Proporcionalidade composta

Três máquinas embaladoras produzem $500$ peças em $4$ horas de funcionamento ininterrupto. Quantas peças produzirão $5$ máquinas idênticas se funcionarem durante $6$ horas?

Em uma fazenda, $10$ vacas consomem $300 \text{ kg}$ de pasto em $6$ dias. Supondo que todas as vacas comam a mesma quantidade diária, quantos quilogramas de pasto $15$ vacas consumirão em $10$ dias?

Uma equipe de $4$ pintores consegue pintar um muro de $100 \text{ m}^2$ em $5$ dias. Se forem contratados mais $2$ pintores para trabalharem no mesmo ritmo, de quantos dias os $6$ pintores precisarão no total para pintar um muro de $150 \text{ m}^2$?

Em um escritório, $6$ impressoras trabalhando simultaneamente imprimem $1200$ páginas em $2$ horas. Quantas impressoras com as mesmas características são necessárias para imprimir $2400$ páginas em $3$ horas?

Para preparar as festas populares de um município, $4$ máquinas de uma gráfica local imprimem uma tiragem de cartazes em $6$ dias trabalhando $8$ horas por dia. Devido a uma avaria, apenas restam $3$ máquinas disponíveis e decide-se ampliar o horário para $10$ horas por dia para tentar terminar a tempo.

O Lucas tenta calcular quantos dias vão demorar e escreve no caderno dele:

«Gráficas e dias é uma relação inversa, por isso coloco $\frac{3}{4}$. Horas por dia e dias é direta, porque com mais horas de trabalho se fazem mais dias, por isso coloco $\frac{10}{8}$.

Portanto: $\frac{x}{6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{8} \Rightarrow x = 6 \cdot \frac{30}{32} \approx 5,6$ dias».

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros cometidos pelo Lucas (um ao classificar a relação de proporcionalidade das horas diárias e outro ao formular a fração das máquinas com a incógnita no numerador).
2. b) Escreva a proporção correta, calcule o número exato de dias que as $3$ máquinas vão demorar e avalie se faz sentido que o resultado final seja maior que os $6$ dias iniciais.

Cinco torneiras iguais, abertas ao mesmo tempo, enchem um reservatório de $2000$ litros em $8$ horas. Quantas horas $4$ dessas torneiras levarão para encher um reservatório de $3000$ litros?

Para colher um campo de cereais de $12 \text{ ha}$, $5$ colheitadeiras trabalhando $8$ horas diárias precisam de $3$ dias completos. De quantos dias $4$ colheitadeiras trabalhando $10$ horas diárias precisarão para colher um campo de $15 \text{ ha}$?

Uma gráfica utiliza $4$ máquinas rotativas trabalhando $10$ horas diárias e leva $15$ dias para imprimir a primeira edição de um romance. Se a editora exigir a conclusão de uma segunda edição idêntica em $12$ dias e a gráfica dispuser de $5$ máquinas, quantas horas diárias as máquinas deverão trabalhar para cumprir o prazo?

Um hotel cobra $600$ reais para hospedar $2$ pessoas durante $5$ noites. Mantendo a mesma tarifa por pessoa e noite, quanto o hotel cobrará para hospedar $4$ pessoas durante $3$ noites?

Um investimento financeiro de $5000$ reais a uma determinada taxa de juros simples gera um rendimento de $400$ reais em $2$ anos. Quantos juros gerará um capital de $7500$ reais investido durante $3,5$ anos exatamente à mesma taxa de juros?

Num albergue de juventude da região pirenaica de Sobrarbe (Huesca), um grupo de $25$ caminhantes consumiu $150$ litros de leite durante uma estadia de $6$ dias. Para a próxima semana está prevista a chegada de um novo grupo de $40$ caminhantes que ficarão hospedados durante $8$ dias. Para fazer o pedido ao fornecedor da região, os dois responsáveis pelo estoque propõem métodos diferentes:

• Método A (Redução à unidade): calcular primeiro os litros de leite consumidos por um caminhante em um único dia e multiplicar depois pelas novas condições.

• Método B (Proporcionalidade composta com proporções): classificar as grandezas e montar a equação $\frac{150}{x}$ igualada ao produto das razões correspondentes.

1. a) Resolva o problema aplicando passo a passo ambos os métodos e verifique se levam à mesma quantidade de litros.
2. b) Se o albergue receber ao longo de todo o verão reservas contínuas de grupos com tamanhos e durações muito diversos, qual dos dois métodos é mais prático e ágil para o gestor calcular os mantimentos de cada grupo sem ter de refazer todo o raciocínio? Justifique a sua resposta.

Um data center conta com $12$ servidores que, trabalhando em paralelo, processam $4,5 \text{ TB}$ de informação em $6$ horas. Se $3$ servidores sofrerem uma pane e pararem de funcionar, quanto tempo os servidores restantes levarão para processar um pacote de dados de $6,75 \text{ TB}$?

Uma empresa de logística cobra $1250$ reais para transportar $8$ toneladas de mercadoria a uma distância de $300 \text{ km}$. Se as tarifas se mantiverem proporcionais ao peso e à distância, quanto a empresa cobrará para transportar $10,5$ toneladas a uma distância de $450 \text{ km}$?

Uma equipe de $12$ operários, com um rendimento estimado de $80\%$, constrói um muro de $600 \text{ m}$ em $15$ dias. Quantos operários altamente qualificados, com um rendimento de $120\%$, serão necessários para construir um muro de $800 \text{ m}$ em um prazo máximo de $10$ dias?

Um grupo de $8$ operários constrói uma cerca perimetral de $40 \text{ m}$ de comprimento em $5$ dias. Quantos operários serão necessários para construir uma cerca similar de $60 \text{ m}$ de comprimento em apenas $4$ dias?

Em um acampamento, $12$ estudantes consomem $40$ pães em $5$ dias. Quantos pães $15$ estudantes consumirão ao longo de $8$ dias se mantiverem o mesmo nível de consumo?

Durante a colheita da azeitona numa cooperativa de azeite de Jaén, uma equipe de $6$ trabalhadores agrícolas colhe $12\,000$ kg de azeitona em $4$ jornadas de trabalho completas. Na propriedade seguinte, a colheita estimada é de $18\,000$ kg e a equipe é reforçada com mais $2$ pessoas (totalizando $8$ trabalhadores com o mesmo rendimento).

1. a) Sem fazer ainda cálculos com fórmulas, estime de forma fundamentada se eles vão demorar mais, menos ou exatamente os mesmos $4$ dias que na primeira propriedade. (Dica: compare o aumento proporcional da colheita com o aumento do número de pessoas).
2. b) Formule a proporção composta com as razões correspondentes, calcule o número exato de dias que eles vão levar e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.

Uma equipe de $6$ ciclistas consome $150$ litros de água durante $4$ etapas de uma grande volta. Supondo que o ritmo de consumo médio diário e a exigência se mantenham constantes, quantos litros de água uma equipe composta por $9$ ciclistas consumirá ao longo de $7$ etapas?

Um grupo de $15$ operários consegue asfaltar $2,4 \text{ km}$ de rodovia em $8$ dias trabalhando em turnos de $6$ horas diárias. Quantos quilômetros de rodovia $20$ operários poderão asfaltar em $12$ dias se a empresa decidir aumentar os turnos para $8$ horas diárias?

Um refeitório escolar tem provisões suficientes para alimentar $120$ estudantes durante $20$ dias, servindo a cada estudante $3$ refeições diárias. Depois de $5$ dias, $30$ estudantes deixam a escola para ir a uma excursão permanente e a administração decide reduzir as refeições diárias por estudante para $2$. Quantos dias a mais durarão as provisões restantes para os estudantes que continuam na escola?

Em uma oficina de artesanato, uma equipe de $4$ escultores precisa de $24$ dias trabalhando $6$ horas diárias para esculpir $5$ estátuas de mármore. Quantos escultores serão necessários para esculpir $8$ estátuas com as mesmas características em $16$ dias trabalhando $9$ horas diárias?

No dispositivo de combate a incêndios florestais (operacional de brigadas helitransportadas no Brasil), uma equipe de $12$ especialistas consegue abrir manualmente uma faixa de contenção de $600$ metros de comprimento em $5$ horas de trabalho contínuo em mato rasteiro. Diante de uma emergência declarada na região da Chapada dos Veadeiros, o centro de coordenação precisa abrir com urgência uma faixa de contenção com as mesmas características de $1\,500$ metros em um prazo máximo e improrrogável de $8$ horas, antes que o vento mude de direção.

1. a) Classifique a relação de proporcionalidade de cada grandeza (comprimento da faixa de contenção e tempo disponível) em relação à incógnita (número de especialistas necessários), justificando cada caso mantendo a outra grandeza constante.
2. b) Formule a proporção composta e calcule quantos especialistas seriam teoricamente necessários.
3. c) Sabendo que os especialistas se deslocam em helicópteros em equipes indivisíveis de $7$ membros, quantas equipes completas devem ser mobilizadas obrigatoriamente para garantir que a faixa de contenção fique concluída a tempo? Justifique por que, nesta situação de segurança, não se pode aplicar o arredondamento matemático habitual.

Uma fábrica conta com $N$ máquinas que produzem $P$ artigos em $D$ dias trabalhando $H$ horas diárias. Determine a expressão algébrica simplificada que representa o número de dias $x$ necessários para que o dobro de máquinas ($2N$) produza $50\%$ a mais de artigos ($\frac{3}{2}P$) trabalhando um terço da jornada habitual ($\frac{H}{3}$ horas diárias).

Para pintar um reservatório esférico de raio $R$, uma equipe de $5$ pintores precisa de $8$ dias trabalhando $6$ horas diárias. De quantos dias precisará uma equipe de $4$ pintores, trabalhando $8$ horas diárias, para pintar um reservatório esférico de raio $2R$? (Lembrete: a área da superfície a pintar de uma esfera é proporcional ao quadrado do seu raio).

Dez tecelões, trabalhando $8$ horas diárias, produzem uma peça de tecido de $40 \text{ m}$ de comprimento e $2 \text{ m}$ de largura em $5$ dias. Quantos tecelões, trabalhando $10$ horas diárias, serão necessários para produzir uma peça de tecido de $60 \text{ m}$ de comprimento e $3 \text{ m}$ de largura em $6$ dias? (Tenha em mente que a quantidade de trabalho realizado é diretamente proporcional à área total do tecido).

Numa associação de irrigantes do Campo de Cartagena (Múrcia), uma estação de bombeamento solar utiliza painéis fotovoltaicos quadrados para elevar água de um poço até um reservatório de armazenamento. Conhecem-se os seguintes dados da instalação original:

• Dispõe de $60$ painéis quadrados de $1,2$ metros de lado.

• Com uma radiação média de $8$ horas diárias de sol eficaz, conseguem bombear $432\text{ m}^3$ de água em $5$ dias.

Para responder à época de verão, a associação renova a estação substituindo todos os painéis por $80$ unidades de um modelo novo, também quadrado, mas com $1,8$ metros de lado. A potência e a vazão geradas por cada painel são diretamente proporcionais à sua superfície (área). No mês de julho contam-se $10$ horas diárias de sol eficaz e é necessário bombear um volume total de $2\,160\text{ m}^3$.

1. a) Justifique por que a potência depende do quadrado do comprimento do lado do painel e calcule a razão numérica de variação entre a superfície do painel novo e a do antigo.
2. b) Formule a proporção composta completa e calcule o número exato de dias que a nova instalação demorará para bombear os $2\,160\text{ m}^3$.
3. c) Se o reservatório dispuser de reservas para garantir a irrigação da plantação durante um máximo de $12$ dias sem receber novas entradas de água, a nova instalação conseguirá concluir o enchimento a tempo antes de a reserva se esgotar? Interprete a margem de segurança disponível.

Quatro bombas de extração de água do tipo A, cada uma com uma vazão constante de $C$ litros por minuto, são capazes de encher $3$ piscinas idênticas em $12$ horas. Quantas bombas do tipo B, sabendo que sua vazão é de $1,5C$ litros por minuto, são necessárias para encher $6$ dessas mesmas piscinas em $8$ horas?

Uma empresa de manufatura produz $5000$ unidades de um produto em $10$ dias empregando $20$ trabalhadores, com um custo salarial total de $C$ reais. Se por exigências do mercado a equipe for aumentada em $25\%$ e os dias de trabalho forem reduzidos em $20\%$, quantas unidades serão produzidas? Além disso, se o salário diário por trabalhador aumentar $10\%$, qual será o novo custo salarial total expresso em função de $C$?

Oito tratores são capazes de arar um terreno retangular de $400 \text{ m} \times 300 \text{ m}$ em $6$ dias. Quantos tratores serão necessários para arar um terreno quadrado de $600 \text{ m}$ de lado em $9$ dias, sabendo que a dureza da terra do segundo terreno é o dobro da do primeiro (ou seja, requer o dobro do esforço e do tempo por metro quadrado)?

Uma plataforma logística de e-commerce situada na região metropolitana de São Paulo opera com uma frota homogênea de vans de distribuição. Em condições normais, $8$ vans entregam $3\,840$ encomendas em $6$ dias cumprindo uma jornada de trabalho de $h$ horas diárias por veículo.

Durante a época de liquidações, a empresa ampliou sua frota para $12$ vans a fim de distribuir um volume total de $9\,600$ encomendas. No final do período de liquidações, os registros confirmaram que foram necessários exatamente $8$ dias completos trabalhando com a jornada máxima permitida pela convenção coletiva de trabalho, fixada em $9$ horas diárias por van.

1. a) A partir dos resultados finais verificados na época de liquidações ($8$ dias a $9$ horas diárias), reconstitua o valor da jornada habitual $h$ (em horas e minutos) que as vans cumpriam no período normal.
2. b) Deduza uma fórmula simplificada que permita calcular o número de dias $D$ que essas mesmas $12$ vans levariam para distribuir as $9\,600$ encomendas em função da jornada diária $h'$ escolhida. Com base na sua fórmula, determine quantos dias completos seriam necessários se os entregadores trabalhassem numa jornada reduzida de $6$ horas por dia.