Produtos notáveis

Desenvolva o quadrado da seguinte soma utilizando o produto notável correspondente: $(4x + 7)^2$.

Desenvolva o quadrado da seguinte diferença aplicando o produto notável adequado: $(5a^2 - 2b)^2$.

Calcule o produto notável da soma pela diferença para a seguinte expressão: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.

A Ana está calculando a superfície de uma chapa metálica quadrada cujo lado mede $(2x - 3)\text{ metros}$ e precisa desenvolver a expressão algébrica para um relatório de oficina. No caderno dela, está escrito o seguinte:

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

1. a) Identifique os dois erros conceituais que a Ana cometeu ao aplicar o produto notável.
2. b) Explique à Ana por que o desenvolvimento do quadrado de uma diferença deve dar como resultado um trinômio e não um binômio, com base na propriedade distributiva.
3. c) Escreva o desenvolvimento correto e verifique que o seu resultado não coincide com o da Ana, substituindo $x = 4$ tanto na expressão inicial quanto em ambas as respostas.

Aplique os produtos notáveis para calcular mentalmente o valor exato de $53^2$ utilizando a expressão $(50 + 3)^2$.

Uma cooperativa de azeite em Ribeirão Preto vai cobrir uma área de descarga instalando painéis fotovoltaicos sobre uma cobertura retangular que mede exatamente $52\text{ m}$ de comprimento por $48\text{ m}$ de largura.

1. a) Sem utilizar calculadora nem papel, estime mentalmente a área arredondando ambas as medidas para $50\text{ m}$. Raciocine se você espera que a área real da cobertura seja maior, menor ou igual aos $2500\text{ m}^2$ que resultam dessa aproximação.
2. b) Escreva as dimensões como o produto de uma soma por uma diferença, $(50 + 2)\cdot(50 - 2)$, e calcule mentalmente a área exata aplicando o produto notável correspondente.
3. c) Verifique a sua estimativa inicial calculando a diferença entre o valor exato e o estimado. Por que essa diferença coincide exatamente com $2^2\text{ m}^2$?

Fatore o seguinte trinômio quadrado perfeito expressando-o como o quadrado de um binômio: $x^2 + 14x + 49$.

Expresse o seguinte polinômio como o quadrado de uma diferença: $25y^2 - 60y + 36$.

Fatore a seguinte diferença de quadrados: $81z^2 - 100w^6$.

Determine o termo que falta para que o seguinte polinômio seja um trinômio quadrado perfeito: $9x^2 - \dots + 64y^2$.

O departamento de urbanismo de um município projeta uma área de recreação infantil retangular cuja superfície é dada pelo polinômio $A(x) = 25x^2 - 36$, com as medidas expressas em metros e $x > \frac{6}{5}$.

1. a) Determine as expressões algébricas da base e da altura da referida área infantil, fatorando o polinômio por meio do produto notável adequado.
2. b) Em uma segunda fase, decide-se transformar o espaço em uma praça totalmente quadrada cuja área seja representada pelo trinômio $25x^2 + kx + 36$. Encontre o valor positivo do parâmetro $k$ para que este trinômio seja um quadrado perfeito e deduza a expressão do lado da praça em função de $x$.
3. c) Se, em uma determinada fase de obras, a área da área retangular original for de $64\text{ m}^2$, calcule o valor numérico de $x$, as medidas dos seus lados e a área que terá a nova praça quadrada.

Calcule o valor ou os valores do parâmetro $k$ para que o polinômio $49x^4 + kx^2y^3 + 144y^6$ seja um trinômio quadrado perfeito.

Um arquiteto projeta uma praça quadrada de lado $3x + 5$ metros. Em seu interior, coloca uma fonte também quadrada de lado $x - 2$ metros. Obtenha o polinômio ordenado e reduzido que representa a área da parte transitável da praça.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão combinada reduzindo os termos semelhantes: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.

Um terreno de cultivo tem forma circular com um raio de $R$ metros. Decide-se construir um caminho perimetral externo de largura $x$ metros. Expresse a área do caminho em função de $R$ e $x$, desenvolvendo a expressão por meio de produtos notáveis.

Dentro do plano de hortas urbanas comunitárias de Belo Horizonte, parte-se de um terreno experimental quadrado de lado $x\text{ metros}$. Os técnicos de meio ambiente propõem duas alterações independentes a esse desenho:

• Horta A: Aumentar um lado em $4\text{ m}$ e encurtar o lado perpendicular em $4\text{ m}$, obtendo um recinto retangular de dimensões $(x + 4)$ e $(x - 4)$ metros.

• Horta B: Aumentar ambos os lados em $4\text{ m}$, obtendo um terreno quadrado maior de lado $(x + 4)$ metros.

1. a) Desenvolva e reduza os polinômios que representam a área da Horta A e a área da Horta B aplicando os produtos notáveis pertinentes.
2. b) Obtenha o polinômio ordenado que expresse em quantos metros quadrados a superfície da Horta B supera a da Horta A.
3. c) Um porta-voz dos moradores assegura que a Horta A tem exatamente a mesma superfície que a horta original de lado $x$ porque «o que se acrescenta no comprimento tira-se na largura». Justifique algebricamente se essa afirmação é verdadeira ou falsa e determine quantos metros quadrados se ganham ou se perdem em relação ao terreno inicial.

Uma empresa estima que, se fixar o preço de um produto em $150 + 3x$ reais, conseguirá vender $150 - 3x$ unidades. Determine o polinômio que modela a receita total e calcule a quanto corresponderá a receita se $x = 10$.

Há uma chapa de papelão quadrada de lado $L$ centímetros. Para construir uma caixa sem tampa, recortam-se quatro quadrados iguais de lado $x$ em cada canto e dobram-se as abas. Obtenha o polinômio que expressa a área da base da caixa e o polinômio que expressa o seu volume.

Uma arruela mecânica tem a forma de uma coroa circular. O raio externo é dado pela expressão $R = 5x + 3$ milímetros, e o raio interno por $r = 5x - 3$ milímetros. Determine o polinômio reduzido que expressa a área da face plana da arruela.

Em um parque eólico do Rio Grande do Norte, os protocolos técnicos estabelecem ao redor de cada aerogerador uma zona de segurança com forma de coroa circular (a superfície plana compreendida entre duas circunferências concêntricas). O raio do círculo interior de exclusão de maquinário é $R_1 = (2x - 3)\text{ metros}$ e o raio do círculo exterior que delimita o alcance das pás é $R_2 = (2x + 3)\text{ metros}$, com $x > 3$.

1. a) Apresente a fórmula da área da referida coroa circular colocando o número $\pi$ em evidência: $A = \pi \cdot (R_2^2 - R_1^2)$.
2. b) Sem desenvolver cada quadrado separadamente, aplique o produto notável da diferença de quadrados para fatorar $(R_2^2 - R_1^2)$ e obtenha a expressão polinomial reduzida da área da coroa em função de $x$ e $\pi$.
3. c) Se a medição topográfica certificar que a área da referida coroa circular é exatamente $144\pi\text{ m}^2$, formule uma equação, calcule o valor de $x$ e determine o raio exterior $R_2$. Raciocine se um diâmetro de rotor de $2\cdot R_2 = 30\text{ m}$ é plausível para um aerogerador de média potência no Brasil.

Desenvolva a seguinte expressão algébrica com coeficientes fracionários e reduza os termos: $\left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{4}y\right)^2$.

Simplifique a seguinte fração algébrica fatorando previamente o numerador e o denominador por meio de produtos notáveis: $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$.

Sabendo que a soma de dois números é $S = x+y = 12$ e o produto deles é $P = xy = 35$, calcule o valor de $x^2 + y^2$ sem descobrir o valor individual de $x$ e $y$. (Dica: utilize o desenvolvimento de $(x+y)^2$).

Fatore completamente o polinômio $16x^4 - 81y^4$, aplicando o produto da soma pela diferença quantas vezes for possível no conjunto dos números reais.

Simplifique a seguinte expressão algébrica, desenvolvendo primeiro os numeradores e fatorando os denominadores: $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a-b}{4}$.

Desenvolva e simplifique ao máximo a seguinte expressão aninhada: $\left( (x+2)^2 - (x-2)^2 \right)^2$.

Para calcular o valor numérico da expressão $E(x) = (2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$ quando $x = 12,5$, dois alunos do 4.º ano do ESO propõem estratégias distintas:

• Método do Marcos: Desenvolver o quadrado da soma e o quadrado da diferença de forma independente, subtrair ambos os trinómios agrupando termos semelhantes e, finalmente, substituir $x = 12,5$.

• Método da Sara: Considerar a expressão completa como uma diferença de quadrados da forma $A^2 - B^2$, transformá-la no produto de uma soma pela sua diferença, simplificar os fatores resultantes e substituir $x = 12,5$.

1. a) Aplica o método do Marcos indicando com clareza o tratamento dos sinais ao subtrair.
2. b) Aplica o método da Sara trabalhando a estrutura $[(2x + 5) + (2x - 5)]\cdot[(2x + 5) - (2x - 5)]$.
3. c) Compara ambos os procedimentos e justifica qual se revela mais vantajoso e seguro para evitar erros típicos de sinal. Explica como se manteria esta vantagem se as bases fossem polinómios mais compridos, por exemplo $(x^2 + 2x + 1)^2 - (x^2 + 2x - 1)^2$.

Desenvolva o cubo da seguinte diferença aplicando a fórmula correspondente (produtos notáveis): $(2x - 3)^3$.

Demonstre algebricamente que a soma do quadrado da diferença de dois números com quatro vezes o seu produto é igual ao quadrado da soma desses números. Ou seja, desenvolva e simplifique para provar que $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.

Demonstre que a diferença dos quadrados de dois números ímpares consecutivos é sempre um múltiplo de $8$. Utilize as expressões $2n+1$ e $2n-1$ para representar esses números.