Números decimais

Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples, dízimas periódicas compostas ou irracionais:

• $A = 3,14159$

• $B = 2,\widehat{7}$

• $C = 0,1\widehat{23}$

• $D = 1,010010001\dots$

Sem realizar a divisão, determine o tipo de representação decimal (exata, dízima periódica simples ou dízima periódica composta) que corresponde a cada uma das seguintes frações, analisando os fatores primos de seus denominadores:

• $\frac{7}{20}$

• $\frac{5}{21}$

• $\frac{11}{6}$

O Marcos precisa classificar o tipo de número decimal que a fração $\frac{27}{150}$ gera sem fazer a divisão. No caderno dele está escrito:

«Decomponho o denominador em fatores primos: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Como aparecem o $2$ e o $5$, mas também está o fator primo $3$, a fração gera obrigatoriamente um número decimal dízima periódica mista».

No entanto, ao digitar $\frac{27}{150}$ na calculadora, a tela mostra $0,18$, que é um decimal exato.

1. a) Encontre o erro que o Marcos cometeu e explique que passo teórico imprescindível ele esqueceu de dar antes de fatorar o denominador.
2. b) Corrija o procedimento do Marcos com a fração $\frac{27}{150}$ e demonstre formalmente por que razão resulta em um decimal exato.
3. c) Aplique o procedimento correto para determinar, sem efetuar a divisão, que tipo de número decimal a fração $\frac{21}{280}$ gera.

Determine o valor ou os valores que o algarismo $x$ pode assumir (de $0$ a $9$) para que a fração $\frac{x}{15}$ gere um número decimal exato. Justifique sua resposta com base na decomposição em fatores primos do denominador.

Calcule a fração geratriz irredutível das seguintes dízimas periódicas simples:

• $3,\widehat{45}$

• $0,\widehat{7}$

• $12,\widehat{3}$

Determine a fração geratriz irredutível das seguintes dízimas periódicas compostas:

• $0,2\widehat{71}$

• $1,0\widehat{5}$

• $3,12\widehat{4}$

Três estudantes que dividem uma casa em Salvador decidem comprar pela internet um passe trimestral conjunto para o ônibus urbano. O passe custa exatamente $68\text{ \text{R\$}\ }$ no total e combinam pagar cada um um terço do valor.

1. a) Antes de calcular com precisão, faça uma estimativa mental: entre que dois números inteiros de reais deve se situar a contribuição individual? Dê uma primeira aproximação fundamentada incluindo cêntimos.
2. b) Expresse a contribuição exata de cada um por meio de uma fração irredutível e obtenha sua dízima. Que tipo de decimal é? Justifique sua resposta analisando os fatores primos do denominador.
3. c) Se cada estudante fizer uma transferência por Pix de $22,66\text{ \text{R\$}\ }$, cobre-se o preço total do passe? Quanto sobra ou quanto falta? Avalie se a sua estimativa inicial foi acertada e reflita sobre o problema que surge ao tentar pagar com dinheiro real (moedas e cêntimos) uma quantia periódica.

Realize a seguinte operação combinada convertendo previamente os números decimais em sua fração geratriz. Expresse o resultado final como fração irredutível e como número decimal:

$1,\widehat{3} + 0,\widehat{5} - 0,1\widehat{6}$

Em uma residência de Sevilha abrangida pela tarifa regulada de eletricidade (PVPC), a discriminação do consumo de um mês reflete os seguintes custos de acordo com o período horário: período de vazio $12,\widehat{4}\text{ \text{R\$}\ }$, período de cheias $21,\widehat{4}\text{ \text{R\$}\ }$ e período de ponta $33,\widehat{4}\text{ \text{R\$}\ }$. Além disso, eles têm um desconto social que subtrai $5,\widehat{1}\text{ \text{R\$}\ }$ da fatura.

Para calcular o custo líquido total antes de impostos, a família propõe dois métodos de cálculo:

• Método 1: Arredondar cada um dos quatro valores ao centavo mais próximo ($12,44\text{ \text{R\$}\ }$, $21,44\text{ \text{R\$}\ }$, etc.) e operar diretamente com os decimais arredondados.

• Método 2: Obter a fração geratriz irredutível de cada termo, operar com frações e arredondar ao centavo unicamente o resultado final.

1. a) Aplique o Método 1 e calcule o custo líquido resultante.
2. b) Aplique o Método 2 calculando as frações geratrizes e operando com elas.
3. c) Compare ambos os resultados numéricos. Eles coincidem ao centavo ou ocorre alguma discrepância? Justifique qual dos dois métodos é o correto e argumente por que razão nos sistemas de informática bancários ou de faturamento nunca se devem arredondar os valores intermediários.

Dois veículos se deslocam em linha reta. O veículo A tem uma velocidade constante de $33,\widehat{3}$ m/s, enquanto o veículo B viaja a $120$ km/h. Se ambos mantiverem a sua velocidade durante exatamente $1,5$ horas, calcule a diferença exata, em metros, da distância percorrida por ambos. Trabalhe com frações para evitar erros de arredondamento.

Queremos encontrar uma fração própria positiva e irredutível $\frac{a}{b}$ (com $a < b$) que satisfaça as seguintes condições simultaneamente:

1. O seu desenvolvimento decimal é uma dízima periódica mista da forma $0,1\widehat{y}$ (um anteperíodo de um algarismo que vale $1$ e um período de um único algarismo desconhecido $y$).

2. O denominador $b$ é um número natural de dois algarismos estritamente menor que $16$.

1. a) Escreva a fórmula teórica da fração geratriz para um número da forma $0,1\widehat{y}$ sem simplificar. A partir do seu denominador, deduza que fatores primos pode ter $b$ para que o número seja uma dízima periódica mista e por que razão $b$ deve ser obrigatoriamente um divisor de $90$.
2. b) Verifique os números de dois algarismos menores que $16$ e identifique o único valor possível para o denominador $b$.
3. c) Com o valor de $b$ encontrado, determine que algarismo deve ser $y$ para que o numerador $a$ seja um número inteiro e a fração seja irredutível. Verifique o resultado final dividindo $a$ por $b$.

Encontre o algarismo que ocupa a posição decimal número $250$ na representação decimal da fração $\frac{3}{13}$. Justifique os passos seguidos para encontrar o período e calcular a posição.

Observe o diagrama que ilustra o processo de enquadramentos sucessivos para localizar um número irracional na reta real. Sabendo que o processo continua infinitamente, determine de qual famoso número irracional os intervalos estão se aproximando e escreva um intervalo de amplitude $0,001$ que contenha esse número.

De acordo com a Pesquisa de Ocupação Hoteleira do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), durante um fim de semana festivo em uma cidade litorânea com $1\,300$ leitos de hotel disponíveis, foram registradas $400$ hospedagens de turistas estrangeiros. A proporção de ocupação estrangeira em relação à capacidade total foi, portanto, $\frac{400}{1\,300} = \frac{4}{13}$.

1. a) Sem realizar a divisão, justifique de forma fundamentada que tipo de número decimal a fração irredutível $\frac{4}{13}$ representa, analisando a decomposição em fatores primos do seu denominador.
2. b) Efetue a divisão $4 : 13$ até obter o período completo. Expresse o resultado utilizando a notação periódica (com barra) e indique o comprimento do referido período.
3. c) O departamento de estatística do município utiliza um código de validação digital baseado nas casas decimais desta proporção: o código corresponde ao algarismo que ocupa a $2\,025$.ª posição decimal após a vírgula. Encontre de forma fundamentada qual é esse algarismo, explicando com clareza o significado do quociente e do resto da divisão inteira que você utilizar para encontrá-lo.

Um trem da linha C-1 da Cercanías (rede de trens urbanos) realiza o trajeto de $35\text{ km}$ entre duas estações em exatamente $33\text{ minutos}$.

1. a) Calcule a velocidade média do trem em quilômetros por hora ($\text{km/h}$) expressa como uma fração irredutível $\left(\text{lembra-te de que } 33\text{ minutos} = \frac{33}{60}\text{ horas}\right)$.

1. b) Classifique o tipo de dízima que essa fração gera analisando os fatores primos do denominador e escreva o seu valor exato com a notação de periodicidade.

1. c) No centro de controle de tráfego ferroviário avaliam-se duas opções para o software de estimativa de distâncias percorridas em trajetos longos:

• Opção A: O software armazena e calcula a velocidade arredondada às centésimas ($63,64\text{ km/h}$).

• Opção B: O software armazena e calcula a velocidade com a fração irredutível exata obtida no item a).

Calcule a distância teórica total que cada opção registraria após $165\text{ horas}$ de circulação acumulada dessa unidade. Que defasagem ou erro em quilômetros a Opção A apresenta em relação à Opção B? Justifique a importância de trabalhar com frações geratrizes no software de controle diante das aproximações decimais.

Desafio do tema. Torne-se analista climático investigando como os conjuntos numéricos se manifestam no tempo atmosférico do nosso país.

1. Coleta de dados. Entre no site do INMET e anote os dados de 3 municípios diferentes: temperaturas máxima e mínima de um dia frio (garanta que inclua alguma abaixo de zero) e a contagem de dias de chuva do último mês (número natural, $\mathbb{N}$).

2. Planilha e operações. Construa uma tabela e calcule:

• A amplitude térmica de cada localidade subtraindo temperaturas (operações em $\mathbb{Z}$ e decimais).

• A fração irredutível que representam os dias chuvosos sobre o total de dias do mês (número racional, $\mathbb{Q}$) e obtenha a sua expressão decimal exata ou periódica.

• A temperatura média das mínimas operando com frações e arredondando para os décimos.

3. Relatório fundamentado. Em um documento breve (no máximo uma página), exponha as suas tabelas e classifique cada resultado em $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$ justificando por que pertencem a cada conjunto. Conclua argumentando qual município apresenta condições mais extremas.

Será avaliado:

• Coleta rigorosa de dados reais no INMET e uso organizado da planilha.

• Exatidão nas operações com inteiros, frações e expressões decimais usando vírgula decimal (ex. $-2,4$ ou $15,6$).

• Identificação e classificação correta dos valores nos conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$.

• Coerência e clareza argumentativa nas conclusões do relatório.