Tendência e periodicidade

Dada a função racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcule os valores de $f(10)$, $f(100)$ e $f(1000)$. A partir desses resultados, deduza para qual valor tende a função quando $x$ se torna infinitamente grande.

A temperatura de uma xícara de café recém-servida é de $80^\circ\text{C}$. Ao deixá-la repousar em um cômodo, a sua temperatura diminui com o tempo, sendo modelada por meio de uma função $T(t)$ que apresenta uma assíntota horizontal em $y = 22$. Qual significado físico esse valor de $22$ tem no contexto do problema?

Observe o gráfico da função $T(t)$, que representa a evolução da temperatura de um componente eletrônico de um servidor em função do tempo de funcionamento. Para qual valor tende a temperatura a longo prazo?

A população de uma espécie de ave introduzida em uma ilha segue o modelo matemático $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, onde $t$ representa o tempo decorrido em anos desde a sua introdução. Determine qual foi a população inicial de aves e calcule para qual valor tende a população a longo prazo quando $t$ se torna muito grande.

O valor econômico de uma máquina industrial se deprecia com o passar do tempo segundo a função exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, onde $t$ são os anos de uso e $V(t)$ o valor em reais. Qual é o valor da máquina quando é comprada nova ($t=0$)? Qual é a tendência do valor da máquina quando o tempo de uso se torna infinitamente grande? Explique o significado econômico desse limite.

A concentração de um medicamento na corrente sanguínea (medida em mg/L) $t$ horas após a sua administração intravenosa é dada pela função $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 9}$. Analise a tendência dessa concentração a longo prazo. Existe algum momento no futuro em que a concentração se estabilize em um valor constante diferente de zero, ou terminará desaparecendo por completo do organismo? Justifique a sua resposta matematicamente.

Determine o valor exato do parâmetro $k$ para que a função racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tenda a $4$ quando $x$ se torna infinitamente grande. Uma vez encontrado esse valor de $k$, calcule qual é o coeficiente linear da função.

Observe o gráfico a seguir, que representa a oscilação de um pêndulo ao longo do tempo $t$ (em segundos), medindo o seu deslocamento $d$ (em centímetros) em relação à posição de equilíbrio.

Determine o período da função periódica representada, a sua amplitude e os valores máximo e mínimo que ela atinge.

Observe o gráfico a seguir que representa o nível de água em um tanque (em metros) ao longo do tempo (em segundos). Determine o período da função representada e calcule qual será o nível da água em $t = 45$ e em $t = 50$.

Uma máquina de embalagem industrial emite um sinal sonoro de aviso a cada $45$ segundos de forma constante. Se o primeiro sinal sonoro ocorre no instante $t = 0$, determine se a máquina emitirá um sinal sonoro em $t = 300$ segundos e em $t = 360$ segundos.

Uma função $f(x)$ é estritamente periódica e seu período é $T = 6$. Conhecem-se os seguintes valores em seu primeiro ciclo: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ e $f(6) = 3$. Calcule os valores exatos de $f(26)$ e $f(40)$.

A luz de um farol marítimo gira a uma velocidade constante, dando uma volta completa a cada $12$ segundos. Se no instante $t = 3$ segundos o feixe de luz ilumina diretamente um barco próximo, em quais outros instantes exatos durante o primeiro minuto ($60$ segundos) voltará a iluminá-lo?

Uma função $f(x)$ é periódica de período $T = 8$. No intervalo $[0, 8)$, a função está definida por partes da seguinte maneira: $f(x) = 2x$ se $0 \le x < 4$, e $f(x) = 12 - x$ se $4 \le x < 8$. Calcule os valores exatos de $f(45)$ e $f(100)$.

O nível da água em um porto marítimo varia devido às marés seguindo uma função periódica. Sabendo que ao longo de um dia o nível máximo de água (preamar) é atingido exatamente às 02:00 h e às 14:30 h, determine o período exato das marés neste porto. Se esse padrão se mantiver inalterado, a que horas será atingido o primeiro nível máximo do dia seguinte?