura $x\text{ cm}$. Aplique produtos notáveis para expressar a área da base.

2. Modelagem: Obtenha, mediante operações com monômios e polinômios, o volume $V(x)$ e a área de superfície total de papelão $S(x)$. Estabeleça a fração algébrica $\frac{S(x)}{V(x)}$ (gasto de material por unidade de capacidade) e analise-a.

3. Cálculo e combinatória: Com o GeoGebra ou uma planilha, determine o volume para $x=10\text{ cm}$ aplicando o teorema do resto (avaliando a divisão por $x-10$). Se você for combinar $4$ itens distintos dentro da embalagem, calcule quantas disposições lineares são possíveis por meio de $4!$. Determine as raízes de $V(x)-1500=0$ para conseguir uma capacidade exata de $1,5\text{ litros}$.

4. Proposta: Redija um relatório breve fundamentando as dimensões ótimas para minimizar custos.

Será avaliado:

• Correção ao operar polinômios, produtos notáveis e frações algébricas.

• Aplicação adequada do teorema do resto, das raízes e do fatorial.

• Manuseio de dados reais e de software digital (GeoGebra ou planilha) no relatório final.